2026《高一数学培优讲义》秋季(学生版)解析(10-15)

2026届秋季高一数学培优讲义2026届秋高一数学培优讲义解析2/2TOC\o"1-1"\h\u第10讲指对函数及应用 /166第10讲指对函数及应用【题1】函数的零点为（

）A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）【答案】A【详解】令，即，所以，因此x＝10，所以函数的零点为10，故选：A.【题2】若是函数的一个零点，则的另一个零点为（

）A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）【答案】A【详解】因为是函数的一个零点，所以，解得．设另一个零点为，则，解得，所以的另一个零点为1．故选：A．【题3】函数的一个零点为1，则其另一个零点为______．【答案】【详解】解法一：因为函数的一个零点为1，将代入得，解得．所以．令，解得，，所以函数的另一个零点为．解法二：由函数的一个零点为1，可得方程的一个根为1，根据根与系数的关系可得，所以另一个根为．故函数的另一个零点为．故答案为：.【题4】函数的零点个数为________．【答案】1【详解】令，可得方程．在同一平面直角坐标系内作出函数与的图象，如图，由图可知，函数与的图象只有一个交点，故方程只有一个解，故函数只有一个零点．故答案为：1.【题5】函数的零点共有（

）A．​个 B．​个 C．​个 D．​个【答案】C【详解】当​时​无解；当​时，​有解​综上，函数​有​个零点.故选：C.【题6】设在区间上是连续变化的单调函数，且，则方程在内（）A．至少有一实根 B．至多有一实根C．没有实根 D．必有唯一实根【答案】D【详解】解：因为在区间上连续的单调函数，且，所以函数的图象在内与轴只有一个交点，即方程在内只有一个实根．故选：D【题7】函数的零点个数为（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【详解】函数的定义域为，且，故函数为偶函数，当时，，考虑函数在内的零点个数，令，可得，作出函数、在上的图象如下图所示，由图可知，函数、在上的交点个数为，故函数在上的零点个数为，因此，函数的零点个数为.故选：D.【题8】方程的根所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，显然单调递增，又因为，，由零点存在性定理可知：的零点所在区间为，所以的根所在区间为.故选：B【题9】方程的根位于区间（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令函数，易得函数单调递减，原方程的根即的零点，，，，，∵，可得根位于区间(1,2).故选：C．【题10】函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为为上的单调递增函数，所以为上的单调递增函数，因为，，，由零点存在定理，上必有唯一零点.故选：B．【题11】若函数有且仅有两个零点，则实数的一个取值为______.【答案】（答案不唯一）【详解】令，当时，由得，即为函数的一个零点，故当时，有一解，得故答案为：（答案不唯一）【题12】已知函数，若关于的方程有两个不相同的解，则的取值范围是_____．【答案】画出和的函数图象，要使有两个不相同的解，则与有2个不同的交点，由图可得.故答案为：.【题13】已知函数若关于的方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是________．【答案】【详解】作出函数的图像和直线，如图所示:由图可知，当时，函数的图像和直线有三个交点，所以．故答案为：或.【题14】已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，函数，当时，函数为单调递增函数，其中，当时，函数为单调递增函数，且，又由函数恰有两个不同的零点，即为有两个不等的实数根，即与的图象有两个不同的交点，如图所示，当恰好过点时，两函数的图象有两个不同的交点，结合图象，要使得函数恰有两个不同的零点，则满足，即实数的取值范围是.故选：D.【题15】设函数若函数有六个不同的零点，则实数a的取值范围为________．【答案】．【详解】函数的零点即为方程的解，也即的解，令，则原方程的解变为方程组的解，作出函数和直线的图象如图所示．由图可知，当时，有两个不同的x与之对应；当时，有一个x与之对应，当时，没有x与之对应．由方程组有六个不同的x解知，需要方程②有三个不同的t，且都大于，作出函数和直线的图象如图所示，由图可知当时满足要求，综上，实数a的取值范围为．故答案为：【题16】已知函数，且函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是______．【答案】【详解】由得，即函数的零点是直线与函数图象交点横坐标，当时，是增函数，函数的值域为，当时，是减函数，当时，，，当时，是增函数，当时，，在坐标平面内作出函数的图象，如图，观察图象知，当时，直线与函数图象有3个交点，即函数有3个零点，所以实数的取值范围是：.故答案为：.【题17】已知函数的零点位于区间内，则整数（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】因为函数与在上均为增函数，所以函数在上为增函数，因为，，，所以函数的零点位于区间内，故.故选：B.【题18】已知函数在上存在零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为在上单调递增,根据零点存在定理可得,解得.故选:A【题19】若函数在区间内有零点，则实数的取值范围为___________.【答案】【详解】令，得，令，由二次函数性质可知：当时，当时，，所以，即.故答案为：.【题20】已知函数在区间上有零点，则的取值范围为___________.【答案】##【详解】函数在区间上有零点，即在有方程根，当时，，若，，在区间上没有零点，若，，在区间上有零点，故满足题意；当，即或时，在区间上有零点，即在有方程根，根据韦达定理可知，两根互为倒数，应有，即，解得，故答案为：.【题21】函数的零点，则a=___________.【答案】3【详解】因为均为增函数，所以是增函数，又，所以的零点，又，所以，故答案为：3【题22】设函数，若互不相等的实数、、满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为，即，设，，作出函数的图象如下图所示：由图象可知，点、关于直线对称，则，由图可知，，因此，.故选：B.【题23】已知函数，若互不相等的实数满足，求的取值范围.【答案】【详解】作出函数的图象，如图所示不妨设，则关于直线对称，故，且满足；则的取值范围为；即．所以的取值范围为.【题24】设函数关于的方程有四个实根，，，，则的最小值为___________.【答案】【详解】作出函数的大致图象，如图所示：当时，对称轴为，所以，若关于的方程有四个实根，，，，则，由，得或，则，又因为，所以，所以，所以，所以，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.【题25】已知函数，若满足，则的取值范围为_______．【答案】【详解】画出的图象，易得，且当时，的最大值为，当时解得，故，故故答案为：【题26】已知函数的表达式为，则函数的所有零点之和为______．【答案】3【详解】或，或，由或，由或，为函数的零点，函数的零点之和为3，故答案为：3【题27】用二分法求函数的一个零点的近似值（误差不超过）时，依次计算得到如下数据：，，，，关于下一步的说法正确的是（）A．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值B．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值C．没有达到对误差的要求，应该接着计算D．没有达到对误差的要求，应该接着计算【答案】C【详解】，在内有零点；，没有达到对误差的要求，应该继续计算.故选：C.【题28】（多选）下列选项中能用二分法求图中函数零点近似值的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】根据二分法的概念可知，函数在区间上的图象连续不断，且，即函数的零点是变号零点才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值.对各选项中图象分析可知，选项ACD

都符合条件，而选项

B不符合二分法的要求.故选：ACD.【题29】已知函数在区间上单调，且有一个零点．(1)求实数的取值范围；(2)若，用二分法求方程在区间上的根．【答案】(1)(2)（1）若a＝0，则，与题意不符，所以．因为函数在区间上单调且有一个零点由题意得，解得因为函数在区间上单调，所以或，因为，所以，所以或，综上，所以实数a的取值范围为．（2）若，则，∴，，，∴函数的零点在上，又，∴方程在区间上的根为．【题30】已知函数为上的连续函数．（1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．（2）若，判断在上是否存在零点？若存在，请在精确度为0.2的条件下，用二分法求出这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，区间为【详解】(1)易知函数在区间上单调递减，在区间上存在零点，，即，，实数的取值范围是．(2)当时，，易求出，．，在区间上单调递减，函数在上存在唯一零点．，，．此时0-(-1)=1>0.2,，,．此时,，，．此时,，，．此时，满足精确度,停止二分,所求区间为．【题31】已知，函数有四个不同的零点，且满足：.则下列结论中不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图，作出图象，若y＝－b与有四个交点，需，则，故A错误；这四个交点的横坐标依次为，因为抛物线的对称轴为，所以，故D正确；因为，即，所以，故B正确；，即，所以，故C正确.故选：A.【题32】已知函数，若，且，则的最大值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【详解】设，则，由，得，所以．设，则，在上单调递减，故．故选：A【题33】函数的图象由拋物线的一部分和一条射线组成，且与直线为常数）相交于三个不同的点设，则的取值范围是__________.【答案】【详解】解：设由二次函数可知：图象开口向上，对称轴为，当时函数有最小值为2，，由一次函数可知当时有最大值3，当时直线为常数）相交于三个不同的点，，，，，，，，，，．故答案为：【题34】已知函数，函数.(1)若函数有唯一零点，求；(2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围；(3)已知，若函数在区间内有且只有一个零点，试确定实数的范围.【答案】(1)或2(2)(3)（1）解：当时，函数有唯一零点，当时，由，解得，函数有唯一零点1，综上：或2（2）解：依题意得，即在上恒成立，转化为在上恒成立，即在上恒成立，转化为在上恒成立.令，则问题可转化为在上恒成立，因为在上单调递减，所以当时，即，所以，所以的取值范围为.（3）解：，设，，则由题意知函数与的图象在区间内有唯一交点.当时，在上单调递减，在上为增函数，且，，所以函数与的图象在区间内有唯一的交点.当时，的图象开口向下，对称轴为直线，所以在上单调递减，又在上为增函数，由题意知，需，得，得，所以.当时，的图象开口向上，对称轴为直线，所以在上单调递减，又在上为增函数，由题意知，需，得，得，所以.综上，的取值范围为.名校真题练【练习1】若函数至少有一个零点，则m的取值范围为（）A．m＜1 B．m≥1 C．0≤m＜1 D．0≤m≤1【答案】C【分析】函数至少有一个零点，等价于函数y＝与y＝1﹣m图象至少有一个交点，画出函数y＝的图象，数形结合求解即可．【解答】解：函数至少有一个零点+m﹣2＝0至少有一个根，等价于函数y＝与y＝1﹣m图象至少有一个交点，画出函数y＝的图象由图象可知，0＜1﹣m≤5，即m的取值范围为[0，1）．故选：C．【练习2】已知函数f（x）＝，方程f（x）﹣1＝0有两解（）A．（，1） B．（0，） C．（0，1） D．（1，+∞）【答案】B【分析】分两种情况：当0＜a＜1时，当a＞1时，f（x）的单调性，最值，则方程f（x）﹣1＝0要有两解，只需y＝f（x）与y＝1有两个解，即可得出答案．【解答】解：因为f（x）＝，所以a＞0且a≠1，当8＜a＜1时，f（x）在（﹣∞，f（x）max＝f（﹣1）＝8，又f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，方程f（x）﹣1＝5有两个解，所以2a＜1，所以2＜a＜，当a＞3时，f（x）在（﹣∞，f（x）min＝f（﹣1）＝1，又在（﹣3，+∞）上，且f（x）＞f（﹣1）＝2a，所以方程f（x）﹣7＝0要有两解，所以2a＜7，此时不成立，综上所述，0＜a＜，故选：B．【练习3】已知函数，则函数g（x）＝|f（1﹣x）（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先求出g（x）＝|f（1﹣x）|﹣1的解析式，再分段解方程g（x）＝0即可得零点．【解答】解：当1﹣x≤0，即x≥3时，g（x）＝|f（1﹣x）|﹣1＝|（3﹣x）2+2（3﹣x）|﹣1＝|x2﹣4x+3|﹣1；当4﹣x＞0，即x＜1时，所以，当x≥1时，令g（x）＝|x8﹣4x+3|﹣4＝0，即x2﹣3x+3＝1或x2﹣4x+3＝﹣4，解得：或（舍）或x＝2，此时有2个零点；当x＜1时，令g（x）＝|ln（1﹣x）|﹣5＝0，可得1﹣x＝e或，所以x＝1﹣e或，都满足x＜1，此时有5个零点，综上所述函数的零点个数为4，故选：C．【练习4】设f（x）＝2x+x﹣8，用二分法求方程2x+x﹣8＝0在[1，5]上的近似解时，经过两次二分后（）A．[1，2]或[2，3]都可以 B．[2，3] C．[1，2] D．不能确定【答案】B【分析】利用二分法的定义求解．【解答】解：因为f（1）＝2+1﹣6＝﹣5＜0，f（5）＝32+2﹣8＝29＞0，所以f（1）•f（3）＜6，所以函数f（x）的零点落在区间[1，3]内，又因为f（2）＝2+2﹣8＝﹣6＜0，所以f（2）•f（3）＜0，所以函数f（x）的零点落在区间[6，3]内，即经过两次二分后，可确定近似解所在区间为[2．故选：B．【练习5】纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：C＝Iλt，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，放电时间为30h；当放电电流为50A时，则该萻电池的Peukert常数λ约为（）（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15【答案】D【分析】根据题意可得C＝15λ×30＝50λ×7.5，再结合对数式与指数式的互化及换底公式即可求解．【解答】解：由题意知C＝15λ×30＝50λ×7.5，所以，两边取以10为底的对数，得，所以．故选：D．【练习6】已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣m+1有四个零点，b，c，d，则a+b+cd的值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3【答案】C【分析】画出函数f（x）＝的图象，函数y＝f（x）﹣m+1有四个零点，即函数y＝f（x）与y＝m﹣1有四个交点．根据图象即可求解，【解答】解：画出函数f（x）＝的图象，函数y＝f（x）﹣m+8有四个零点，即函数y＝f（x）与y＝m﹣1有四个交点．∵f（0）＝1，∴m﹣7∈（0，1），﹣log6a＝log2d，∴cd＝1，故a+b+cd的值为﹣4．故选：C．【练习7】某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）0e﹣kt，其中P0，k是正的常数．如果在前5h消除了10%的污染物，则15h后还剩污染物的百分数为（）A．27.1% B．70% C．72.9% D．81%【答案】C【分析】由题意可知，90%P0＝，可求得k＝，所以，再令t＝15，结合对数函数的运算性质求解即可．【解答】解：由题意可知，90%P0＝，解得k＝＝，∴，当t＝15时，P＝0，即15h后还剩污染物的百分数为72.7%．故选：C．【练习8】牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中Ta是环境温度．若Ta＝25℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃（）（参考数据：lg2≈0.30，lg11≈1.04．）A．8分钟 B．9分钟 C．10分钟 D．11分钟【答案】C【分析】由题意可得，代入45﹣25＝，得，两边取常用对数得t，再利用对数的运算性质即可求出t的值．【解答】解：由题意可得75﹣25＝，∴，∴45﹣25＝，∴，∴，两边取常用对数得t，∴t＝＝＝≈＝10，∴水温从75℃降至45℃，大约还需要10分钟，故选：C．【练习9】（多选）设函数f（x）＝2x3﹣3ax2+1，则（）A．当a＞1时，f（x）有三个零点 B．当a＜0时，x＝0是f（x）的极大值点 C．存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f（x）的对称轴 D．存在a，使得点（1，f（1））为曲线y＝f（x）的对称中心【答案】AD【分析】先对f（x）求导，根据a的范围可判断f（x）的单调性，进而确定极值或极值点，可判断A、B；三次函数不存在对称轴，可判断C；a＝2时，f（x）＝2（x﹣1）3﹣6（x﹣1）﹣3，关于点（1，﹣3）中心对称，可判断D．【解答】解：由f（x）＝2x3﹣6ax2+1，得f'（x）＝2x（x﹣a），对于A，当a＞1时，a）上单调递减，0）和（a；f（x）的极大值f（0）＝8＞0，f（x）的极小值f（a）＝1﹣a2＜0，所以f（x）有三个零点；对于B，当a＜0时，3）上单调递减，a）和（0，x＝0是极小值点；对于C，任何三次函数不存在对称轴；对于D，当a＝4时3﹣6x5+1＝2（x﹣4）3﹣6（x﹣2）﹣3，关于点（1，故D正确．故选：AD．【练习10】（多选）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，并带有放射性，会发生β衰变（单位：年）的衰变规律满足，其中N0表示氚原有的质量，则（参考数据：lg2≈0.301）（）A． B．经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若x年后，样本中氚元素的含量为0.4N0，则x＞16【答案】CD【分析】对于A，由，可得t＝﹣12.43log2，即可判断；对于B，将t＝24.86代入，求解后即可判断；对于C，将t＝62.15代入，求解后即可判断；对于D，由题意可得﹣＝log20.4，根据对数的运算性质，求出x的值后即可判断．【解答】解：对于A，由，可得＝，所以﹣＝log2，t＝﹣12.43log2，故错误；对于B，将t＝24.86代入0•2﹣2＝N0，所以经过24.86年后，样本中的氚元素是原来的；对于C，将t＝62.15代入5•2﹣5＝N0，所以经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的；对于D，因为x年后4，所以N0•＝2.4N0，即＝0.4，﹣60.4＝log4＝4﹣log25＝2﹣＝7﹣≈﹣6.322，所以x≈﹣12.43×（﹣1.322）≈16.557＞16，故正确．故选：CD．【练习11】已知函数f（x）＝2x+x﹣2，g（x）＝log2x+x﹣2，h（x）＝x3+x﹣2的零点分别为a，b，c，则a+b+c＝3．【答案】3．【分析】先把a，b，c转化为函数y＝2x，y＝log2x，y＝x3与y＝﹣x+2的交点的横坐标，再利用y＝2x与y＝log2x互为反函数，可得a+b＝2，又c＝1，所以a+b+c＝3．【解答】解：如图，在平面直角坐标系中x，y＝log2x，y＝x3的图象，它们的图象与函数y＝﹣x+2的交点的横坐标就是a，b，c，因为y＝2x，y＝log2x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，所以a+b＝8．又h（1）＝1+1﹣2＝0，所以c＝1，所以a+b+c＝4．故答案为：3．【练习12】思考辨析（1）所有的函数都有零点．×（2）若方程f（x）＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f（x）的零点为（x1，0）（x2，0）．×（3）若函数y＝f（x）在区间（a，b）上有零点（a）•f（b）＜0．×【答案】（1）×；（2）×；（3）×．【分析】根据函数零点的定义，函数零点存在定理的应用，即可判断（1）、（2）（3）．【解答】解：（1）不是所有函数都有零点，例如y＝x2+1就没有零点，故（1）错误；（2）函数的零点不是点，是数；（3）函数f（x）＝x8在（﹣1，1）有零点，故（3）错误．故答案为：（1）×；（2）×．【练习13】某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过最初含量P0的1%．已知在过滤过程中废气中的污染物数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：时）之间的函数关系为，P0均为正常数）．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是5小时．【答案】5．【分析】由前5个小时消除了90%的污染物，得出（1﹣90%）P0＝P0e﹣5k，求出k，再由10%P0＝P0e﹣kt，求出t的值，即可得出结论．【解答】解：由题意知，前5个小时消除了90%的污染物，因为P＝P0e﹣kt，所以（2﹣90%）P0＝P0e﹣6k，所以0.1＝e﹣2k，即﹣5k＝ln0.3，由1%P0＝P4e﹣kt，即0.01＝e﹣kt，所以e﹣kt＝0.52＝（e﹣5k）6＝e﹣10k，所以t＝10，所以排放前至少还需要过滤t﹣5＝5（小时）．故答案为：6．【练习14】2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，因为它将激发中国自主创新的更强爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入a万元（a＞0），该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（x∈N且100≤x≤275）（4x）%，技术人员的年人均投入调整为a（m﹣）万元．（1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数m，若存在，求出m的范围，说明理由．【答案】（1）125；（2）存在，m∈{23}．【分析】（1）根据题意，得到（400﹣x）[1+（4x）%]a≥400a，解得0≤x≤375，结合条件100≤x≤275，可求得125≤400﹣x≤300，由此可知调整后的研发人员的人数最少为125人；（2）由条件①得，由条件②得，假设存在m同时满足以上两个条件，则上述不等式恒成立，进而求得23≤m≤23，即m＝23，故确定存在m，且m∈{23}．【解答】解：（1）某企业原有400名技术人员，年人均投入a万元（a＞0），该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，调整后研发人员的年人均投入增加（4x）%）万元，可得调整后研发人员的年人均投入为[1+（4x）%]a万元，则（400﹣x）[5+（4x）%]a≥400a，（a＞0）3﹣15x≤0，解得0≤x≤375，因为x∈N且100≤x≤275，所以100≤x≤275，所以要使这（400﹣x）名研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，调整后的研发人员的人数最少为125人；（2）由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得，上式两边同除以ax得，整理得；由条件②由技术人员年人均投入不减少，得，解得；假设存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，即恒成立，因为，当且仅当，即x＝100时等号成立，又因为100≤x≤275，当x＝275时，，所以m≥23，所以23≤m≤23，即m＝23，即存在这样的m满足条件，其范围为m∈{23}．【练习15】某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，每1m长造价40元，两侧墙砌砖（1）求该仓库面积S的最大值；（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶．顶部每1m2造价20元，求仓库面积S的最大值，并求出此时正面铁栅应设计为多长？【答案】见试题解答内容【分析】（1）设铁栅长x，一侧砌墙长y，根据基本不等式求出xy的最大值即可；（2）根据基本不等式求出xy的范围，得出结论．【解答】解：（1）设铁栅长为x（x＞0）米，一侧砖墙长为y（y＞0）米，由题意可得：40x+3×45y＝3200，∴4x+9y＝320，∵3x+9y≥2＝12，∴320≥12，∴xy≤，即仓库的面积S的最大值为．（2）由题意得：40x+2×45y+20xy＝3200，由基本不等式得，当且仅当40x＝90y时取等号，则，解得：，所以S的最大值是100．此时4x＝9y且，即x＝15，即铁栅的长是15米．【练习16】某机床厂今年年初用100万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用．已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和t（单位：万元）与使用时间x（x∈N*，x≤20，单位：年）之间满足函数关系式为：t＝2x2+8x．该机床每年的生产总收入为50万元．设使用x年后数控机床的盈利额为y万元．（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）？（3）该机床使用过程中，已知年平均折旧率为4%（固定资产使用1年后，价值的损耗与前一年价值的比率）．现对该机床的处理方案有两种：第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出；第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出．研究一下哪种处理方案较为合理？请说明理由．（参考数据：0.967≈0.751，0.968≈0.721，0.969≈0.693，0.9610≈0.665）【答案】（1）y＝﹣2x2+42x﹣100，（x∈N*，x≤20）；（2）第3年；（3）选第一方案较为合理，理由见解析；【分析】（1）利用盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用，得到y与x之间的函数关系式；（2）令y＞0，解一元二次不等式即可；（3）利用二次函数求最值，求出第一方案总获利，由，利用函数单调性求出第二方案总获利，再比较即可．【解答】解：（1）由题意，可得y与x之间的函数关系式y＝50x﹣（2x2+5x）﹣100＝﹣2x2+42x﹣100，（x∈N*，x≤20）；（2）由（1）知：y＝﹣5x2+42x﹣100，（x∈N*，x≤20），令y＞0，可得﹣5x2+42x﹣100＞0，解得，因为，所以，．因为x∈N*，所以3≤x≤18且x∈N*，故从第8年开始盈利．（3）由（1）知y＝﹣2x2+42x﹣100，（x∈N*，x≤20），因为，所以当x＝10或x＝11时，营利额达到最大值为120万元，使用10年后机床剩余价值为：100（7﹣4%）10≈66.5（万元），所以按第一方案处理，总获利为120+66.4＝186.5（万元）；又由，令，（0＜x≤20），∀5＜x1＜x2≤20，则，当时，x2﹣x2＜0，x8x2﹣50＜0，则h（x8）﹣h（x2）＜0，即h（x2）＜h（x2），因此可得h（x）在；当时，x1﹣x5＜0，x1x3﹣50＞0，则h（x1）﹣h（x5）＞0，即h（x1）＞h（x4），因此可得h（x）在；又，当x＝4时万元，年平均盈利为，所以当第5年时，年平均盈利额达到最大值7≈75.1（万元），所以按第二方案处理，总获利为．由于186.5＞171.1，则选第一方案较为合理．【练习17】现有某企业计划用10年的时间进行技术革新，有两种方案：贷款利润A方案一次性向银行贷款10万元第1年利润1万元，以后每年比前一年增加25%的利润B方案每年初向银行贷款1万元第1年利润1万元，以后每年比前一年增加利润3000元两方案使用期都是10年，贷款10年后一次性还本付息（年末结息），若银行贷款利息均按10%的复利计算．（1）计算10年后，A方案到期一次性需要付银行多少本息？（2）试比较A、B两方案的优劣．（结果精确到万元，参考数据：1.110≈2.594，1.2510≈9.313）【答案】（1）26（万元）；（2）A方案比B方案更优．【分析】（1）运用平均增长率公式计算即可；（2）分别计算出两种方案的获利和贷款本息，得出净利即可比较．【解答】解：（1）A方案第1年利润1万元，以后每年比前一年增加25%的利润，则10年后，A方案到期时银行贷款本息为10×（4+10%）10≈26（万元）．（2）A方案10年共获利：（万元），到期时银行贷款本息为10×（4+10%）10≈25.9（万元），所以A方案净收益为：33.3﹣25.7≈7（万元），B方案10年共获利：（万元），到期时银行贷款本息为（万元），所以B方案净收益为：23.5﹣17.5≈4（万元），又7＞6，则A方案比B方案更优．【练习18】2022年2月24日，俄乌爆发战争，至今战火未熄．2023年10月7日巴以又爆发冲突．与以往战争不同的是，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色．某无人机企业原有200名科技人员（a＞0），现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员（x∈N且50≤x≤100），调整后研发人员的年人均工资增加（2x）%，技术人员的年人均工资调整为（1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资；②技术人员的年人均工资始终不减少．请问是否存在这样的实数m，若存在，求出m的范围，说明理由．【答案】（1）100；（2）存在，m∈{11}．【分析】（1）由条件“调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资”建立不等关系可求解；（2）根据条件①②建立不等关系，假设存在实数m转化为恒成立问题，由基本不等式及一次函数求最值可得结果．【解答】解：（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为[1+（2x）%]a 万元，则（200﹣x）[4+（2x）%]a≥200a，（a＞0），整理得6.02x2﹣3x≤6，解得0≤x≤150，因为 x∈N，所以50≤x≤100，即100≤200﹣x≤150，所以要使这（200﹣x）名研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资，调整后的研发人员的人数最少为100人．（2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资，得，整理得；由条件②技术人员年人均工资不减少，得，解得；假设存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，即恒成立，因为，当且仅当 ，即x＝50时等号成立，又因为50≤x≤100，当x＝100时，，所以m≥11，所以11≤m≤11，即m＝11，即存在这样的m满足条件，其范围为 ．【练习19】对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：）为0.8．要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择；方案乙：分两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a（1≤a≤3），用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中c（0.8＜c＜0.99）（1）分别求出方案甲以及c＝0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；（2）若采用方案乙，当a为某固定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量【答案】（1）两种方案的用水量分别为19和4a+3，方案乙的用水量较少；（2）第一次与第二次用水量分别为和时，用水量最小．【分析】（1）设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由＝0.99求得x，进而可知方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足的方程，进而解得y，进而求得a和z的关系式，进而根据a的范围得出方案乙的用水量较少．（2）设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，求得x和y的关系式，当a为定值时求得x+y的最小值，根据等号成立的条件求得c，；当a不为定值时，根据是增函数，进而可知，随着a的值的增加，最少用水总量增加．【解答】解：（1）设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有，解得x＝19．由c＝0.95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足方程：，解得y＝4a，故z＝3a+3．即两种方案的用水量分别为19与4a+8．因为当1≤a≤3时，x﹣z＝7（4﹣a）＞0，即x＞z，故方案乙的用水量较少．（2）设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类比（1）得：，y＝a（99﹣100c）（*），于是+a（99﹣100c）＝，当a为定值时，，当且仅当时等号成立．此时，将代入（*）式得．故时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为．

第11讲三角函数与诱导【题1】如图，写出所有终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合________【答案】【详解】解：分别与角终边相同的角为，因此终边落在阴影区域（包括边界）的角的集合是，.故答案为：.【题2】写出角的终边在下列位置时的集合．（1）角α的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界）；（2）角α的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）．【答案】（1）；（2）．【详解】（1）角的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界），角的集合为：；（2）角的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）．角的集合为．【题3】如图所示阴影部分角的集合.【答案】【详解】，，

，故答案为：.【题4】已知角的终边与300°角的终边重合，则的终边不可能在（

）．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【详解】因为角的终边与300°角的终边重合，所以，所以，令，，终边位于第二象限；令，，终边位于第三象限，令，，终边位于第四象限，令，，终边位于第二象限所以的终边不可能在第一象限，故选：A【题5】若角的终边与240°角的终边相同，则角的终边所在象限是（

）A．第二或第四象限 B．第二或第三象限C．第一或第四象限 D．第三或第四象限【答案】A【详解】由题意，所以，，当为偶数时，在第二象限，当为奇数时，在第四象限．故选：A．【题6】（多选）若是第二象限角，则（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角【答案】AB【详解】解：因为与关于x轴对称，而是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第一象限角，故A选项正确；因为是第二象限角，所以，，所以，，故是第一或第三象限角，故B选项正确；因为是第二象限角，所以是第一象限角，故C选项错误；因为是第二象限角，所以，，所以，，所以的终边可能在y轴负半轴上，故D选项错误．故选：AB.【题7】已知终边在第四象限，则终边所在的象限为_______________．【答案】第三象限或第四象限或轴负半轴【详解】由于是第四象限角,故,故,即终边在”第三象限或第四象限或轴负半轴”.故答案为：第三象限或第四象限或y轴负半轴.【题8】如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：设半径为，所以．所以，所以弧长．故选：A．【题9】已知扇形的周长为，则当扇形的圆心角________扇形面积最大．【答案】【详解】设扇形的半径为，弧长为，由题意，，扇形的面积为，所以当时，扇形面积取最大值，此时，所以扇形的圆心角时，扇形面积最大.故答案为：【题10】我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，一不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中的长度为______.【答案】##【详解】设圆的半径为，则，，由勾股定理可得，即，解得，所以，，，所以，，故，因此，，故答案为：.【题11】已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为弧度．求：(1)这个圆心角所对的弧长；(2)这个扇形的面积．【答案】(1)(2)(1)画出图象如下图所示，其中是弦的中点，，所以，，所以，也即扇形的半径为，所以圆心角所对的弧长为.(2)扇形的面积为.【题12】在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为角的终边经过点，所以该点到原点的距离为，所以.故选：D【题13】已知角的终边与单位圆交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】的终边与单位圆交于点,故，故，所以，故选：B.【题14】已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为角的终边与单位圆交于点，所以根据三角函数的定义可知，．故选：C．5已知角的终边与单位圆的交点为，则______.【答案】##0.45【详解】角α的终边与单位圆的交点为，则，，则故答案为：【题16】已知角的终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题设，.故选：A【题17】已知角的终边有一点，则________.【答案】【详解】由题意得，故答案为：【题18】已知角的终边经过点，则（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【详解】解：由题意得.故选：B.【题19】已知点为角α终边上一点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：因为点为角α终边上一点，所以，故选：C【题20】若角的终边与单位圆的交点为，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【详解】.故选：B．【题21】已知角的终边经过点，且，则实数的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，说明角的终边在第二或第三象限，终边上的点，，说明终边在第二象限，，，，解得a=-1；故选：B.【题22】角的终边经过点，且，则的值为______．【答案】【详解】由题意角的终边经过点，且，可知，则，解得，所以，故答案为：【题23】设角的终边经过点，那么______．【答案】##2.2【详解】角的终边经过点，所以，，，所以，故答案为：【题24】已知角终边过点，则的值为（

）A． B． C．– D．–【答案】A【详解】由题意得，点到原点的距离，所以根据三角函数的定义可知，，所以.故选：A．【题25】已知点为角终边上一点.，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由点为角终边上一点.，可得，结合得：，且，解得：，故选：C【题26】已知点是角终边上一点，且，则__________．【答案】##【详解】解：是角终边上的一点，到原点的距离为，，.故答案为：【题27】若为第三象限角，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，.故选：D【题28】已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，则又，所以．故选：C【题29】已知，，则_____.【答案】【详解】解：方法1，，又，且，为第二象限角，，.方法2，构造直角三角形如下图，在直角三角形中，，且

为第二象限角，

.故答案为：【题30】已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，且，所以，．故选：C．【题31】已知，则___________.【答案】【详解】解：因为，所以因为，所以，，即，所以，故答案为：【题32】已知，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】因，则，所以.故选：C【题33】已知，则______．【答案】【详解】由得：，.故答案为：.【题34】已知，，则______．【答案】2【详解】因为，所以，又因为，即，即，分子分母同除得：，即，所以或（舍）．故答案为：2【题35】已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)（1）解法一：∵，，∴，分子分母同时除以，得，即，解得．解法二：∵，∴，即，∴∴．（2）∵，∴．【题36】若，则的值为（

）A． B．4 C． D．【答案】C【详解】解：原式．故选：C．【题37】如果，那么___________.【答案】1【详解】由，得．故答案为：1．【题38】已知，求以下各式的值．(1)；(2)．【答案】(1)；(2).(1)解：.(2)解：.【题39】已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)(1)解：，解得：(2)解：【题40】的三个内角为，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】以为，，故可得，故，则.故选：D.【题41】（多选）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【详解】由…①，以及

，对等式①两边取平方得，…②，，，由②，，由①②，可以看作是一元二次方程的两个根，解得，，故A正确，B正确，C错误，D正确；故选：ABD.【题42】设是第二象限角，且满足，则___________.【答案】【详解】解：因为是第二象限角，即，则，当k为偶数时，，当k为奇数时，，由平方得，即，所以，故答案为：【题43】已知，则___________.【答案】【详解】在等式两边同时平方得，即，解得.故答案为：.【题44】已知，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)见解析.(1)把平方后得，，可得，可得，由，可得，，有．由，有．(2)由（1）有，①，解得，可得．②，解得，可得．【题45】函数y＝sinx＋cosx＋3cosxsinx的最大值是________，最小值是________.【答案】

【详解】令t＝sinx＋cosx，则t∈．∵(sinx＋cosx)2－2sinxcosx＝1，∴sinxcosx＝，∴，t∈，∵对称轴t＝－∈，∴ymin＝f＝×－－＝－，ymax＝f()＝.故函数的最大值与最小值分别为，－.名校真题练【练习1】如图，圆O的半径为1，劣弧，则阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由扇形面积减去三角形面积即可求解．【解答】解：圆O的半径为1，劣弧，所以α＝，则S△AOB＝×sin＝，S扇形AOB＝lr＝，所以阴影部分的面积为﹣．故选：B．【练习2】中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为l，，若l：m：AD＝9：3：2，则扇环的圆心角的弧度数为（）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】设扇环所在圆的圆心为O，圆心角为α，根据l：m：AD＝9：3：2，得到，进而求解结论．【解答】解：因为的长为l，，且l：m：AD＝9：3：3，如图，设扇环所在圆的圆心为O，则，所以OA＝3OD＝5（OA﹣AD），得，又，所以．故选：A．【练习3】若sinαtanα＞0，且cosαtanα＞0，则角α是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】A【分析】先由条件判断出sinα与tanα的符号，进而判断角α的终边所在的象限．【解答】解：∵，又∵sinαtanα＞0，∴tanα＞5，因此角α为第一象限角．故选：A．【练习4】已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边绕O点逆时针旋转后（﹣3，4），则sinα＝（）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果．【解答】解：∵角α的终边按逆时针方向旋转后得到的角为α+，由三角函数的定义：可得cos（α+）＝，sin（α+＝，∴sinα＝sin（α+﹣）＝sin（α+﹣cos（α+＝×﹣（﹣＝．故选：D．【练习5】若钝角α满足，则cosα的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先等式两边同乘以分母，左右平方，再根据同角三角函数关系减少未知量，最后结合角的范围求解．【解答】解：因为，则1+sinα﹣cosα＝2（4+sinα+cosα），整理得，sinα＝﹣1﹣3cosα3α＝（1+3cosα）7，化简得1﹣cos2α＝3cos2α+6cosα+6，又因为α为钝角，解得或cosα＝4（舍）．故选：C．【练习6】已知tanθ＝2，则sin2θ+sinθcosθ＝（）A． B． C． D．【答案】D【分析】将所求式子的分母“1”化为sin2θ+cos2θ，然后分子分母同时除以cos2θ，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanθ的值代入即可求出值．【解答】解：∵tanθ＝2，∴sin2θ+sinθcosθ＝＝＝＝．故选：D．【练习7】已知tanθ＝2，则＝（）A． B．2 C．1 D．【答案】D【分析】根据正弦二倍角公式及同角三角函数基本关系式可得结果．【解答】解：由题意知tanθ＝2，所以．故选：D．【练习8】已知函数f（x）＝sinx﹣cosx的图象关于直线x＝θ，θ∈（0，π），则tanθ＝（）A．1 B．﹣1 C． D．【答案】B【分析】由两角和与差的正弦将f（x）＝sinx﹣cosx转化为：f（x）＝sin（x﹣），即可求解结论．【解答】解：∵f（x）＝sinx﹣cosx＝sin（x﹣），令x﹣＝kπ+（k∈Z），∴f（x）的图象的对称轴方程为：x＝kπ+（k∈Z），∵函数f（x）＝sinx﹣cosx的图象关于直线x＝θ，θ∈（3，∴θ＝，∴tanθ＝﹣2，故选：B．【练习9】（多选）给出下列四个结论，其中正确的是（）A．lg2•lg50＝2 B．f（x）＝2loga（x﹣1）+3（a＞0，a≠1）（a＞0，a≠1）过定点（2，3） C．圆心角为，弧长为的扇形面积为 D．“x＞4”是“2x＞4”的充分不必要条件【答案】BCD【分析】根据对数的运算可对A判断；根据f（x）＝loga（x﹣1）+1过的定点可对B判断；根据扇形面积计算公式可对C项判断；根据函数y＝2x的单调性可对D项判断．【解答】解：对于A：lg2•lg50＝lg2•（lg10+lg2）＝lg2（1+lg4），故A项错误．对于B：f（x）＝loga（x﹣1）+3（a＞3，a≠1）恒过点（2，故B正确；对于C：圆心角为，弧长为，则得扇形面积为；对于D：2x＞8，解得：x＞2，但x＞2不一定得到x＞2，所以“x＞4”是“2x＞3”的充分不必要条件，故D正确．故选：BCD．【练习10】（多选）已知α为锐角，且，则下列选项中正确的有（）A． B． C． D．【答案】CD【分析】运用同角的三角函数关系式进行运算逐一判断即可．【解答】解：因为α为锐角，且＞5，所以cosα＞sinα，所以，选项A错误；因为，所以选项C正确；因为α为锐角，所以，因此选项D正确；由，所以选项B不正确．故选：CD．【练习11】半径为2cm，圆心角为的弧长为cm．【答案】．【分析】根据已知条件，结合弧长公式，即可求解．【解答】解：半径为2cm，圆心角为cm．故答案为：．【练习12】已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为1.2．【答案】见试题解答内容【分析】由弧长公式L＝Rθ直接可以算出．【解答】解：由题意可得：L＝144mm，R＝120mm，∵L＝Rθ，∴θ＝＝＝1.2rad．故答案为：2.2．【练习13】设α是第一象限的角，若，则tanα＝．【答案】．【分析】由α是第一象限角，，利用平方关系求得，进而可求sinα，根据商数关系即可求得tanα的值．【解答】解：∵α是第一象限角，，故，∴．故答案为：．【练习14】已知tanx＝2，则的值等于4．【答案】见试题解答内容【分析】原式分子分母除以cosx，利用同角三角函数间基本关系化简，将tanx的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tanx＝2，∴原式＝＝＝4．故答案为：3【练习15】已知tanα，tanβ是方程3x2+5x﹣7＝0的两根，求下列各式值：（1）tan（α+β）；（2）．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用韦达定理以及两角和的正切公式，求得tan（α+β）的值．（2）利用两角和差的三角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：（1）∵tanα，tanβ是方程3x2+7x﹣7＝0的两根，∴tanα+tanβ＝﹣，tanα•tanβ＝﹣，∴tan（α+β）＝＝；（2）＝＝＝．【练习16】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3，﹣4）．（1）求sinα+cosα的值；（2）求的值．【答案】（1）﹣；（2）．【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解；（2）根据诱导公式即可求解．【解答】解：（1）角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，﹣4），由三角函数的定义知，，，则；（2）由（1）得，，则，则＝．【练习17】已知．（1）求tanα的值；（2）求的值．【答案】（1）2；（2）．【分析】（1）利用给定等式，结合诱导公式化简即可求得．（2）由（1）的结论，利用齐次式法计算即得．【解答】解：（1）由，得7cosα﹣sinα＝3sinα﹣3cosα，即sinα＝7cosα，所以．（2）由（1）知，tanα＝2，所以＝．【练习18】已知．（1）化简f（α），并求的值；（2）若tanα＝3，求f（α）的值；（3）若，α∈（0，π），求sinα﹣cosα的值．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简可求f（α）＝﹣sinαcosα，利用特殊角的三角函数值即可计算求解．（2）利用同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．（3）由已知可求得：sinα＞0，cosα＜0，利用同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：（1）∵＝＝﹣sinαcosα，∴＝﹣sin＝﹣．（2）∵tanα＝3，∴f（α）＝﹣sinαcosα＝＝＝﹣．（3）∵＝﹣sinαcosα，π），∴sinαcosα＜0，可得：sinα＞0，∴sinα﹣cosα＝＝＝＝．【练习19】已知角α满足．（1）求tanα的值；（2）若角α是第三象限角，，求f（α）的值．【答案】（1）答案见解析；（2）．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式列方程组求解即可；（2）利用诱导公式求解即可．【解答】解：（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有，消去sinα得，解得或，当角α是第一象限角时，，因为角α是第三象限角，．（2）由题意可得，因为角α是第三象限角，所以，所以．第12讲三角函数的性质【题1】函数的定义域为_____________．【答案】【详解】由题意得：，故，则故答案为：【题2】函数的定义域是___________．【答案】，【详解】由得：，所以，.故答案为：，【题3】函数的定义域为___________.【答案】【详解】由题意，.故答案为：.【题4】下列函数中，最小正周期为的奇函数是（

）．A． B．C． D．【答案】C【详解】A选项，为偶函数，故A错误；B选项，，则，故为偶函数，故B错误；C选项，，最小正周期，且为奇函数，故C正确；D选项，为奇函数，最小正周期，故D错误．故选：C．【题5】函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为

所以，故选:B.【题6】函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：，所以的最小正周期．故选：C．【题7】下列函数中，以为最小正周期的偶函数为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】对于A，，定义域关于原点对称，，为偶函数，又，所以周期为，故正确；对于B，，定义域关于原点对称，，为偶函数，但，不是周期函数，故错误；对于C，，定义域关于原点对称，，为奇函数，故错误；对于D，，定义域关于原点对称，，为偶函数，又周期为，故错误；故选：A.【题8】给出下列函数：①；②；③；④．其中最小正周期为的有（

）A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③【答案】A【详解】对于①，，其最小正周期为;对于②，结合图象，知的最小正周期为．对于③，的最小正周期．对于④，的最小正周期．故选：A．【题9】函数的图像关于轴对称的充分必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由三角函数的性质可知若的图象关于轴，则，即，，故函数的图象关于轴对称的充分必要条件是，，故选：C．【题10】已知是周期为的奇函数，则可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】令，对于A，，，为偶函数，A错误；对于B，，，为偶函数，B错误；对于C，，，不是的周期，C错误；对于D，，，为奇函数；又的最小正周期，满足题意，D正确.故选：D.【题11】下列函数中，最小正周期为的奇函数是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A，函数，最小正周期为，且是偶函数；不满足题意对于B，函数，最小正周期为，不满足题意；对于C，函数，最小正周期为，不满足题意；对于D，函数，最小正周期为，且是奇函数.故选：D.【题12】若是奇函数，则常数的一个取值为___________.【答案】（答案不唯一）【详解】依题意，是奇函数，函数是奇函数，所以是奇函数，所以.故答案为：（答案不唯一）【题13】已知函数（，为常实数），且，则______．【答案】【详解】因为，定义域关于原点对称，设，，则是奇函数，因为，所以，所以．故答案为：.【题14】函数的一个对称中心是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】在函数中，由得，，所以函数的对称中心是，显然B，D不满足，A不满足，当是，对称中心为，C满足.故选：C【题15】已知函数图象的一条对称轴为直线，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【详解】因为，所以，解得，又，所以当时，取得最小值3.故选：B【题16】关于函数，有下述四个结论：①的一个周期为；

②的图象关于直线对称；③的一个零点为；

④在上单调递增．其中所有正确结论的编号是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．③④【答案】A【详解】，①正确；，则的图象关于对称，②错误；，，③正确；由可得，单调递减，④错误.故选：A.【题17】（多选）曲线的对称中心可能是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【详解】由，，得，，当时，，故D正确；当时，，故B正确；当时，，故C正确；由得，故A不正确.故选：BCD【题18】同时具有以下性质：“①最小正周期是π：②在区间上是增函数”的一个函数是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：对于A，函数的最小正周期，故A不符合题意；对于B，函数的最小正周期，当，，所以函数在区间上是增函数，故B符合题意；对于C，函数的最小正周期，当，，所以函数在区间上是减函数，故C不符题意；对于D，函数的最小正周期，当，，所以函数在区间上不具有单调性，故D不符题意.故选：B.【题19】已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意有，可得，又由，必有，可得.故选：A【题20】函数的单调递增区间是（

）A．， B．C． D．【答案】B【详解】因为函数，令，，解得，．所以函数的单调递增区间是.故选：B【题21】（多选）若函数在上单调，则的取值可以为（

）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】若，则，依题意可得，则．对照四个选项：ABC符合题意.故选：ABC【题22】（多选）若函数在区间上单调，则的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】方法一：当时，，在区间上单调，或，或；由得：；又，；，又，，，又，；由得：；又，，，又，，，即；综上所述：.方法二：，当时，；在上单调，，；由，知：或，解得：或，.故选：AC.【题23】已知函数，.求函数的单调递增区间.【答案】由的单调递增区间为，且，则，解得，函数的单调递增区间为.【题24】已知函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)求函数的值域.【答案】(1)(2)(1)∵∴，即所求单调递增区间为：；(2)，其中，即.5已知函数，且函数的最小正周期为.(1)求的解析式，并求出的单调递增区间；(2)将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数的最大值及取得最大值时x的取值集合.【答案】(1)，;(2)，.（1）由函数的最小正周期为,则，故，令，解得，故的单调递增区间为.（2），则的最大值为，此时有，即，故，解得，所以当取得最大值时的取值集合为.【题26】已知函数.(1)求的值及函数的最小正周期；(2)设，当时，求的值域.【答案】(1)，最小正周期(2)（1）解：函数，，最小正周期；（2）解：，，，，的值域为.【题27】已知函数．(1)求函数的单调递增区间；(2)先将的图象向左平移个单位，再保持纵坐标不变，将每个点的横坐标缩短为原来的一半，再将函数图象向上平移个单位，得到函数的图象．求函数在上的值域．【答案】(1)(2)（1）化简得：令，，解得，，所以函数的增区间为．（2）将的图象向左平移个单位，再保持纵坐标不变，得，再将每个点的横坐标缩短为原来的一半，得，再将函数图象向上平移个单位，得到函数，令，则的取值范围是，则的取值范围是，所以的取值范围是．【题28】已知函数的最大值为．（1）求常数的值．（2）求函数的单调递减区间．（3）若，求函数的值域．【答案】（1）；（2）单调递减区间为，；（3）【详解】.（1）由，解得.（2）由，则，，解得，，所以函数的单调递减区间为，，（3）由，则，所以，所以，所以函数的值域为.【题29】已知函数．(1)求的单调递增区间；(2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间内的值域．【答案】(1)；(2)．（1）因为，令，解得，则的单调递增区间是；（2）由（1）可得．因为，所以，所以，所以，即在区间内的值域为．【题30】已知函数，.(1)求的单调递增区间；(2)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)最大值为，最小值为（1）令，解得,所以的单调递增区间为（2）当时，则，故当时，取最大值，为，当时，取最小值，为，【题31】已知函数.(1)求的值；(2)若，求的最大值和最小值.【答案】(1)(2)最大值为，最小值为（1）=.（2）.因为，所以，所以，所以所以的最大值为，最小值为.【题32】函数的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，令，则．因为在上单增，所以当时，．故选：C．【题33】函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数，因为，所以当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值，故函数的值域为，故选：A．【题34】已知函数，则的最大值为___________.【答案】##【详解】设，则，，，∴时，，即．故答案为：．【题35】函数，在区间上的最大值是_____.【答案】##【详解】，由于，所以当时取得最大值.故答案为：【题36】已知函数．(1)求；(2)求函数的最值及相应的x值．【答案】(1)(2)，时，或，时，(1).(2)因为，所以当，即，时，当，即或，时，【题37】已知函数．(1)若方程有解，求实数的取值范围；(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)（1）由，得,又，所以当时，取得最小值；当时，取得最大值,所以实数的取值范围为．（2）由,恒成立，得,恒成立．设，,所以当时，取得最小值4，所以；设，,所以当时，取得最大值3，所以,综上，实数的取值范围为．【题38】函数（）的最大值是（

）A． B． C． D．1【答案】A【详解】．令，则．而在上单增，所以当时，．故选：A．【题39】函数的值域为___________.【答案】【详解】；令，则故答案为：．【题40】函数的最大值为___________.【答案】【详解】，当时，.故答案为：.【题41】函数的值域是_____.【答案】【详解】，令，所以原式，当时，能取到最小值，当时，能取到最大值，所以值域为.故答案为：.【题42】函数，的值域是______．【答案】【详解】，故答案为：【题43】函数的值域为____________【答案】【详解】解：因为令，则所以，所以，故函数的值域为故答案为：【题44】已知，求的值域．【答案】【详解】令，又，∴，故函数化为，且对称轴为．∴当时，．当时，．∴的值域为．【题45】函数的值域为______.【答案】【详解】，，设，得：，即，化得：，即，（其中）.化得：，解此不等式得：.故答案为：【题46】函数的值域为_____________．【答案】【详解】令，，则，即，所以，又因为，所以，即函数的值域为．故答案为：.【题47】函数的最大值为________．【答案】##【详解】解：∵，∴，由题意得，当且仅当，即时取等号，故的最大值为．故答案为：【题48】函数的定义域为_________，值域为_________.【答案】

；

.【详解】解：由题意可得，即，所以且，即.所以函数的定义域为；令，则，当时，=，当，即时，等号成立；当时，=，当，即时，等号成立；所以函数的值域为：.故答案为：；.名校真题练【练习1】已知ω＞0，函数在上单调（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据条件，利用y＝sinx的性质，利用整体代入法分别求出的单调递增和单调递减区间，然后分函数在上单调递增和递减两种情况讨论，可得和且0＜ω≤2，即可求出结果．【解答】解：已知ω＞0，函数在，由，得，所以，∴，又，∴3＜ω≤2，取k＝0，得，由，得，所以，∴，又，∴0＜ω≤8，取k＝0，得，所以ω的取值范围是．故选：C．【练习2】当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】分别画出y＝sinx与在[0，2π]上的函数图象，根据图象判断即可．【解答】解：因为函数的最小正周期为，所以函数在[8，因为函数y＝sinx的最小正周期为2π，所以函数y＝sinx在[0，在平面直角坐标系中，作出两函数在[4，如图所示：由图可知，曲线y＝sinx与．故选：C．【练习3】下列函数中最小正周期为π且是奇函数的为（）A．y＝tan2x B． C． D．【答案】C【分析】根据正切函数的周期与奇偶性可判断AB，根据诱导公式化简CD的解析式，再根据正余弦函数的奇偶性可判断．【解答】解：对于A，y＝tan2x的最小正周期为；对于B，为非奇非偶函数；对于C，，易知为奇函数，故C正确；对于D，为偶函数．故选：C．【练习4】已知函数的最小正周期为2π，直线（x）图象的一条对称轴，则f（x）（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由y＝|tanx|的相关性质结合条件即可求得ω，φ，再由y＝|tanx|的单调减区间得到不等式，求解即可．【解答】解：因为y＝|tanx|的最小正周期为π，对称轴为，单调递减区间为（]．因为的最小正周期为4π，所以f（x）＝tan（ωx+φ）的最小正周期为2π，所以，因为直线是f（x）图象的一条对称轴，所以，k∈Z，k∈Z，因为，所以，所以，令，k∈Z，解得，k∈Z．故选：B．【练习5】设函数，则下列叙述正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2π B．f（x）的图象关于直线对称 C．f（x）在上的最小值为 D．f（x）的图象关于点对称【答案】D【分析】根据正弦型函数的周期性、对称性、值域逐项判断即可得结论．【解答】解：对于A，f（x）的最小正周期T＝；对于B，∵，∴直线，故B错误；对于C，时，，∴，∴，∴f（x）在上的最小值为；对于D，∵sin（5×﹣，2sin（2×﹣＝，∴f（x）的图象关于点对称．故选：D．【练习6】已知函数f（x）＝2|sinx|cosx，现有下列四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）是周期为π的周期函数；③f（x）在上单调递减；④f（x）的最小值为．其中所有正确结论的编号是（）A．①③ B．③④ C．①②④ D．①③④【答案】D【分析】由f（﹣x）＝f（x），判断f（x）是偶函数，即可判断①；由f（x+π）≠f（x），即可判断②；由题意可得当x∈[π，]时，，利用复合函数的单调性即可判断③；由题意可求f（x）是周期为2π的周期函数，当x∈[0，2π]时，f（x）＝，利用复合函数的性质即可判断④．【解答】解：因为f（﹣x）＝f（x），所以f（x）是偶函数；f（x+π）＝2|sin（x+π）|cos（x+π）＝2﹣|sinxlcosx≠f（x），②错误；当x∈[π，]时，，因为，所以在上单调递减，又y＝2x单调递增，所以f（x）在上单调递减；因为f（x+2π）＝f（x），所以f（x）是周期为8π的周期函数，当x∈[0，2π]时|sinx|cosx＝，则f（x）的最小值为，④正确．故选：D．【练习7】已知函数f（x）＝2sinωx（ω＞0）在区间，若函数f（x）在上的图象与直线y＝2有且仅有一个交点（）A．[2，5） B．[1，5） C．[1，2] D．【答案】D【分析】结合函数的对称性，及f（x）在区间上的单调性，可知，又函数f（x）与直线y＝2交点的横坐标为，