九年级圆的切线练习题详解

九年级圆的切线练习题详解圆的切线是初中几何的核心考点之一，在中考中常以证明题、计算题的形式出现，既考查对切线定义、判定定理的理解，也要求结合三角形、四边形等知识综合运用。掌握切线相关题型的解题思路，能有效提升几何推理与计算能力。一、核心知识点回顾1.切线的定义若一条直线与圆只有一个公共点，或圆心到直线的距离等于圆的半径，则这条直线是圆的切线。2.切线的判定定理经过半径的外端点，且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（简言之：“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”，需根据切点是否已知选择方法）3.切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径。（切线与半径的垂直关系是计算与证明的核心突破口）二、典型题型与解题详解题型一：已知切点，证明直线是切线（“连半径，证垂直”）例题：如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD，AC平分∠DAB。求证：CD是⊙O的切线。分析：已知CD与⊙O的切点为C，因此连接OC（半径），只需证明OC⊥CD。证明过程：1.连接OC。∵OA=OC（⊙O的半径），∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）。2.∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC（角平分线定义）。3.由1、2得∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD（内错角相等，两直线平行）。4.∵AD⊥CD（已知），∴OC⊥CD（两直线平行，同位角相等）。5.∵OC是⊙O的半径，且OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线（切线判定定理）。解题反思：已知切点时，“连接半径”是关键步骤，将问题转化为证明半径与直线垂直。可通过角相等（如等腰三角形、角平分线）、平行关系等推导垂直。题型二：未知切点，证明直线是切线（“作垂直，证半径”）例题：在△ABC中，AB=AC，O是BC的中点，以O为圆心的圆与AB相切于点D。求证：AC与⊙O相切。分析：AC与⊙O的切点未知，因此过O作AC的垂线OE（E为垂足），只需证明OE等于⊙O的半径（即OD的长度）。证明过程：1.连接OD、OA，过O作OE⊥AC于E。∵AB与⊙O相切于D，∴OD⊥AB（切线性质）。2.∵AB=AC，O是BC中点，∴AO平分∠BAC（等腰三角形三线合一）。3.∵OD⊥AB，OE⊥AC，且AO平分∠BAC，∴OE=OD（角平分线上的点到角两边的距离相等）。4.∵OD是⊙O的半径，∴OE也是⊙O的半径（等量代换）。5.∵OE⊥AC，且OE是⊙O的半径，∴AC与⊙O相切（切线判定定理）。解题反思：未知切点时，“作垂线”是核心思路，通过角平分线性质、全等三角形或等腰三角形性质证明垂线段长度等于半径。题型三：切线性质的综合应用（“利用垂直，构造直角三角形”）例题：PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，OA=3，求PA的长。分析：由切线性质知OA⊥PA，OB⊥PB，且PA=PB（切线长定理），因此四边形OAPB中，∠OAP=∠OBP=90°，结合∠APB=60°，可推导△OAP的形状。解答过程：1.连接OP。∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB（切线性质与切线长定理）。2.∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴∠APO=∠BPO=½∠APB=30°（全等三角形对应角相等）。3.在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠APO=30°，OA=3。∵在含30°角的直角三角形中，斜边是30°角对边的2倍，∴OP=2OA=6。4.由勾股定理，PA=√(OP²-OA²)=√(6²-3²)=√27=3√3。解题反思：切线性质提供“垂直”关系，常结合直角三角形性质（勾股定理、含30°角的直角三角形）、全等/相似三角形、三角函数等知识。解题时需挖掘隐含条件（如切线长相等、圆心角与圆周角的关系），构造可计算的直角三角形。三、方法总结与拓展1.切线证明的两种核心思路：已知切点：连半径，证垂直（利用角相等、平行、全等推导垂直）。未知切点：作垂直，证半径（利用角平分线、等腰三角形、全等证明垂线段等于半径）。2.切线性质的应用技巧：切线与半径垂直的性质是“桥梁”，可将几何问题转化为直角三角形问题，结合勾股定理、三角函数、相似三角形等工具求解。3.拓展训练建议：练习时可关注“切线+等腰三角形”“切线+圆内接四边形”“切线+三角函数”等综合题型，强化对知识的灵活运用。通过对切线定义、判定