2026年高一数学基本不等式分类专题试题及答案

2026年高一数学基本不等式分类专题试题及答案说明：本专题围绕高一数学基本不等式核心考点（两个正数的和大于等于它们乘积的算术平方根的2倍，即a+b≥2√(ab)，其中a、b均为正数，当且仅当a=b时等号成立）设计。按题型分类汇编，满分100分，考试时间60分钟。试题涵盖基础应用、条件最值、实际问题、综合拓展四大类，解析紧扣解题思路与易错点，步骤清晰，助力夯实基础、提升能力。一、基础公式应用类（每题5分，共20分）1.已知x是正数，则x加上x分之4的最小值为（）A.2B.4C.6D.82.若a、b均为正数，且a与b的乘积等于4，则a加b的最小值为（）A.2B.4C.8D.163.已知x是负数，则x加上x分之1的最大值为（）A.-2B.-1C.1D.24.若a、b为实数，且a加b等于6，则a与b的乘积的最大值为（）A.6B.8C.9D.12二、条件最值类（每题6分，共24分）5.已知x大于1，求y等于x加上（x-1）分之1的最小值，以及此时x的值。6.已知x大于0且小于二分之一，求y等于x乘以（1-2x）的最大值，以及此时x的值。7.已知a、b均为正数，且2a加b等于3，求a与b的乘积的最大值。8.已知a、b均为正数，且a分之1加b分之2等于1，求a加b的最小值。三、实际应用类（12分）9.某工厂要建造一个长方体形状的无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，求该蓄水池的最低总造价，以及对应的底面边长。四、综合拓展类（每题11分，共44分）10.已知x、y为正实数，且x与y的乘积等于x加y加3，求x与y乘积的最小值。11.已知x、y为正实数，且x加2y等于x与y的乘积，求2x加y的最小值。12.已知a、b为正实数，且满足a加b等于1，求证：（1加a分之1）乘以（1加b分之1）大于等于9。13.已知函数f(x)等于（x的平方加2x加3）除以x（其中x为正数），求该函数的最小值，以及此时x的值。答案及详细解析一、基础公式应用类答案及解析1.答案：B解析：根据基本不等式，两个正数的和大于等于它们乘积的算术平方根的2倍。已知x是正数，那么x和x分之4都是正数，代入公式得：x+4/x≥2×√(x×4/x)。计算右边，x×4/x等于4，√4等于2，所以2×2=4。当且仅当x=4/x时，等号成立，解得x的平方等于4，x=2（x=-2舍去，因为x是正数），因此最小值为4。2.答案：B解析：因为a、b都是正数，符合基本不等式的适用条件，代入公式得a+b≥2×√(a×b)。已知a×b=4，代入得a+b≥2×√4=2×2=4。当且仅当a=b时等号成立，结合a×b=4，解得a=b=2，因此最小值为4。3.答案：A解析：x是负数，那么-x就是正数，可将原式变形为：x+1/x=-[(-x)+1/(-x)]。对于正数-x和1/(-x)，应用基本不等式得：(-x)+1/(-x)≥2×√[(-x)×1/(-x)]=2×1=2。因此-[(-x)+1/(-x)]≤-2，当且仅当-x=1/(-x)时等号成立，解得x的平方等于1，x=-1（x=1舍去，因为x是负数），因此最大值为-2。4.答案：C解析：方法一：对于任意实数a、b，都有a×b≤[(a+b)/2]的平方，当且仅当a=b时等号成立。已知a+b=6，代入得a×b≤(6/2)的平方=3的平方=9。当a=b=3时，等号成立，因此最大值为9。方法二：用二次函数求解，设a=t，则b=6-t，那么a×b=t(6-t)=-t²+6t。这是一个开口向下的二次函数，顶点在t=3处，此时最大值为-(3-3)²+9=9。二、条件最值类答案及解析5.答案：最小值为3，此时x=2解析：因为x>1，所以x-1>0，符合基本不等式适用条件。将函数变形为：y=x+1/(x-1)=(x-1)+1/(x-1)+1。对(x-1)和1/(x-1)应用基本不等式，得(x-1)+1/(x-1)≥2×√[(x-1)×1/(x-1)]=2×1=2。因此y≥2+1=3，当且仅当x-1=1/(x-1)时等号成立，解得(x-1)的平方=1，x=2（x=0舍去，因为x>1），所以最小值为3，对应x=2。6.答案：最大值为1/8，此时x=1/4解析：因为0<x<1/2，所以1-2x>0，符合基本不等式适用条件。将函数变形为：y=x(1-2x)=(1/2)×2x(1-2x)。对2x和1-2x应用基本不等式，得2x(1-2x)≤[(2x+1-2x)/2]的平方=(1/2)的平方=1/4。因此y≤(1/2)×1/4=1/8，当且仅当2x=1-2x时等号成立，解得4x=1，x=1/4（满足0<x<1/2），所以最大值为1/8，对应x=1/4。7.答案：最大值为9/8解析：a、b均为正数，对2a和b应用基本不等式，得2a+b≥2×√(2a×b)。已知2a+b=3，代入得3≥2×√(2ab)，两边同时平方得9≥8ab，因此ab≤9/8。当且仅当2a=b时等号成立，结合2a+b=3，解得2a=3/2，a=3/4，b=3/2，所以ab的最大值为9/8。8.答案：最小值为3+2√2（3加2倍根号2）解析：采用“乘1法”，因为a、b均为正数，且1/a+2/b=1，所以a+b=(a+b)(1/a+2/b)。展开计算：(a+b)(1/a+2/b)=a×1/a+a×2/b+b×1/a+b×2/b=1+2a/b+b/a+2=3+2a/b+b/a。对2a/b和b/a应用基本不等式，得2a/b+b/a≥2×√(2a/b×b/a)=2×√2。因此a+b≥3+2√2，当且仅当2a/b=b/a时等号成立，解得b的平方=2a的平方，b=a√2，结合1/a+2/b=1，解得a=1+√2，b=2+√2，所以最小值为3+2√2。三、实际应用类答案及解析9.答案：最低总造价为297600元，对应的底面边长为长40米、宽40米（正方形底面）解析：设蓄水池底面长为x米，宽为y米，总造价为W元。首先根据容积求底面积：容积=底面积×深度，即4800=底面积×3，所以底面积xy=4800÷3=1600平方米。总造价由池底造价和池壁造价两部分组成：池底造价=每平方米造价×底面积=150×xy；池壁为四个长方形，两个长×深的面和两个宽×深的面，总面积=2(3x+3y)=6(x+y)，因此池壁造价=120×6(x+y)=720(x+y)。综上，总造价W=150xy+720(x+y)。将xy=1600代入，得W=150×1600+720(x+y)=240000+720(x+y)。对x和y应用基本不等式，x+y≥2×√(xy)=2×√1600=2×40=80，当且仅当x=y=40时等号成立。此时最低总造价W=240000+720×80=240000+57600=297600元，对应的底面边长为40米（正方形）。四、综合拓展类答案及解析10.答案：最小值为9解析：设t=√(xy)（因为x、y是正实数，所以t>0），则xy=t的平方。根据已知条件xy=x+y+3，结合基本不等式x+y≥2×√(xy)=2t，代入得t的平方≥2t+3，整理为t的平方-2t-3≥0。解这个一元二次不等式：将不等式左边因式分解为(t-3)(t+1)≥0。因为t>0，所以t+1始终为正数，因此不等式成立的条件是t-3≥0，即t≥3。所以xy=t的平方≥3的平方=9，当且仅当x=y=3时等号成立，因此xy的最小值为9。11.答案：最小值为9解析：因为x、y是正实数，且x+2y=xy，两边同时除以xy（xy≠0），得(x/(xy))+(2y/(xy))=1，化简为1/y+2/x=1。采用“乘1法”，2x+y=(2x+y)(2/x+1/y)。展开计算：(2x+y)(2/x+1/y)=2x×2/x+2x×1/y+y×2/x+y×1/y=4+2x/y+2y/x+1=5+2x/y+2y/x。对2x/y和2y/x应用基本不等式，得2x/y+2y/x≥2×√(2x/y×2y/x)=2×√4=2×2=4。因此2x+y≥5+4=9，当且仅当2x/y=2y/x时等号成立，解得x=y=3，所以最小值为9。12.证明：方法一：代入法，因为a+b=1（a、b为正实数），将左边式子中的1替换为a+b，得：(1+1/a)(1+1/b)=(1+(a+b)/a)(1+(a+b)/b)。化简括号内的式子：1+(a+b)/a=(a+a+b)/a=(2a+b)/a=2+b/a；同理1+(a+b)/b=2+a/b。因此左边=(2+b/a)(2+a/b)。展开计算：(2+b/a)(2+a/b)=4+2×a/b+2×b/a+(b/a)×(a/b)=4+2a/b+2b/a+1=5+2a/b+2b/a。对2a/b和2b/a应用基本不等式，得2a/b+2b/a≥2×√(2a/b×2b/a)=4，因此左边≥5+4=9，当且仅当a=b=1/2时等号成立，原不等式成立。方法二：展开法，将左边式子展开：(1+1/a)(1+1/b)=1+1/a+1/b+1/(ab)。合并同类项：1+(b+a)/(ab)+1/(ab)。因为a+b=1，代入得1+1/(ab)+1/(ab)=1+2/(ab)。由基本不等式，ab≤[(a+b)/2]的平方=(1/2)的平方=1/4，因此1/(ab)≥4，所以1+2/(ab)≥1+2×4=9，原不等式成立。13.答案：最小值为2√3+2（2倍根号3加2），此时x=√3（根号3）解析：先对函数分离常数化简，因为x>0，