初中数学一元一次方程考点梳理含答案

2 2 2 3 3 4 4 6 7 8 11 12 14 16 18 19 20 21 22 25 26 28 31 32 34 36 38 39 40 43 43 46一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元且未知数的次方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程解方程：求方程的解得过程叫做解方程.【易错易混】1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母.3）如果分子是多项式，去分母后要加括号.1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项;2）字母及其指数不变.1)未知数的系数为整数或小数时,方程两边同除以该系数;2)未知数的系数为分数时,方程两边同乘该系数的倒数.【补充说明】2)对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分用一元一次方程解决实际问题的一般步骤：③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可(1)计算：12÷×2-27×-+12÷(1.5-1；本题考查了有理数的混合运算，解方程，正确计算是解题的关键.13【规范解答】（1）解：12÷×2-27×-+12÷(1.5-113=8-+12×6323（3）解：2(x―23 21的是()【答案】A【思路引导】本题主要考查了等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式.根据等式的性质解答即可.故选：A.【答案】B根据等式的性质逐项分析判断即可求解.故选：B.【答案】B【思路引导】本题考查了代数式的意义，代数式求值，等式的基本性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键.根据代数式的意义，代数式求值，等式的基本性质逐项判断即可.D、如果a=b+2，即b-a=-2，那么(b-a)3=-8，故D选项错误；故选：B.【典例精讲】25-26七年级上·吉林长），的多项式的值用f（某数）来表示.例如x=-1时多项式x2+3x-5的值记为f(-1)=(-1)2+3×(-1)-5=-7，已知g(x)=-2x2-3x+1，h(x)=ax3+2x2-x(2)若h(-1)=5，直接写出g(a)的值【答案】(1)-8(2)-1【思路引导】本题考查代数式求值，解一元一次方程.（1）把x=-3代入g(x)=-2x2-3x+1求解即可；（2）把x=-1代入h(x)=ax3+2x2-x得出一个关于a的方程，求出a的值，把a的值代g(x)=-2x2-【规范解答】（1）解：当x=-3时，多项式-2x2-3x+1的值记为g(-3)=-2×(-3)2-3×(-3)+1=-18+9+1=-8（2）解：∵h(-1)=5，∴a×(-1)3+2×(-1)2-(-1)=5，解得a=-2，∴g(a)=g(-2)=-2×(-2)2-3×(-2)+1=-2×4+6+1=-8+6+1=-2+1=-1相同，求m的值.（2）已知方程1-3(2025x-2026)=-2，求整式5-2(2026-2025x)的值.【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的解、解一元一次方程、代数式求值等知识点，掌握整体思想是解题的关键.（1）先求解方程3x-1=5可得x=2，再把x=2代入2mx+1=7m-5得到关于m的方程求解即可；（2）由方程1-3(2025x-2026)=-2可得2026-2025x=-1，然后整体代入5-2(2026-2025x)求解即可.【规范解答】解1）解关于x的方程3x-1=5可得x=2，（2）∵1-3(2025x-2026)=-2，∴-3(2025x-2026)=-3，∴2025x-2026=1，∴2026-2025x=-1，∴5-2(2026-2025x)=5-2×(-1)=7.（1）(-2)+(-3)-(+1)-(-6)2（2）-22×-(-1÷(--(-1)52【思路引导】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，整式的加减运算，一元一次方程的解法.（1）把减法化为加法运算，再合并即可.（2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可.（3）先去括号，再合并同类项即可.22【思路引导】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键.整式的运算法则以及解一元一次方程的步骤是解题的关键.（1）按照运算顺序先算乘方，再算乘除法，最后算减法即可.（2）先去括号，再合并同类项.（3）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1来求解.8【思路引导】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解与一元一次方程的关系是解题的关键．先根据题意求出k的值，再代入，利用去分母，去括号，移项合并同类项，系数化【答案】数式即可.22【考点剖析】本题考查了一元一次方程的解法、方程的解、求代数式的值，熟悉方程的解及解一元一次方程是解题的关键.知数.【思路引导】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法，注意进行分类讨论，是解题的关键.解即可.【规范解答】解1）当a≠0时，方程的解为20102010【思路引导】本题考查了解一元一次方程、相反数、代数式求值、有理数乘方的逆运算，熟练掌握方程的解法和代数式求值是解题关键.201020102009201020092010200955200955=―2010200925=―2010200925=(1)|4-(-1)|=；当|4-(-1)|=|x|时，x=.找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7，这样的整数有（直接写出答案）小值；如果没有，说明理由.(2)x，-5；x，2；-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2【思路引导】本题主要考查了求一个数的绝对值，绝对值的几何意义，解绝对值方程，化简绝对值，熟知相关知识是解题的关键.（1）根据绝对值的意义求出|4-(-1)|=5，进而得到5=|x|，据此求解即可；（3）分当x<-1时；当-1≤x≤3时；当x>3时，当|4-(-1)|=|x|时，（2）解：|x+5|表示x与-5之间的距离；|x-2|表示x与2之间的距离；当x<-5时，∴-x-5+2-x=7，∴此时符合条件的整数x为-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2；∴综上所述，符合条件的整数x为-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2；故答案为：x，-5；x，2；-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2；（3）解：当x<-1时，|x+1|+|x-3|=-x-1+3-x=2-2x>4，∴|x+1|+|x-3|有最小值，最小(1)数轴上表示-3和1的两点之间的距离是______；(2)7或-5(3)5或-1(4)-2，-1,0,1,2,3,4,5【思路引导】本题考查了数轴，绝对值的性质以及有理数的减法.（1）根据在数轴上A、B两点之间的距离为AB=|a-b|即可求解；（2）根据在数轴上A、B两点之间的距离为AB=|a-b|列方程即可求解；（4）根据绝对值的几何意义，即可得解.【规范解答】（1）解：数轴上表示-3和1两点之间的距离是|1-(-3)|=4，∴a-1=6或a-1=-6，故答案为：7或-5.（3）|x-2|=3，∴x-2=3或x-2=-3，解得x=5或x=-1，故答案为：5或-1.（4）解：∵数轴上表示x和-2的两点之间的距离是|x+2|，数轴上表示x和5的两点之间的距离是|x-5|，数轴上表示-2和5的两点之间的距离是|-2-5|=7，∴在数轴上的|x+2|+|x-5|几何意义是：表示有理数x的点到-2和5表示点的距离之和，∴表示有理数x的点在-2和5之间，∴符合条件的整数x有：-2，-1,0,1,2,3,4,5.【答案】分配36名工人生产螺栓，其他30名工人生产螺【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用．设每天有x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为(66-x)人，根据题意找出等量关系列出方程并解方程即可.【规范解答】解：设生产螺栓的工人为x人，则生产螺母的工人为(66-x)人，∴66-36=30，1个筒身配2个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底恰好配套，应该分配多少名【答案】30,25【思路引导】本题考查的是一元一次方程的数学知识，在解答此类问题时一定要对相关的知识有一个明确的认识和把握，同时结合题设的已知条件就的配套关系(1个筒身配2个筒底)来列方程求解.【规范解答】解：设分配x名学生剪筒身，那么剪筒底的学生有(55-x)名，答：应该分配30名学生剪筒身，25名学生剪筒底.完成，则规定的时间是()【答案】D作量相等求出规定时间即可.故选：D.【考点剖析】本题考查了一元一次方程——工程问题，熟练找出等量关系是解题的关键.【答案】30【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，先求出计划每天完成的工作量，设一共需要x天完成任务，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列题的关键.20元；B券，满90元减30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购买了一件付款．用券后，两人共付款156元，则他们所购商品的标价为元.【答案】88或103出方程求解即可.【考点剖析】本题考查了一元一次方程的应用，正确运用分类讨论思想是解题的关键.(1)商品A成本价是120元，商品A最后售价多少元？【答案】(1)商品A最后应卖129.6元；(2)商品B的成本是850元【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列式计算，找准等量关系，正确列出一元一次方程.（2）设商品B的成本是x元，利用售价―成本价=利润，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论.答：商品A最后应卖129.6元；（2）解：设商品B的成本是x元，答：商品B的成本是850元.【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据题意找出总比赛场数为7是解题的关键.即可列出方程，即可解题.所以设胜了x场，则平了(7-x)场.答：该班共胜4场比赛.(1)设小明同学参加了竞赛，共答对了x道题，则他的成绩是(用含有x的字母表示)【答案】(1)(6x-60)分【思路引导】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，根据题意列出正确的代数式为解题关键.（1）小明共答对了x道题，则不答或答错了(30-x)道题，根据题意列出代数式即可；（2）根据题意列出一元一次方程求解即可.根据题意：他的成绩为：4x-2(30-x)=(6x-60)分，故答案为：(6x-60)分；答：小明在竞赛中答对了24道题.方案二：养生糁汤和调味料包都按定价打九折.(3)试求当x取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的.【思路引导】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键.（1）根据方案一和方案二的优惠方案进行列式，即可作答.（3）理解题意，进行列式计算，即可作答.调味料包x袋(x>30)整理得20x-18x=4320-4200，班级为单位分别购票，则一共需付4860元.【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准确等量关系，要注意考虑全面，购票最省钱的办法就是团体购票.（2）解：设1班有x人，则2班有(103-x)人，根据题意，有两种情况：则103-x=45，元.两位数的左边得到一个三位数，再把一位数放在两位数的右边，又得到一个三位【答案】11【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，设这个一位数为x，则这个两位数为20-x，根据前一【规范解答】解：设这个一位数为x，则这个两位数为20-x，由题意得，100x+20-x=7[10(20-x)+x]+78，∴20-x=11，故答案为：11.(1)若颖颖输入的有理数a=-4时，求输出的(2)若输出的结果是2，直接写出两个a的可能值.(2)-2或-10【思路引导】本题考查了程序框图的输入数据计算、有理数的混合运算、一元一次方程等知识点，掌握框综上，a的可能值为―2或―10.(3)一只昆虫A从甲表示的数出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只昆虫B从乙表示的数出发也向右运动．最终两只昆虫相遇于数轴上的C处，C表示的数是16．【思路引导】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决:点丙所表示的数是:点丙所表示的数是=―2；则昆虫A所在点表示的数是―6+2t，昆虫B所在点表示的数是2+vt，别是―16、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A'落在点B的右边，并且点A'到点B的距离是2，则C点表示的数是()【答案】A【思路引导】本题考查数轴上两点之间的距离问题，数轴上的翻折问题，能正确地表示出两点间的距离是解题的关键.故选：A.理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运(2)当点P与点B重合时t的值为.(3)在点P由点A到点B的运动过程中，点P表示的有理数为用含t的代数式表示）(4)当点P表示的有理数与原点距离是2个单位长度时，t的值为.【思路引导】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用.（1）设当t=2时，点P移动的距离为4，即可求出点P表示的有理数；（2）由点P与点B重合，点P移动的距离为10，即可求出t的值；即点P表示的有理数为0，（2）解：当点P与点B重合时，点P移动的距离为：6-(-4)=10，即点P与点B重合时t的值为5，（3）解：在点P由点A到点B的运动过程中，点P与点A的距离为2t，即点P表示的有理数是2t-4，故答案为：2t-4；（4）解：设在点P由点A到点B的运动过程中，当点P移动到点-2时，与原点距离是2个单位，所用时则2t1-4=-2，设在点P由点A到点B的运动过程中，当点P移动到点2时，与原点距离是2个单位，所用时间为t2，设点P到达点B后，返回过程中，当点P移动到点2时，与原点距离是2个单位，所用时间为t3，设点P到达点B后，返回过程中，当点P移动到点-2时，与原点距离是2个单位，所用时间为t4，则2t4=10+[6-(-2)]，故答案为：1、3、7、9.其中点A在原点左侧，点B在原点右侧，且|a|=10，|b|=5，点C是AB的中点.(1)求a、b的值；(2)求点C表示的有理数；(3)若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t秒(t>0).②当|PQ|=2时，求t的值.【思路引导】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握以上知识点.（3）①当t=2时，表示出点P表示的数和点Q表示的数，再根据两点之间的距离即可求解.学生共有人.【答案】【思路引导】本题考查了和差倍分问题，正确理解不同情况下男生和女生的人数关系是解题的关键．设参加演讲比赛的学生共x人，列出方程并求解即可.【规范解答】解：设参加演讲比赛的学生共x人，依题意得故答案为：64.【答案】500页【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设晚上打印了x页，则下午打印了1+x页，上【规范解答】解：设晚上打印了x页，则下午打印了1+x页，上午打印了1+×1+x页，ab【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用(求阶梯水价单价)与分段计费问题(求用水6.90(y-30)=62.1，答：小李家这个月用水39吨.价格/(元/m3)a(3)已知丙用户2024年用气量为xm3，当a=3.6时，请用含x的代数式表示丙用户支出的燃气费为(3.6x-216)元；当丙用户用气量超过540m3时，支出的燃气费为(4.5x-702)元（2）乙用户2024年已使用天然气520m3，需将用量分为两部分：第一档的360m3和第二档的520-现分类讨论的数学思想.（2）解：乙用户2024年已使用天然气520m3，为两段缴费：不超过360m综上所述：丙用户这一年的燃气费为：当丙用户用气量用气量超过360m3不超过540m3时，支出的燃气费为(3.6x―216)元；当丙用户用气量超过【考点剖析】本题主要考查了列代数式，解答的关键是理解清楚题意，找到其中的数量关系.（2）设运动x秒时M、N重合，然后可得方程3x-x=10，进而问题可求解；（3）设点M运动时间为t秒，则BM=|-2-(-12+3t)|，然后由题意可分当t＜2时，点N还没开始出发，当t＞2时，进而进行分类求解即可.【规范解答】（1）解：由题意得，-2-10=-12，所以点A所对应的数为-12.（3）解：由题意可知点C所表示的数为-2+10=8，设点M运动时间为t秒，则BM=|-2-(-12+3t)|=|10-3t|，由题意可分：所以2(10-3t)=10，解得：t=，当t＞2时，则BN=|8-(t-2)-(-2)|=|12-t|，所以|12-t|=2×|10-3t|，发，以每秒2个单位的速度向左运动，设两只【思路引导】本题主要考查数轴上的点的表示，数轴上两点之间的距离等知识，解题的关键在于根据题意列方程.（3）先求出相遇时的时间，再算D点所对车多运货12t，则两辆卡车共运货()A．12tB．36t【答案】D根据题意，得：4x-3x=12，点B,C恰好分别与点E,F上下对齐，则m的值为()A．-2B．1C．2D．5【答案】C【思路引导】本题考查了数轴上点的对应关系以及一元一次方程的应用的知识点，解题的关键是根据上下对齐的点之间的距离比例关系列出等式.先计算甲数轴上A，B两点间的距离为：3-(-6)=9，A，C两点间的距离为：21-(-6)=27，乙数轴上D，E两点间的距离为：m-(-4)=m+4，D,F两点间的距离为：14-(-4)=18，故答案选：C.（如阴影部分所示请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是()A．154B．98【答案】C个数的和，分别建立方程，解方程逐项分析即可得.【规范解答】解：设“H”型框中的正中间的那个数为x,则其他6个数分别为x-8,x-6,x-所以这7个数的和为x+x-8+x-6五个数的和.【思路引导】本题主要考查了日历表中数字的排列规律、一元一次方程的实际运用，根据日历表中的数字排列规律解决问题.:带阴影的十字框中的5个数的和是80，:带阴影的十字框中的5个数的和是十字框中间的数的5倍；设十字框中间的数为x，则上面的数是x―7，下面的数是x+7，左面的数是x―1，右面的数是x+1，:用十字框框出5个数的和不可能是100.形石的质量与大象的质量.【思路引导】本题考查一元一次方程的应用，正确找到等量关系列出方程是解题的关键.设每块条形石的重量为xkg，根据题意列方程求解即可；由求求出大象的质量.【规范解答】解：设每块条形石的质量为xkg.移项，得28x-30x=2×70-5×70，合并同类项，得-2x=-210，上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到店就将壶中的酒加一倍，每次看见花就喝去【答案】壶中原来有斗酒.【思路引导】根据题意，设壶中原来有x斗酒，第一次遇到店加一倍成2x斗酒，然后见到花喝去一斗还有(2x-1)斗酒，依次类推，第三次壶中有{2[2(2x-1)-1]-1}斗酒，列方程即可.【规范解答】解：设壶中原来有x斗酒，则他第一次遇店又见花后，壶中有(2x-1)斗酒；第二次遇店又见花后，壶中有[2(2x-1)-1]斗酒；第三次遇店又见花后，壶中有{2[2(2x-1)-1]-1}斗酒.由题意，得2[2(2x-1)-1]-1=0，解得x=.故壶中原来有斗酒.【考点剖析】本题考查了列一元一次方程的应用题——古代问题，读懂题意，列出第三次壶中酒是解题关键.可列方程为()A．3x+10(5-x)=30C．D．10x+3(5-x)=30【答案】D【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用．设清酒x斗，则醑酒(5-x)斗，根据题意正确列方程即可.【规范解答】解：设清酒x斗，则醑酒(5-x)斗，故选：D.数为x人，则x为()【答案】D鸡的价钱，建立方程求解即可．本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握量关系（鸡的价钱不变）建立方程求解是解题的关键.每人出6文钱时，总钱数为6x文，不足16文，故鸡的价钱为故选：D.【答案】58【思路引导】本题主要考查了整式的加减运算、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键.【规范解答】解：设a1+a2+a3+a4后和为m―a3；去掉a4后和为m―a4；去掉a5后和为m―a5；故答案为：58.【答案】0.5/【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，设动力臂是xm，根据“阻力×阻力臂=动力本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为()A．72(100-x)=60(100+3-x)B．60(100-x)=72(100-3-x)【答案】B【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，根据利润相等建立方程．原计划利润为60(100-x)，实际利润为72(100-3-x)，两者相等即可求解.【规范解答】解：设每套成本为x元．原计划利润为60(100-x)元；实际购买时利润为72(100-3-x)元.根据题意得：60(100-x)=72(100-3-x)，故选B.125-26七年级上·黑龙江鹤岗·期中）已知数轴上点A表示的数为-4，点B与点A的距离为6，则点B表示的数是()A．2B．-10C．2或-10D．无法确定【答案】C【思路引导】本题主要考查了有理数和数轴，两点之间的距离，解题的关键是掌握分类讨论的思想.点B与点A的距离为6，可能在点A的左侧或右侧，因此点B表示的数有两个可能值，分类进行求解即可.【规范解答】解：∵点A表示的数为-4，点B与点A的距离为6，故选：C.225-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）根据等式的性质进行变形，正确的是()【答案】B求解.根据一元一次方程的定义可得k+2=0，且k≠0，进而【答案】6①A，B两点间的距离AB=，到点A和点B距离相等的点表示的数为； ，点Q表示的数为___________. 时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数为___________.【思路引导】本题考查数轴、整式的加减，一元一次方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键.∴点Q表示的数为：8-2t；故答案为：-2+3t，8-2t；（2）解：依题意，-2+3t=8-2t，（）【答案】C225-26七年级上·全国·课后作业）已知A.③B.①②C.②③D.①②③【答案】A