2025 七年级数学下册方程组在销售利润问题中的应用课件

一、问题背景：为什么用方程组解决销售利润问题？演讲人01问题背景：为什么用方程组解决销售利润问题？02核心概念：销售利润问题中的关键术语与公式03建模方法：从生活问题到方程组的转化步骤04典型应用：四类常见销售利润问题解析05总结提升：方程组的本质与数学核心素养的培养目录2025七年级数学下册方程组在销售利润问题中的应用课件各位同学、老师们：今天，我们将共同探索一个既贴近生活又充满数学智慧的主题——方程组在销售利润问题中的应用。作为一线数学教师，我常发现同学们对“如何用数学解决实际问题”既好奇又困惑：超市里的促销活动、网店的满减策略、文具店的批量采购……这些看似平常的销售场景中，隐藏着怎样的数学规律？而我们七年级下册刚学过的二元一次方程组，正是打开这扇大门的关键工具。接下来，我将从“问题背景-核心概念-建模方法-典型应用-总结提升”五个层面，带大家逐步揭开其中的奥秘。01问题背景：为什么用方程组解决销售利润问题？1生活中的销售利润问题普遍性当我们走进文具店，看到“买5支笔送1支”的促销；打开电商平台，看到“满200减50”的活动；或是观察父母经营的小店铺，计算月利润时——这些场景都涉及“成本、售价、销量、利润”等关键要素的动态关系。销售利润问题的核心，是多个变量之间的相互制约：比如，降低售价可能提高销量，但会减少单利润；增加成本可能提升质量，但需通过销量覆盖成本。此时，单一的算术方法难以同时处理多个变量的关系，而方程组恰好能通过“设定变量-建立等式-求解验证”的流程，系统解决这类问题。2七年级数学知识的衔接性七年级下册我们系统学习了二元一次方程组的解法（代入消元法、加减消元法），其本质是“用两个等式约束两个未知数”。而销售利润问题中，往往存在“总利润=单利润×销量”“总成本=单件成本×数量”等天然的等量关系，恰好能转化为两个方程。这种“生活问题数学化”的过程，既是对代数思维的深化，也是“用数学解决实际问题”的典型体现。02核心概念：销售利润问题中的关键术语与公式核心概念：销售利润问题中的关键术语与公式要解决销售利润问题，首先需明确以下基础概念（结合板书或PPT表格呈现）：1基本概念与公式|术语|定义|公式表达|常见变形||--------------|----------------------------------------------------------------------|-----------------------------------|-----------------------------------||成本价（C）|购进或生产一件商品的费用（如进货价、原材料费、人工费等）|总成本=单件成本×数量（C总=C单×n）|C单=总成本/数量；数量=总成本/C单||售价（S）|卖出一件商品的价格（可能是标价、促销价、会员价等）|总售价=单件售价×销量（S总=S单×m）|S单=总售价/销量；销量=总售价/S单|1基本概念与公式|利润（P）|销售一件商品或多件商品的盈利额（利润=收入-成本）|单利润=S单-C单；总利润=S总-C总|P总=（S单-C单）×m|01|利润率（r）|利润占成本的百分比（反映盈利效率）|r=（单利润/C单）×100%|r=（总利润/C总）×100%|02|折扣（d）|售价按原价的比例降低（如“8折”即原价的80%）|折后价=原价×d（d=0.8表示8折）|原价=折后价/d|032学生易混淆点提醒教学中我发现，同学们常犯两类错误：（1）利润率的基数混淆：误将“利润/售价”当作利润率，需强调“利润率是利润与成本的比值”（例：成本10元，售价15元，利润5元，利润率应为5/10=50%，而非5/15≈33.3%）；（2）总利润的计算遗漏：忽略“总利润=总售价-总成本”，而错误地用“单利润×部分销量”（例：卖出10件，其中5件盈利3元，5件亏损1元，总利润应为5×3+5×(-1)=10元，而非仅计算盈利部分）。03建模方法：从生活问题到方程组的转化步骤建模方法：从生活问题到方程组的转化步骤解决销售利润问题的核心是“建立方程组”，其关键在于找到两个独立的等量关系。以下是标准化的建模步骤（结合具体案例说明）：1步骤一：设定变量根据问题中的未知量，设定合理的变量。通常设“单件成本”“单件售价”“销量”等为变量，用x、y表示（例：设甲商品成本为x元，乙商品成本为y元）。2步骤二：寻找等量关系从题目中提取两个独立的条件，转化为等式。常见的等量关系来源包括：（1）总利润关系：总利润=单利润×销量；（2）总成本与总售价关系：总售价=总成本+总利润；（3）折扣或价格调整关系：折后价=原价×折扣率；（4）多商品组合关系：两种商品的总成本/总售价/总利润之和。3步骤三：建立并解方程组将等量关系用变量表示，得到二元一次方程组，用代入法或加减法求解。4步骤四：验证与解释求出解后，需检验是否符合实际意义（如成本、售价不能为负数，销量应为正整数等），并结合问题情境解释结果（例：“甲商品的成本为20元，说明进货时每件花费20元”）。04典型应用：四类常见销售利润问题解析典型应用：四类常见销售利润问题解析为帮助同学们更直观地掌握方法，我将结合教学中高频出现的四类问题，逐一演示“从读题到解题”的全过程。1类型一：单一商品多批次销售问题例题：某文具店第一次用1200元购进笔记本若干本，第二次用2500元购进同种笔记本，数量是第一次的2倍，且单价比第一次贵5元。求第一次购进笔记本的单价和数量。分析：变量设定：设第一次单价为x元，数量为y本；等量关系：①第一次总成本：xy=1200；②第二次数量是第一次的2倍，单价贵5元：(x+5)2y=2500；解方程组：由①得y=1200/x，代入②得(x+5)2(1200/x)=2500→2400(x+5)=2500x→2400x+12000=2500x→x=120；1类型一：单一商品多批次销售问题则y=1200/120=10（本）。验证：第一次单价120元，数量10本；第二次单价125元，数量20本，总成本125×20=2500元，符合题意。2类型二：两种商品组合销售问题例题：超市同时卖出甲、乙两种商品，售价均为120元。甲商品盈利20%，乙商品亏损20%。问：超市卖出这两件商品是盈利还是亏损？具体金额是多少？分析：变量设定：设甲成本为x元，乙成本为y元；等量关系：①甲盈利20%：120=x+20%x→120=1.2x；②乙亏损20%：120=y-20%y→120=0.8y；解方程组：甲成本x=120/1.2=100元，乙成本y=120/0.8=150元；总成本=100+150=250元，总售价=120+120=240元；2类型二：两种商品组合销售问题总利润=240-250=-10元（亏损10元）。关键提醒：此类问题易误认为“盈利20%和亏损20%相互抵消”，但因成本不同，实际需分别计算成本。3类型三：折扣与定价策略问题例题：某服装店一件外套标价500元，若按标价的8折出售，仍可盈利25%。现因换季促销，希望按标价的m折出售后，利润率不低于10%，求m的最小值。分析：变量设定：设外套成本为x元；第一步：求成本x（利用8折盈利25%的条件）：8折售价=500×0.8=400元，利润=400-x，利润率=(400-x)/x=25%→400-x=0.25x→x=320元；3类型三：折扣与定价策略问题第二步：求m的最小值（利润率≥10%）：m折售价=500×(m/10)=50m元，利润=50m-320，利润率=(50m-320)/320≥10%→50m-320≥32→50m≥352→m≥7.04；因m为折扣（取一位小数），故m的最小值为7.1折。延伸思考：若题目要求“利润率不超过20%”，应如何调整不等式？4类型四：销量与利润的动态平衡问题例题：某奶茶店每杯奶茶成本8元，售价15元时，每天可卖出100杯。调查发现：售价每降低1元，销量增加20杯。问：售价定为多少元时，每天利润最大？最大利润是多少？分析：变量设定：设售价降低x元（x≥0），则新售价为(15-x)元，销量为(100+20x)杯；利润计算：总利润P=(15-x-8)(100+20x)=(7-x)(100+20x)=700+140x-100x-20x²=-20x²+40x+700；求最大值：这是一个二次函数，开口向下，顶点在x=-b/(2a)=-40/(2×(-20))=1；4类型四：销量与利润的动态平衡问题此时售价=15-1=14元，销量=100+20×1=120杯，最大利润=-20×1²+40×1+700=720元。注：本题虽涉及二次函数，但七年级学生可通过枚举法（x=0,1,2,…）验证最大值，感受“销量增加与单利润减少的平衡”。05总结提升：方程组的本质与数学核心素养的培养1知识层面的总结通过今天的学习，我们明确了：销售利润问题的核心是“成本、售价、销量、利润”的关系；方程组是解决多变量问题的工具，关键在于找到两个独立的等量关系；解题需遵循“设定变量-找等量关系-列方程-求解-验证”的流程。2思维层面的升华方程组的应用不仅是解题技巧，更是数学建模思想的体现——将生活问题抽象为数学符号，用代数方法求解，再回归实际解释结果。这种“从生活到数学，再从数学到生活”的思维，是数学核心素养（如模型观念、应用意识）的重要组成部分。3学习建议多观察生活中的销售场景（如超市价签、电商活动），尝试用数学语言描述其利润关系；整理易混淆概念（如成本与售价、利润率的