浙江省台州市六校联盟2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题

六校联盟学年第一学期期中联考高二数学试题卷（）命题：温岭市箬横中学（张芳芳吕陈佳）审题：温岭市箬横中学（郑芳）考生须知：考试范围：选择性必修第一册第一章至第三章（抛物线方程）本试题卷分选择题和非选择题两部分全卷共4页，满分分，考试时间分钟.考生答题前，务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.选择题部分一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共分每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分）1.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定直线方程，直接求出倾斜角作答.【详解】直线垂直于x轴，所以直线的倾斜角为.故选：C2.双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的方程，得到双曲线的焦点在轴上，且，即可求解双曲线的渐近线方程．【详解】由双曲线，可知双曲线的焦点在轴上，且，第1页/共21页所以其渐近线方程为.故选：B．3.已知两条平行直线，则和间的距离为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析】由两平行线间距离公式求解即可；【详解】，所以由两平行线间的距离公式可得，故选：D4.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量坐标运算求出数量积及模长，再结合投影向量公式计算即可.【详解】由已知可得，所以向量在向量上的投影向量是.故选：D.5.中，，，，，为线段等于（）第2页/共21页【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算求解．【详解】由已知，故选：D．6.在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，4，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和490°中异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】第3页/共21页【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线与所成角的余弦值．【详解】图，设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，则，，，又异面直线所成角的范围为，故异面直线与所成角的余弦值为．故选：A．7.在平面直角坐标系中，一道光线沿直线：经轴反射，反射光线与圆：恰有一个公共点，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分析可知直线过定点，斜率为，根据直线与圆相切列式求解即可.【详解】圆：的圆心为，半径，第4页/共21页因为直线：即为，令，可得，即直线过定点，根据对称性可知，直线过定点，斜率为，则直线：，即，则，整理可得，解得.故选：C.8.已知椭圆的直线与椭圆交于，且，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，根据椭圆的定义可得，理列方程可得，进而结合余弦定理可求得，进而求解即可.【详解】因为，设，如图所示，由椭圆的定义可知，，则，同理，则，因为，则，则，化简可得，则，则（舍去）或，所以，所以为椭圆的上（或下）顶点，第5页/共21页又，所以中，，解得，即.故选：A二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共分每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.已知直线，则下列说法正确的是（）A.直线过点B.直线的斜率为C.直线的纵截距为3D.直线不经过第一象限【答案】BD【解析】【分析】利用代入法判断A；将直线的一般式化为斜截式方程判断BC；画出图象判断D.【详解】已知直线，即，则直线的斜率为，纵截距为，B正确，C错误；再令，得，所以直线不过点，A错误；作出直线，可知直线不经过第一象限，D正确.故选：BD第6页/共21页10.已知圆，则下列命题正确的是（）A.圆心坐标为B.过点引圆的两条切线，切点记为，则四边形的面积为C.若经过点的直线与圆相交，且弦长为4，则直线方程为D.圆上恰有三个点到直线的距离为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，将圆的一般方程化为标准方程即可判断；对于B，由题意，可得，，C的斜率不存在时直线D到直线的距离为径即可判断.【详解】对于A，由圆，即，则圆心为，半径为，故A正确；对于B，由题意，，且，而，，则，则四边形的面积为，故B正确；对于C，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与圆相交于点，弦长为4，满足题意，故C错误；对于D，圆心到直线的距离为，由于，则圆上恰有三个点到直线的距离为，故D正确.故选：ABD随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用.双曲线的光学性质第7页/共21页是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左､右焦点，，点的坐标为，则下列结论正确的是（）A.双曲线的离心率为2B.若从射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为C.D.过双曲线左支上点作双曲线的切线交轴于，则【答案】BC【解析】【分析】对于A，根据题意求离心率即可；对于B，由题意知反射光所在直线为直线，斜率介于两条渐近线斜率之间；对于C，可得，，直线的斜率不存在，进而得到，然后可得；对于D，可设切线方程，联立得到点坐标即可求解．【详解】对于A，双曲线，焦点轴，则，所以双曲线的离心率，故A错误；对于B，如图：反射光所在直线为直线，根据双曲线的性质可知斜率介于两条渐近线斜率之间，第8页/共21页又渐近线斜率，所以反射光线所在直线的斜率的取值范围为，故B正确；对于C，由题意得，又，，则，，直线的斜率不存在，所以，，又,所以，故C正确；对于D，由题意知，切线斜率不为零，可设方程为，联立得：，，解得，即切点的纵坐标，，解得，又点在左支上，所以，，故D错误；故选：BC．非选择题部分三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共分）12.若向量，且，则__________.【答案】【解析】【分析】根据空间向量平行的坐标计算可得，进而结合模的坐标公式求解即可.第9页/共21页【详解】由，则，解得，则，所以.故答案为：.13.已知F是抛物线C：P是抛物线CQ是曲线上一动点，则的最小值为______【答案】5【解析】【分析】由抛物线定义，将最小值转化为点所在圆的圆心到准线的距离减圆半径.【详解】曲线，即，设其圆心为，则.抛物线的准线，过点作，垂足为，则，所以.当共线时，最小，此时最小值为点到直线的距离.设到直线的距离为，则，则的最小值为.所以的最小值为.故答案为：.第10页/共21页的轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题.已知点为空间中四个定点，，且两两的夹角都是，若动点满足，动点满足，则的最大值是__________.【答案】6【解析】的轨迹是过的终点且垂直的平面的轨迹是以线段为直径的球的最大值就是球心到平面的距离加上球的半径离与半径进行计算即可.与记作点，则，所以动点的轨迹是过的终点且垂直的平面，动点的轨迹是以线段为直径的球，的最大值就是球心到平面的距离加上球的半径..，第11页/共21页.故答案为：.四､解答题（本题共5小题；其中第小题分，第小题分，第小题分，第小题分，第小题分；共分）15.已知点，（1）求的面积；（2）是否存在点，使四边形为直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，或【解析】1）先求直线方程，在根据点到直线的距离公式求高，最后利用面积公式计算即可；（2）分和两种情况，利用平行，垂直列方程组求解坐标即可【小问1详解】，则，即，，点到直线的距离，则；【小问2详解】设点．，，与不垂直，若，则，第12页/共21页，解得，点．若，则，，解得，点，综上，存在点，使四边形为直角梯形，或.16.如图，在四棱锥中，底面是正方形，，是的中点.（1）证明：平面；（2）若平面平面，，，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1）连接辅助线，利用中位线定理可得，根据线面平行判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，平面的法向量坐标，根据直线与平面所成角的向量公式求解线面角的正弦值即可.第13页/共21页【小问1详解】如图，连接与相交于点，连接，正方形的对角线和交于点，又，，又平面，平面，平面.【小问2详解】平面平面在平面内作的垂线，可得垂线垂直于平面，又因为，则以为坐标原点，向量，方向分别为，轴的正方向，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，又由，，，可得点的坐标为，点的坐标为，设平面的法向量为，由，，有，取，，，可得平面的一个法向量为，又由，有，故直线与平面所成的角的正弦值为.17.如图，2025年中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边长为12米，点6米的点3米的处放置一个机器人，机器犬行走的速度为机器人行走的速度的两倍，若机器犬和机器人在场地第14页/共21页内沿着直线方向同时到达场地内某点（即叫成功点.（1）请建立恰当的平面直角坐标系，求在这个矩形场地内（包含边界）成功点的轨迹方程；（2点处安装一台监测设备用来追踪机器犬被捕获的过程.若该设备发射的信号覆盖范围呈圆形，请问信号范围至少为多少米？【答案】（1）（2）【解析】1）建立平面直角坐标系，设，由求解；（2）设出C为圆心的圆的方程，由两圆内含或内切求解.【小问1详解】建立如图所示平面直角坐标系：设，则，因为，所以，化简得，成功点的轨迹方程为；【小问2详解】由（1）知：，设以C为圆心的圆的方程为，第15页/共21页因为信号覆盖追踪机器犬被捕获的过程，即覆盖成功点，所以两圆内含或内切，所以，解得，所以信号范围至少为米.18.已知椭圆，焦距为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4.（1）求椭圆的方程；（2）经过右顶点的直线与椭圆的另一个交点为，点关于轴的对称点为（与直线与轴的交点分别为和.若，求线段的长.【答案】（1）（2）【解析】1）由题意可得，解方程组即可求解；（2）设，进而求出坐标，再根据可求出，，进而求解即可．【小问1详解】由题意得，，解得，则椭圆的方程为.【小问2详解】由（1）知，，如图：第16页/共21页所以直线的方程为，令，得，同理直线的方程为，令，得，又，因为，所以，所以，由题意知，，则，所以，则，所以.19.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点和平面为多面体的所有以为公共点的面.已知三棱锥如图所示.第17页/共21页（1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；（2）若平面为中点，三棱锥在顶点处的离散曲率为.求点到平面的距离；（3）在（2）的前提下，又知为侧面内一动点，记二面角为，直线与平面所成角为，若，求三棱锥体积的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】1）由离散曲率的定义求、、、，即可得；（2）由线面垂直的性质和判断得，结合求得，由为中点，确定的长，结合三棱锥等体积转换求解点到平面的距离即可；（3在平面上的射影的轨迹是以为准线的抛物线一部分，再结抛物线与直线相交、等体积法，即可求解棱锥体积的最大值．【小问1详解】由离散曲率的定义得：，第18页/共21页，，，所以，故三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和为；【小问2详解】由平面，平面，得，又，，，平面，则平面，又平面，所以，即，又，即，解得，由平面，平面，得，则为等腰直角三角形，所以，，因为为中点，所以，，又，所以，因为，则，则，故，第19页/共21页设点到平面的距离为，在三棱锥中，有，所以，则，故点到平面的距离为；【小问