2025年图形转换试题及答案

2025年图形转换试题及答案一、图形变换基础题（共5小题，每小题6分，共30分）1.已知平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(1,2)、B(3,5)、C(0,4)。将△ABC先沿x轴正方向平移2个单位长度，再绕原点O顺时针旋转90°，得到△A'B'C'。求点A'的坐标。2.图1为边长为4的正六边形ABCDEF（中心在原点，顶点A在(4,0)），图2是图1关于直线y=x对称后的图形。若图2中顶点D的原坐标为(-2,2√3)，求对称后顶点D'的坐标。3.观察图3序列：第1个图形由2个小正方形组成“L”形，第2个图形在第1个基础上，在“L”形的缺口处添加2个小正方形形成“凹”形，第3个图形在第2个基础上，在新缺口处添加4个小正方形形成更大的“凹”形。按此规律，第5个图形共包含多少个小正方形？4.图4为等腰梯形ABCD（AD∥BC，AD=6，BC=10，高为4），将其沿对称轴MN（MN为上下底中点连线）折叠后，点A与点D重合，点B与点C重合。若折叠后图形与原图形重叠部分的面积为12，求原梯形中腰AB的长度。5.图5是由边长为1的小立方体堆叠而成的几何体的主视图和左视图（主视图：3层，底层3个，中层2个，顶层1个；左视图：3层，底层2个，中层2个，顶层1个）。求该几何体的最小体积。二、图形变换综合题（共3小题，每小题12分，共36分）6.图6为正方形网格（每个小正方形边长为1），△PQR的顶点坐标为P(2,3)、Q(5,1)、R(1,0)。现对△PQR进行如下变换：先以原点O为位似中心，按位似比2:1放大，得到△P1Q1R1；再将△P1Q1R1绕点P1逆时针旋转90°，得到△P2Q2R2。（1）求点Q1的坐标；（2）求点Q2的坐标。7.图7为两个全等的直角三角形（∠C=90°，AC=3，BC=4），将其中一个三角形（△ABC）固定，另一个三角形（△DEF）的顶点D与A重合，DE边与AB边重合（DE=AB=5）。现让△DEF绕点A逆时针旋转，当点F第一次落在BC边上时，求旋转角的正弦值。8.图8是由等边三角形和正方形组成的组合图形（等边三角形边长为a，正方形边长为b，且a=2b）。若将该组合图形以正方形的一边为轴旋转一周，得到一个旋转体。（1）描述旋转体的组成部分；（2）求旋转体的表面积（用π、a表示）。三、图形变换创新题（共2小题，每小题17分，共34分）9.图9为动态变换示意图：初始图形为边长为2的正三角形（顶点A在(0,0)，B在(2,0)，C在(1,√3)）。第一次变换：将图形绕点A顺时针旋转60°，得到图形①；第二次变换：将图形①绕点B'（图形①中B的对应点）逆时针旋转60°，得到图形②；第三次变换：将图形②绕点C''（图形②中C的对应点）顺时针旋转60°，得到图形③。按此规律，进行n次变换后，求第n次变换后顶点A的坐标（用n表示）。10.图10是某城市规划图的局部简化图，其中直线l为河流，A、B为两岸的两个社区（A到l的距离为3km，B到l的距离为5km，A、B在l上的垂足分别为O、P，OP=12km）。现需在河流l上建一座桥（桥身垂直于l，长度忽略不计），使从A到B经过桥的路径最短。（1）用图形变换的方法，画出最短路径的示意图；（2）求最短路径的长度。答案及解析一、图形变换基础题1.解析：平移后A点坐标为(1+2,2)=(3,2)；顺时针旋转90°的坐标变换公式为(x,y)→(y,-x)，故A'坐标为(2,-3)。答案：(2,-3)2.解析：关于直线y=x对称的坐标变换为(x,y)→(y,x)，原D点坐标(-2,2√3)，对称后D'坐标为(2√3,-2)。答案：(2√3,-2)3.解析：第1个图形2个，第2个2+2=4个，第3个4+4=8个，第4个8+8=16个，第5个16+16=32个（规律：后一个图形比前一个多的数量是前一次增加量的2倍）。答案：324.解析：梯形面积=(6+10)×4÷2=32，重叠部分面积12，则非重叠部分面积20。折叠后，原腰AB与CD重合，设AB=CD=x，梯形高为4，腰长x=√[((10-6)/2)²+4²]=√(4+16)=√20=2√5。答案：2√55.解析：主视图和左视图确定几何体的行列层数。底层最少3个（主视底层3个，左视底层2个，取交集至少2列，故底层3个）；中层最少2个（主视中层2个，左视中层2个，需覆盖2列）；顶层1个。最小体积=3+2+1=6。答案：6二、图形变换综合题6.（1）位似比2:1，原点为中心，Q(5,1)放大后Q1(10,2)。（2）绕P1(4,6)逆时针旋转90°，Q1(10,2)相对于P1的坐标为(6,-4)，旋转后坐标为(4,6)+(4,6)=(8,12)（旋转90°公式：(x,y)→(-y,x)，故(6,-4)→(4,6)，加P1坐标得(4+4,6+6)=(8,12)）。答案：（1）(10,2)；（2）(8,12)7.解析：设旋转角为θ，AF=AC=3（△DEF≌△ABC，故DF=AC=3）。在△ABF中，AB=5，BF=BC-FC=4-FC，AF=3，由余弦定理：3²=5²+FC²-2×5×FC×cos∠B（∠B=arccos(4/5)）。又FC=4-BF，联立得θ=arcsin(12/13)。答案：12/138.（1）旋转体由等边三角形旋转形成的圆锥（底面半径a/2，高√3a/2）和正方形旋转形成的圆柱（底面半径b=a/2，高b=a/2）组成。（2）表面积=圆锥侧面积+圆柱侧面积+圆柱底面积（圆锥无底面，圆柱有一个底面与圆锥底面重合）。圆锥侧面积=π×(a/2)×a=πa²/2；圆柱侧面积=2π×(a/2)×(a/2)=πa²/2；圆柱底面积=π×(a/2)²=πa²/4。总表面积=πa²/2+πa²/2+πa²/4=5πa²/4。答案：（1）圆锥与圆柱组合体；（2）5πa²/4三、图形变换创新题9.解析：每次旋转60°，n次变换后，顶点A的位移可分解为向量叠加。第一次旋转后，A不动（绕A旋转）；第二次绕B'旋转，B'坐标为(2cos(-60°),2sin(-60°))=(1,-√3)，A绕B'逆时针旋转60°，位移向量为(2cos60°,2sin60°)=(1,√3)，故A坐标变为(1,-√3)+(1,√3)=(2,0)；第三次绕C''旋转，C''坐标为(2+2cos60°,0+2sin60°)=(3,√3)，A绕C''顺时针旋转60°，位移向量为(2cos(-60°),2sin(-60°))=(1,-√3)，故A坐标变为(3,√3)+(1,-√3)=(4,0)。规律为n次后A坐标为(2n,0)（n≥1）。答案：(2n,0)10.（1）将点B沿垂直于l的方向向A侧平移桥的长度（桥长忽略，故直接平移B到B'，使BB'⊥l且BB'=桥长，此处桥长为0，故B'与B重合？实际应为将B关于l对称到B''，连接AB''与l交于桥的位置）。正确方法：作B关于l的对