沪科版（2024）七年级下册数学第6章 实数 知识要点梳理

沪科版(2024)七年级下册数学第6章实数知识要点梳理一平方根1.有关概念关键提醒①负数没有算术平方根.②√a具有双重非负性，即√a≥0且a≥0.例6.1下列说法中，正确的是()A.一4是(-4)²的算术平方根B.25的平方根是±5C.绝对值是2的数一定为2D.8的平方根是±2解析-4是(-4)²=16的平方根，而不是算术平方根，A错误；绝对值是2的数有2和一2,C错误；8的平方根是±√8=±2√2,D错误；而25的平方根是答案B2.平方根的性质(1)正数有两个平方根，它们互为相反数(2)0的平方根是0.关键提醒①正数a的算术平方根可以用√a表示；正数a的负的平方根可以用符号“-√a”表示；正数a的平方根可以用符号“±√a”表示，读作“正、负根②平方根等于它本身的数只有0,算术平方根等于它本身的数是0和1.例6.2下列说法正确的是()A.任何数的平方根都有两个B.只有正数才有平方根C.负数既没有平方根，也没有立方根D.一个非负数的平方根的平方就是它本身解析0的平方根只有一个即0,A错误；0也有平方根，B错误；负数是有立方根的，比如-1的立方根为-1,C错误；非负数的平方根的平方是其本身，D正确.答案D(1)立方根：如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫作a的立方根或三次方根.即如果x³=a,那么x叫作a的立方根.a的立方根(或三次方根)表示为³√a,其中a为被开方数，“³√…”符号中的3为根指数(这个数不能省略);√a读作“三次根号a”或“a的立方根”.①在√a中，被开方数a可为正数、零，也可为负数.(2)开立方：求一个数的立方根的运算，叫作开立方.例6.3求下列各数的立方根(2)因为(-0.4)³=-0.064,所以-0.064的立方根是-0.4,即³V-0.064=-0.4.(3)因为,所以的立方根是,即2.立方根的性质(1)正数的立方根是正数.(2)负数的立方根是负数.(3)0的立方根是0.正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，零的立方根是零.3.立方根与平方根的联系及区别立方根与平方根的联系及区别见表6-1.表6-1区别3不能省略.②只有非负数才有平方根，而任何数都有立方根.③正数的平方联系①都与相应的乘方运算互为逆运算.②零的立方根和平方根都是它本身例6.4下列说法中，正确的是()A.5是25的算术平方根B.-9的平方根是-3C.±4是64的立方根D.9的立方根是3解析5是25的算术平方根，A正确；一9没有平方根，B错误；4是64的立方根，答案A1.无理数的概念很多数的平方根、立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数就叫作无理数.我们目前所接触的无理数有以下三种：(2)圆周率π,它是圆周长与该圆直径的比值，是无限不循环小数；(3)类似0.1010010001…(每两个1之间依次多一个0)这样的小数也是无解析√4=2,所给数据中无理数有π,√3,共2个.答案B概念：有理数和无理数统称为实数有理数：可分为整数和分数，也可分为有限小数和无限循环小数实数无理数：即无限不循环小数正有理数(正整数正实数正分数负有理数负无理数任何一个有理数，在数轴上都有一个唯一确定的点与之对应，数轴上的点和实数是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.例6.6实数a在数轴上对应的点的位置如图6-1所示，化简|a+3|的结果是图6-1解析由数轴上a的位置可知，因为-3<a<0,|a|<3,所以a+3>0,所答案A4.实数范围内的有关概念在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和求法与有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义和求法完全相同，在有理数范围内的一切方法完全可以在实数范围内运用.在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而有理数的运算法则和运算性质在实数范围内仍然成立，实数混合运算的运算顺序与有理数的运算顺序基本相同.例6.7计算下列各式的值.解(1)原式=3√2+3√3+3√2-6√3=6√2-3√36.比较实数大小的几种常用的方法(1)数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。(2)求差比较：设a,b是实数，a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;(3)求商比较：设a,b是两正实数，(4)绝对值比较：设a,b是两负实数，则|a|>|b|⇔a<b.(5)平方法比较：设a,b是两负实数，则a²>b²⇔a<b.例6.8比较下列各对实数的大小