2025-2026学年上海交附嘉定高三上学期数学周练试卷（含答案）

交付嘉定2025-2026学年第一学期高三年级数学周测6一、填空题

1．已知全集，则．

【答案】

2．直线的倾斜角为．

【答案】

3．若正数满足，则的最小值为．

【答案】

4．双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为．

【答案】

5．已知底面圆直径为的圆锥的表面积与其侧面积之比为，则该圆锥的高为．（用含的式子表示）

【答案】【解析】设该圆锥的底面半径和母线长分别为，所以表面积为，侧面积为，所以，

所以圆锥的高为，故答案为：．

6．若二项式的展开式共有6项，则此展开式中含的项的系数是．

【答案】【解析】由题意知二项式的展开式共有6项，故，

则二项式的通项公式为，

令，故含的项的系数为，故答案为：

7．柜子中有两双不同的鞋，从中随机取出两只，则事件＂取出的鞋不是同一双鞋＂的概率为．【答案】

8．已知过点的直线与圆交于两点，则弦的中点的轨迹方程为．

【答案】【解析】由直线过点，圆可知，圆心为，设点，

由题意可知，当点与点不重合时，，则，

整理得，即，

此时点的轨迹为圆拊不包括点．

当点与点重合时，其坐标满足方程．

综上，点的轨迹方程为．故答案为：

9．已知，若的值域是，则实数的取值范围

是．

【答案】【解析】函数的值域是，由当时，，得，则，于是，

当时，，而，且，

因此，解得，则，

所以实数的取值范围是．故答案为：

10．若对任意，均有，则实数的取值范围为．

【答案】【解析】因为在绝对值三角不等式中，当同号时有，

又因为，所以在恒成立，所以或在恒成立，即有或在恒成立，

由，解得，由，解得，

综上所述实数的取值范围为．故答案为：

11．若关于的方程有两个实数解，则实数的取值范围是．

【答案】【解析】由可得，即,

令，则有两个实数根，即有两个实数根，其中且，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，

由图可知，当时，方程有符合条件的两个实数根，故答案为：

12．已知重心为，过点作直线分别交边于点（均不与顶点重合），则的最小值为．

【答案】【解析】如图：设．由题意，．因为为的重心，所以．

又因为三点共线，所以．

又，所以，所以；同理．

因为，

如图，延长交于点，则点为边的中点，

故，则得，

所以

因为（当且仅当即时取等号，此时．

故得，即的最小值为．故答案为：

二、单选题

13．在下列统计指标中，用来描述一组数据离散程度的量是（）.

A．平均数B．众数C．百分位数D．标准差

【答案】D

14．笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家，他发明了现代数学的基础工具之一——坐标系，将几何与代数相结合，创立了解析几何.相传，52岁时，穷困潦倒的笛卡尔恋上了18岁的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驱逐，在寄给公主的最后一封信里，仅有短短的一个方程：，拿信的公主早已泪眼婆娑，原来该方程的图形是一颗爱心的形状．这就是著名的＂心形线＂故事．某同学利用几何画板，将函数，画在同一坐标系中，得到了如图曲线．观察图形，当时，的导函数的图像为（）.A．B．C．D．

【答案】A

15．如果方程表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是（）.

A．B．C．D．【答案】D

16．已知数列满足，有如下两个命题：

命题：＂是严格减数列＂的充要条件是＂存在使得对任意，都有";

命题＂是严格增数列＂的充要条件是＂存在使得对任意，都有＂．则下列说法中正确的是（）.

A．是真命题，是假命题 B．是假命题，是真命题 C．和都是真命题 D．和都是假命题

【答案】【解析】因为数列满足，所以，设函数，

所以当单调递增；当单调递减；,单调递增；单调递减；，

所以是函数的切线；由迭代思想可知是假命题，是真命题；所以时，是严格增数列，存在使得对任意，都有；

所时，是严格减数列的充要条件不是存在使得对任意，都有；故选：B．

三、解答题

17．四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线与相交于点底面与底面所成的角为是的中点．

（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）证明：平面，并求点到平面的距离．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）由题意，两两互相垂直，以为坐标原点，射线分别为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，菱形中，，所以，在Rt中，因为底面，所以与底面所成的角为，所以，则点的坐标分别是，是的中点，则，于是．

设的夹角为，则有，故，

∴异面直线与所成角的大小是．

（2）连接，∵分别是的中点，∴，

∵平面平面，∴平面．因为，设平面的法向量，则，令，则，所以，又，则点到平面的距离．18．如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为50m，其中心点距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处。

（1）根据条件具体写出关于的函数表达式；（2）在摩天轮转动一圈内，点有多长时间距离地面超过85m？【答案】（1）（2）有10分钟【解析】（1）中心点距地面60m，则，摩天轮的半径为50m，即，,最低点到地面距离为10m，所以，又，则，所以所求表达式为；

（2），

取一个周期内，有．

所以在摩天轮转动一圈内，点有10分钟的时间距离地面超过85m．

19．在中，内角的对边分别为，且．

（1）求角的大小；

（2）若，过边上一点作的垂线，垂足分别为，求的最小值.

【答案】（1）（2）【解析】（1）在中，．

由及正弦定理得，，

整理得．

由于，则．又，故．

（2）如图1，在中，，且，

由正弦定理得，，即，得．

由于，则与互补，故．

方法1：单变量法

设，则．

则．当时，，所以取得最小值为．

方法2：四点共圆

如图1，由，故四点共圆，且为该圆直径．

由正弦定理得，故求的最小值等价于求的最小值．当时，最小，此时，

故取得最小值为．方法3：建系坐标法

以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图2，则，直线，直线．

设，则，直线．联立方程，得，．当时，，所以取得最小值为．

20．设椭圆的离心率是短轴长的倍，直线交于两点，是上异于的一点，是坐标原点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线过的右焦点，且，求的值；

（3）设直线的方程为，且，求的取值范围．

【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由的离心率是短轴的长的倍，得即

又，则，故椭圆的方程为．

（2）设的左焦点为，连接，因为，所以点关于点对称，

又，则，由椭圆的对称性可得，，且三角形与三角形全等，则，

又，化简整理得，，则.（3）设，又，则，

由，,由韦达定理得，，

又，则，

因为点在椭圆上，所以，化简整理得，

此时，，

则

令，即，则，则的取值范围是．

21．已知实数，且依次构成等差数列，对于曲线，若满足依次构成等差数列，则曲线为曲线.

（1）若，是曲线，求实数的值；

（2）已知曲线都是曲线，证明：是曲线；

（3）若为曲线，求的取值范围．

【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】（1），

因为，所以，

①不成立；

②不存在；

③；

④不成立.解得．

（2），①,②两式相乘得，解得