【联考】湖北省十一校2024届高三下学期第二次联考数学试题

数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B． C．D．2，已知i．为虚数单位，复数z满足，则的虚部为（）A．B．1 C．iD．若，则（）3．若tana-a2，SIn2u-A．B． C．D．4．已知向量，，满足，则（）A． B． C．D．5．如图，A是平面内一定点，B是平面外一定点，且，直线AB与平面所成角为45°，设平面内动点M到点AB的距离相等，则线段AM的长度的最小值为（）A．4B． C．2D．6．的展开式中的系数是，则实数a的值为（）A．0B．3C．D．7．平面直角坐标系xOy中，已知点，其中，若圆上存在点P满足，则实数a的取值范围是（）A． B． C．D．8．若对于任意正数xy，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若，则下列说法正确的有（）A．B．C．D．10．如图所示的数阵的特点是：每行每列都成等差数列，该数列一共有n行n列，表示第i行第j列的数，比如，，则（）234567……35791113……4710131619……5913172125……61116212631……71319253137…………A．B．数字65在这个数阵中出现的次数为8次C．D．这个数阵中个数的和11，用平面截圆柱面，圆柱的轴与平面所成角记为，当为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切．下列结论中正确的有（）A．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等B．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距相等C．所得椭圆的离心率D．其中为椭圆长轴，R为球半径，有三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知函数，则关于x的不等式的解集为______．13．在矩形ABCD中，，，E，F分别是BC，AD的中点，将四边形ABEF沿EF折起使得二面角的大小为90°，则三棱锥的外接球的表面积为______．14．已知在数列中，，数列的前n和为，为等差数列，，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在平面四边形ABCD中，，，．（1）求的值；（2）若，求AD的长．16．（15分）如图所示，平面平面ABCD，且四边形ACFE是矩形，在四边形ABCD中，，．（1）若，求证平面BDF：（2）若直线BF与平面ABCD所成角为，求平面BED与平面BCF所成锐二面角的余弦值．17．（15分）2023年12月30号，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次任务是长征系列运载火箭的第505次飞行，也代表着中国航天2023年完美收官。某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽取一个容量为n的样本进行调查，调查结果如下表：学生群体关注度合计关注不关注大学生高中生合计附：0.10.050.0250.010.0012.7063.8415.0246.63510.828，其中．（1）完成上述列联表，依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，求样本容量n的最小值；（2）该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择：方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级．已知小华同学答出三个问题的概率分别是，，，小华回答三个问题正确与否相互独立，则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大？（说明理由）18．（17分）已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面为．（1）求椭圆M的标准方程：（2）设椭圆M的右顶点为C、P是椭圆M上不与顶点重合的动点．（i）若点，点D在椭圆M上且位于x轴下方，直线PD交x轴于点F，设和的面积分别为，若，求点D的坐标：（ii）若直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点N，求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线QN和直线QC的斜率）．19．（17分）我们知道通过牛顿莱布尼兹公式，可以求曲线梯形（如图1所示阴影部分）的面积，其中，．如果平面图形由两条曲线围成（如图2所示阴影部分），曲线可以表示为，曲线可以表示为，那么阴影区域的面积，其中．（1）如图，连续函数在区间与的图形分别为直径为1的上、下半圆周，在区间与的图形分别为直径为2的下、上半圆周，设．求的值；（2）在曲线上某一个点处作切线，便之与曲线和x轴所围成的面积为，求切线方程；（3）正项数列是以公差为d（d为常数，）的等差数列，，两条抛物线，记它们交点的横坐标的绝对值为，两条抛物线围成的封闭图形的面积为，求证：．2024届高三湖北十一校第二次联考数学参考答案及评分细则题号1234567891011答案ABBCADDCACDACABC1．，选：A2．设，，由，得，，解得，的虚部为选：B得，选：B4．由得向量的夹角为60°，选：C5．由题意得，动点M的轨迹是线段AB的中垂面与平面的交线，可得线段AM的最小值为选：A6．，所以的系数为，所以选：D7．设，，得P得轨迹方程为圆，所以圆C和已知圆相交即可，圆心距，，其中，，得得选：D8．参变分离得，，设，得，，设，，求导讨论单调性，可得选：C9．可知期望为100，方差为，C选项正确D选项正确选：ACD10．第i行是以为首项，以为公差的等差数列，，C正确可知A正确，对于B选项故共出现7次，B错误对于D选项，令，2，检验可知错误．选：AC11．A选项易知正确B选项，如图可知得证C选项，，，得证D选项，可知，，，，所以错误．选：ABC12．13．14．12．当时，得，当时，得，综上：的解集为13．由题意，可将三棱锥补形成长方体，设长方体外接球半径为R，则，14．为等差数列，数列等差数列，，，则，，经检验则，，四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）在中，由余弦定理可得：；（2）在中，由正弦定理可得：16．（1）证明：连接BD与AC交于点O，，又，，，四边形ABCD是等腰梯形且，四边形AOFM是平行四边形又面BDF，面BDF，平面BDF，（2）∵平面平面ABCD，且四边形ACFE是矩形平面ABCD建立如图所示空间直角坐标系，由BF与平面ABCD所成角为，得√设平面BED的法向量为，则设平面BCF的法向量为，则17．（15分）解：（1）学生群体关注度合计关注不关注大学生高中生合计n零假设为：关注航天事业发展与学生群体无关根据列联表中的数据，经计算得到因为依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关所以由题可知，n是10的倍数，（2）记小华同学答出三个问题的事件分别A，B，C，则，，记选择方案一通过的概率为记选择方案二通过的概率为，．小华应该选择方案一18．（17分）解：（1）由题意得，解得，，椭圆M的标准方程为（2）（i）连接PC，直线OD的方程为，联立得（其它方法酌情给分）（ii）设直线QC的斜率为k，