广东省深圳市南山外国语学校（集团）2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（12月份）（含答案）

2025-2026学年九年级（上）月考数学试卷一．选择题（每小题3分，满分24分）1．如图所示几何体中，主视图是三角形的是（）A． B． C． D．2．下列函数表达式中为二次函数的是（）A．y＝2x﹣1 B．y＝﹣x2+2x+3 C．y=1D．y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）3．冬季流感频发，某公司有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论错误的是（）A．第1轮后有（x+1）个人患了流感 B．第2轮又增加x（x+1）个人患流感 C．依题意可列方程（x+1）2＝49 D．按照这样的传播速度，三轮后一共会有245人患流感4．250N的压力作用于桌面上，如果使产生的压强小于500Pa，则下列关于桌面受力面积S（m）2的说法正确的是（）A．S大于5m2 B．S小于5m2 C．S大于0.5m2 D．S小于0.5m25．大自然是美的设计师，如图是一片银杏叶，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB＝4cm，则AP的长为（）A．(6−25)cm B．(25−2)cm C．6．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点O（0，0），B（1，0），已知△OA′B′与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA′B′的面积是△OAB面积的16倍，则点A对应点A′的坐标为（）A．(12，32)C．(4，43) D．(2，27．如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是37°，测得这栋楼的底部B处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是（）米（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，3≈1.7A．74 B．91 C．57 D．408．如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数y=1x(x＞0)的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M①△COM与△CON的面积不一定相等；②△MON与△MCN的面积一定不相等；③△MON不一定是锐角三角形；④△MON一定不是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④二．填空题（每题3分，满分15分）9．已知：x6=y4=z3（x、y10．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有一个根为x＝1，则m的值为．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；分别以M，N为圆心，大于12MN长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，作BF⊥AC于点F；以点A为圆心，AD长为半径作弧，以点C为圆心，CD长为半径作弧，两弧在AC右侧交于点E，连接AE，CE，EF，若EF=m，sin∠ECA=45，则BF的长为12．已知两点A（﹣5，y1）、B（3，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，点C（x0，y0）是抛物线的顶点，若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是．13．在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，AC＝2．D为直线AB上一点，以CD为边在CD右侧作等边△CDE，连接BE．当△BDE为等腰三角形时，则AD的长为．三．解答题（共7小题，满分61分）14．（8分）计算：（1）327（2）−315．（8分）解下列方程：（1）x2﹣4x＝0；（2）2x2﹣4x+1＝0．16．（8分）我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：（1）本次共抽取了名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；（2）若该校共有2400人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；（3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率．17．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连结DF、EF．（1）求证：四边形ADFE是菱形；（2）若BC＝4，tan∠FEC=23，则S△ABC＝18．（9分）已知某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件．（1）当每件的定价为80元时，求在该时间段内可获得的利润．（2）每件定价为多少元时利润最大？19．（10分）定义：在平面直角坐标系中，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），若dAB＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，则称dAB为A、B两点的“绝对距离”．（1）已知点A（3，1），则dOA＝；（2）函数y=12x+2的图象上存在点B，若dOB＝3，则点B（3）菱形ABCD顶点A的坐标是（2，3），B（5，1），C（8，3），D（5，5）．①若点E在菱形的边上且dOE＝dOB，求点E的坐标；②已知点P（4，2），且菱形ABCD上只有两个点到点P的“绝对距离”等于m，则m的取值范围是．20．（10分）两个智能机器人在如图所示的Rt△ABC区域工作，∠ABC＝90°，AB＝40m，BC＝30m，直线BD为生产流水线，且BD平分△ABC的面积（即D为AC中点）．机器人甲从点A出发，沿A→B的方向以v1（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿B→C→D的方向以v2（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为t（min），记点P到BD的距离（即垂线段PP′的长）为d1（m），点Q到BD的距离（即垂线段QQ′的长）为d2（m）．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时d1＝7.5m．d2与t的部分对应数值如表（t1＜t2）：t（min）0t1t25.5d2（m）016160（1）机器人乙运动的路线长为m；（2）求t2﹣t1的值；（3）当机器人甲、乙到生产流水线BD的距离相等（即d1＝d2）时，求t的值．

参考答案一．选择题题号12345678答案CBDCBDAC二．填空题9．﹣18．10．0．11．85m12．x0＞﹣1．13．2或3．三．解答题14．解：（1）3＝3+2﹣3＝2．（2）−=−3−（2=−3−2＝﹣2．15．解：（1）解：x2﹣4x＝0，x（x﹣4）＝0，x＝0或x﹣4＝0，x1＝0，x2＝4；（2）2x2﹣4x+1＝0，2x2﹣4x＝﹣1，x2x2(x−1)2x−1=±2x1=1+216．解：（1）由题意得，本次共抽取了80÷20%＝400（名）学生的竞赛成绩．D等级的人数为400﹣120﹣160﹣80＝40（人）．补全条形统计图如图所示．故答案为：400．（2）2400×160∴估计竞赛成绩为B等级的学生人数约960人．（3）列表如下：甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中的结果有：（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丁，甲），（丁，乙），共8种，∴甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率为81217．（1）证明：∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，∴AD＝BD，AE＝CE，BF＝CF，∴DF，EF是△ABC的中位线，∴EF＝AD＝BD=12AB，DF＝AE＝CE=∵AB＝AC，∴AD＝DF＝AE＝EF，∴四边形ADFE是菱形；（2）解：过B作BH⊥AC于H，∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，∴∠A＝∠FEC，∵tan∠FEC=2∴tanA=BH设BH＝2x，AH＝3x，∴AB=AH∴CH＝AC﹣AH=13x﹣3x∵BC2＝BH2+CH2，∴42＝（2x）2+（13x﹣3x）2，∴x2=16∴S△ABC=12AC⋅BH=12×13x×2故答案为：213+18．解：（1）由题意，当x＝80时，可卖出100﹣x＝100﹣80＝20（件），又∵每件获利80﹣30＝50（元），∴该时间段内可获得的利润为50×20＝1000（元）．答：当每件的定价为80元时，在该时间段内可获得的利润为1000元．（2）设利润为y元，∴y＝（x﹣30）（100﹣x）＝﹣x2+130x﹣3000＝﹣（x﹣65）2+1225，∵﹣1＜0，∴y有最大值．∴当x＝65时，y的最大值为1225元．答：每件定价为65元时利润最大．19．解：（1）∵A（3，1），O（0，0），∴dOA＝|3﹣0|+|1﹣0|＝3+1＝4，故答案为：4；（2）设B（t，12t则dOB＝|t﹣0|+|12t当t≤﹣4时，﹣t+（−12解得：t=−10当﹣4＜t≤0时，﹣t+12解得：t＝﹣2，∴B（﹣2，1）；当t＞0时，t+12解得：t=2∴B（23，7综上，点B的坐标为（﹣2，1）或（23，7故答案为：（﹣2，1）或（23，7（3）①解法一：由题意得：菱形ABCD的顶点为：A（2，3），B（5，1），C（8，3），D（5，5），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有2k+b=35k+b=1解得：k=−2∴y=−23x+13当点E在边AB上时，设E（n，−23n∵dOE＝dOB，即|n﹣0|+|−23n解得：n＝5，此时点E与点B重合，不符合题意，舍去；当点E在边BC上时，同理可得直线BC的解析式为y=23x设E（n，23n−73∵dOE＝dOB，即|n﹣0|+|23n−解得：n＝5，此时点E与点B重合，不符合题意，舍去；当点E在边CD上时，同理可得直线CD的解析式为y=−23x设E（n，−23n+25∵dOE＝dOB，∴|n﹣0|+|−23n解得：n＝﹣7（舍去）；当点E在边AD上时，同理可得直线AD的解析式为y=23x设E（n，23n+53∵dOE＝dOB，∴|n﹣0|+|23n+解得：n=13综上可得E（135，17解法二：∵dOE＝dOB，且dOB＝6，由“绝对距离”定义可设E点坐标为（a，6﹣a），故E点在函数y＝﹣x+6的图象上，又点E在菱形的边上，故联立y＝﹣x+6和直线AD的表达式y=23x可解得x=135，此时y故E（135，17②由本题题意可知到点P的“绝对距离”等于m的点的轨迹为以P（4，2）为对角线的交点的正方形W上，且该正方形的对角线与坐标轴平行或垂直，且对角线长的一半即为m的值．且菱形ABCD上只有两个点到点P的“绝对距离”等于m，即上述正方形W与菱形ABCD有且只有两个交点，接下来开始寻找临界值，如图所示：当正方形W与线段AB有一个交点时，令直线AB的解析式y=−23x+13可得y=53，此时m＝|4﹣4|+|2−5当正方形W的一个顶点在线段AD上时，令直线AD的解析式y=23x+5可得y=133，此时m当点A在正方形W的边上时，令点A所在的边的解析式为y＝x+b，代入点A（2，3），可得b＝1，故点A所在的正方形边的解析式为y＝x+1，令x＝4，则y＝5，此时m=+当点C在正方形W的边上时