初中数学知识点梳理及 100 个自测题答案

初中数学知识点梳理及100个自测题答案一、初中数学核心知识点梳理(一)初一数学知识点定义：整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数)统称为有理数。数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，有理数与数轴上的点一一对应。相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。当a≥0时，运算：包括加、减、乘、除、乘方运算，遵循相应的运算法则和运算律。1.整式的加减整式：单项式和多项式统称为整式。单项式是数或字母的积，单独的一个数或一个字母也是单项式；多项式是几个单项式的和。同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。去括号与添括号：去括号时，若括号前是“+”,去掉括号后，括号内的各项不变号；若括号前是“-”,去掉括号后，括号内的各项都变号。添括号法则与去括号法则类似。1.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是1,等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。应用：根据实际问题中的等量关系列出一元一次方程，求解并检验。1.几何图形初步立体图形与平面图形：几何体简称立体图形，从不同方向看立体图形得到平面图形；有些立体图形展开后得到平面图形。直线、射线、线段：直线没有端点，可向两方无限延伸；射线有一个端点，可向一方无限延伸；线段有两个端点，不能延伸。两点确定一条直线，两点之间线段最短。角的分类：锐角(小于90°)、直角(等于90°)、钝角(大于90°小于180°)、平角(等于180°)、周角(等于360°)。相交线与垂线：两条直线相交形成对顶角和邻补角，对顶角相等；当两条直线相交所成的角是直角时，这两条直线互相垂直，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；反之，两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。分类：按角分，可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分，可分为不等边三角形、等腰三角形(等边三角形是特殊的等腰三角形)。三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。内角和：三角形内角和为180°。重要线段：中线(连接三角形顶点和对边中点的线段)、高线(从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段)、角平分线(平分三角形内角的线段)。(二)初二数学知识点平方根：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根，记作±Va,正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0,负数没有平方根。算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作Va,0的算术平方根是0。立方根：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根，记作V[3]{a},正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。无理数：无限不循环小数叫做无理数，实数包括有理数和无理数。实数的运算：与有理数运算类似，包括加、减、乘、除、乘方、开方运算。定义：一般地，形如y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数。当b=0时，y=kx(k≠0)叫做正比例函数。图像：一次函数y=kx+b的图像是一条直线，正比例函数y=kx的图像是经过原点的直线。性质：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。b决与y轴的交点坐标(0,b)。应用：用一次函数解决实际问题，如行程问题、利润问题等。1.全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。判定：SSS(三边对应相等)、SAS(两边和它们的夹角对应相等)、ASA(两角和它们的夹边对应相等)、AAS(两角和其中一角的对边对应相等)、HL(斜边和一条直角边对应相等，适用于直角三角形)。定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；对应线段相等，对应角相等。线段的垂直平分线：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。角的平分线：角平分线上的点到角的两边的距离相等；在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上。等腰三角形：等腰三角形的两腰相等，两底角相等(等边对等角);等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一)。等边三角形的三边相等，三个角都1.平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。性质：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。特殊平行四边形：矩形(有一个角是直角的平行四边形),性质：四个角都是直角，对角线相等；菱形(有一组邻边相等的平行四边形),性质：四条边都相等，对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角；正方形(既是矩形又是菱形的平行四边形),具有矩形和菱形的所有性质。(三)初三数学知识点1.一元二次方程定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2,等号两边都是整式的方程叫做一元二次方程，一般形式为ax²+bx+c=0(a≠0)。解法：直接开平方法、配方法、公式法(x=[-b±V(b²-4ac)]/(2a),其中△=b²-4ac叫做根的判别式，当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根)、因式分解法。应用：解决增长率、面积等实际问题。定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。图像：二次函数的图像是一条抛物线，对称轴为直线x=-b/(2a),顶点坐标为(-b/(2a),性质：当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，顶点是最低点；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，顶点是最高点。表达式：一般式y=ax²+bx+c、顶点式y=a(x-h)²+k(其中(h,k)为顶点坐标)、交点(x-x₁)(x-x₂)(其中x₁、x₂为抛物线与x轴交点的应用：求最大利润、最大面积等最值问题。定义：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等。中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。中心对称的性质：关于中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分；关于中心对称的两个图形全等。1.圆定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。性质：圆的半径都相等；圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。弧、弦、圆心角：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等；相等的弦所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。点与圆的位置关系：设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,当d<r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上；当d>r时，点在圆外。直线与圆的位置关系：设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离。切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。弧长与扇形面积：弧长公式I=nπr/180(n为圆心角度数，r为半径);扇形面积公式概率：一般地，对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P(A)。必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,随机事件的概率的求法：列举法(包括列表法和树状图法)、频率估计法。(一)选择题(30道)1.下列各数中，是有理数的是()2.数轴上表示-3的点到原点的距离是()3.下列计算正确的是()4.方程2x-1=3的解是()解析：移项得2x=3+1,合并同类项得2x=4,系数化为1得x=2。5.下列图形中，是轴对称图形的是()边形(非菱形、矩形、正方形)、一般三角形、一般梯形不是轴对称图形。6.三角形的三边长分别为3、4、x,则x的取值范围是()7.已知点A(2,-3),则点A关于x轴对称的点的坐标是()解析：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以点A(2,-3)关于x轴对称的点的坐标是(2,3)。8.一次函数y=2x+1的图像不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：D解析：一次函数y=kx+b,时，图像经过第一、二、三象限，不经过第四象限。9.下列条件中，不能判定两个三角形全等的是()答案：C解析：AAA只能判定两个三角形相似，不能判定全等；SSS、SAS、HL都能判定三角形全等。答案：B解析：平行四边形的对角相等，所以∠C=∠A=50°。A.x=0B.x=2C.x₁=0,X₂=2答案：C解析：因式分解得x(x-2)=0,所以x=0或x-2=0,解得x₁=0,x₂=2。12.二次函数y=x²-2x+3的顶点坐标是()A.(1,2)B.(-1,2)C.(1,-2)D.答案：A解析：将二次函数化为顶点式y=(x-1)²+2,所以顶点坐标是(1,2)。13.圆的半径为5cm,圆心到直线的距离为4cm,则直线与圆的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.无法确定答案：A解析：圆心到直线的距离d=4cm<半径r=5cm,所以直线与圆相交。14.已知扇形的圆心角为60°,半径为6,则扇形的弧长是()答案：B15.一个不透明的袋子里装有3个红球和2个白球，从中随机摸出一个球，摸到红球的概答案：C解析：总球数为3+2=5个，红球有3个，所以摸到红球的概率是35。16.下列实数中，最大的是()答案：B答案：B18.化简(x²y)³的结果是()19.解方程×12-(x-1)3=1,去分母正确的是()A.3x-2(x-1)=1B.3x-2(x-1)=6C.3x-2x-2=6D.3x-2x+2=1答案：B解析：方程两边同时乘以6(2和3的最小公倍数),得3x-2(x-1)=6。20.已知三角形的两个内角分别为30°和60°,则这个三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形21.一次函数y=kx+b的图像经过点(0,2)和(1,3),则k的值是()解析：将点(0,2)代入y=kx+b得b=2,再将点(1,3)和b=2代入得3=k+2,22.菱形的边长为5,一条对角线长为8,则另一条对角线长为()解析：菱形的对角线互相垂直且平分，设另一条对角线长为2x,则根据勾股定理得x²+4²=5²,解得x=3,所以另一条对角线长为6。23.一元二次方程x²-4x+3=0的根的判别式的值是()解析：根的判别式△=b²-4ac=(-4)²-4×1×3=16-12=4。解析：将二次函数化为顶点式y=-(x-1)²+4,因为a=-1<0,所以抛物线开口向下，最大值为4。25.已知◎O₁和◎O₂的半径分别为2和3,圆心距为5,则两圆的位置关系是()A.外离B.外切C.相交D.内切解析：两圆的半径之和为2+3=5,等于圆心距，所以两圆外切。27.一个口袋里装有2个红球和1个白球，从中摸出一个球后放回，再摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是()解析：第一次摸到红球的概率是23,放回后第二次摸到红球的概率也是2/3,所以两次都摸到红球的概率是23×23=4/9。28.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A.正三角形B.正方形C.平行四边形D.等腰梯形形；平行四边形(非特殊)不是轴对称图形，是中心对称图形；等腰梯形是轴对称图形，不解析：点P(m,n)在反比例函数y=2/x上，所以n=2/m,即mn=2。30.已知一组数据：1,2,3,4,5,则这组数据的方差是()解析：这组数据的平均数为(1+2+3+4+5)/5=3,方差为[(1-3)²+(2-3)²+(3-3)²+(4-3)²(二)填空题(30道)答案：2解析：只有符号不同的两个数互为相反数，-2o3.单项式-3x²y的系数是,次数是答案：-3;3解析：单项式中的数字因数叫做系数，所有字母的指数解析：利用平方差公式a²-b²=(a+5.方程3x+2=8的解是x=0答案：2解析：移项得3x=8-2=6,系数化为1得x=2。(图略：直线a、b平行，被第三条直线所截，∠1与∠2是同位角)答案：50解析：两直线平行，同位角相等，所以∠2=∠1=50°。答案：180答案：49.正比例函数y=kx(k≠0)的图像经过点(2,-4),则k=_o解析：将点(2,-4)代入y=kx得-4=2k,解得k=-2。10.全等三角形的对应边,对应角。答案：相等；相等解析：全等三角形的基本性质。11.平行四边形的对边且。答案：平行；相等解析：平行四边形的性质。12.一元二次方程x²-6x+9=0的根是。解析：方程可化为(x-3)²=0,所以根为x₁=x₂=3。13.二次函数y=2x²的图像开口向。解析：二次函数y=ax²,当a>0时，开口向上。14.圆的周长公式是C=(用半径r表示)。解析：圆的周长等于2乘以π乘以半径。15.一个事件发生的概率的取值范围是。解析：必然事件概率为1,不可能事件概率为0,随机事件概率在0到1之间。解析：4的平方是16,所以V16=4。答案：3或-1解析：展开得a²+2a+1-a²=2a解析：将x=2代入方程得2a+3=7,解得2a=4,a=2。20.等腰三角形的一个底角是70°,则顶角是°。21.一次函数y=-x+3的图像与y轴的交点坐标是。答案：(0,3)解析：当x=0时，y=3,所以交点坐标是(0,3)。答案：相等；互相平分解析：矩形的性质。23.一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的求根公式是x=。解析：一元二次方程的求根公式。答案：(1,0)和(3,0)解析：令y=0,得x²-4x+3=0,解得x₁=1,x₂=3,所以交点坐标是(1,0)和(3,解析：扇形面积与圆心角成正比，占圆面积的n/360。26.如图，PA切⊙0于点A,PO=5,OA=3,则PA=0(图略：P为圆0外一点，PA为切线，A为切点，连接OA、PO)解析：PA是切线，所以OA⊥PA,根据勾股定理得PA=(27.从1,2,3三个数中随机抽取一个数，抽到偶数的概率是o答案：13解析：1,2,3中偶数只有2,所以概率是13。29.反比例函数y=k/x(k≠0)的图像经过点(-1,2),则k=_o解析：将点(-1,2)代入y=k/x得2=k/(-1),解得k=-2。30.一组数据2,4,5,6,8的平均数是_o解析：平均数=(2+4+5+6+8)/5=25/5=5。(三)解答题(40道)解：原式=4+(2-V3)-2V3=4+2-V3-2V3=6-3V32.化简求值：(x+2)(x-2)-×(x-1解：原式=x²-4-x²+x=x-4当x=-3时，原式=-3-4=-7解：去分母得3(x+1)=6-2(x-2)去括号得3x+3=6-2x+4移项得3x+2x=6+4-3合并同类项得5x=7系数化为1得x=755.已知一次函数y=kx+b的图像经过点(1,3)和(-1,-1),求这个一次函数的表达式。解：将点(1,3)和(-1,-1)代入y=kx+b得两式相加得2b=2,解得b=16.一个长方形的周长是24cm,长比宽多2cm,求这个长方形的面积。根据周长公式得2(x+x+2)=24化简得2(2x+2)=24,4x+4=24,4x=20,x=5面积=5×7=35cm²答：这个长方形的面积是35cm²。因为E、F分别是AB、CD的中点，所以AE=1/2AB,CF=1/2CD,所以AE=CF又因为AE//CF,所以四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)9.已知二次函数y=x²-2x-3,求该函数图像的顶点坐标和对称轴。解：将二次函数化为顶点式y=(x-1)²-4所以顶点坐标为(1,-4),对称轴为直线x=1答：OE的长为3。解：原式=2V2+2-2×(V2/2)=2V2+2-V2=V2+2解：原式=[(a²-b²)/ab]×[a/(a-b)]=[(a+b)(a-b)/ab]×[a/(a-b)]=(a+b)/bx=[4±V24]/(2×2)=[4±2V6]/4=[2所以x₁=(2+V6)2,x₂=(2-V6)/2(图略：直角三角形ABC,∠C为直角，AC=6,BC=8)解：根据勾股定理AB=V(AC²+BC²)=√(36+答：AB的长为10,△ABC的面积为24。答：△AOB的面积为4。(图略：等腰三角形ABC,AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于D)所以AD是BC边上的中线和高，即等腰三角形的顶角平分17.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,若OA=2,求BD的长。解：因为矩形的对角线相等且互相平分，所以AC=BD,OA=1/2AC答：BD的长为4。18.已知一元二次方程x²-3x+m=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。解：△=b²-4ac=(-3)²-4×1×m=9-4m因为方程有两个不相等的实数根，所以△>0因为a=-2<0,所以抛物线开口向下，当x=1时，y取得最大值3答：最大值为3,此时x=1。20.一个口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中随机摸出一个球，记录颜色后放|黄|(黄，红)|(黄，黄)|(黄，蓝)||蓝|(蓝，红)|(蓝，黄)|(蓝，蓝)|总共有9种等可能的结果，其中两次颜色相同的有3种，所以概率=39=13答：两次摸出的球颜色相同的概率为13。解：原式=-1+3-1+2=3当x=2时，原式=2-1=1所以x-1=2或x-1=-2解：因为DE//BC,所以AD/DB=AE/EC(平行线分线段成比例定理)即23=1/EC,解得EC=32答：EC的长为32。解：因为一次函数图像经过第一、二、四象限，所以k<0,b>0(图略：菱形ABCD,对角线AC=6,BD与AC交于0)解：菱形的对角线互相垂直且平分，所以AO=327.已知关于x的方程x²+2x+k-1=0有两个相等的实数根，求k的值。因为方程有两个相等的实数根，所以△=0答：k的值为2。所以交点坐标为(0,5)答：二次函数图像与y轴的交点坐标为(0,5)。29.如图，PA、PB是⊙0的切线，A、B为切点，∠APB=60°,PA=2,求⊙0的半径。答：⊙0的半径为2V33。30.某商店销售一种商品，每件的进价为10元，售价为x元，每天可卖出(200-10x)件，若要使每天的利润为900元，求售价x的值。解：利润=(售价-进价)×销售量展开得200x-10x²-2000+100x=900整理得-10x²+300x-2900=0两边同时除以-10得x²-30x+290=0解得x₁=10(舍去，售价不能等于进价),X₂=29答：售价x的值为29元。解：原式=3V3-2v3+(V3)3=(3V3-2V3)+(V3)3=v3+(V3)3=4v33合并同类项得-x=-3系数化为1得x=335.已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=k/x的图像交于点A(1,4)和点B(-2,m),解：将点A(1,4)代入反比例函数y=k/x得4=k/1,所以k=4,反比例函数表达式为y将点B(-2,m)代入反比例函数得m=4/(-2)=