八年级数学上学期期末知识提纲

人教八年级数学上知识点总结C顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.有关概念及其表示方法如图所示，线段AB，AC，BC叫做三角形ABC的边，点A，B，C叫做三角形ABC的顶点，∠A，∠B，∠C叫做三角形ABC的内角（简称三三角形ABC记作“△ABC”，读作“三角形ABC”三边都不相等的三角形底边和腰不相等的三角形2.按角分类锐角三角形斜三角形钝角三角形温馨提示：等边三角形是等腰三角形的一个知识点三知识点三三角形的三边关系三边关系的性质：内部,内部,定义:从三角形的一个顶点向它的对边作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.三角形的高的几何表达形式是:3DC如图所示，AD是△ABC的边BC上的高或AD是△ABC的高或ADTBC于点D或7BDA=7CDA=90°.温馨提示:(1)三角形的高是一条线段.(2)锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部;钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条在三角形内部,三条高所在直线交于三角形外一点;直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边,另一条在三角形它们的交点是直角顶点.定义:在三角形中,连接一个顶点和它对边A中点的线段叫做三角形的中线.三角形的中线的几何表达形式是:如图所示,AD是△ABC的BC边上的中线或AD是△ABC的中线或BD=CD=1/2BC.C温馨提示:点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心三角形的三条中线相交于(1)三角形的中线是一条线段.点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心三角形的三条中线相交于(2)三角形的每一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形.(3)一.知识点三知识点三三角形的角平分线定义:在三角形中,一个内角的平分线和对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做，三角形的角平分线.三角形的角平分线的几何表达形式是:如图所示,AD是△ABC的角平分线或∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC温馨提示:(1)三角形的角平分线是线段,而一个角的平分线是一条射线.(2)三角形的三条角平分线都在三角形的内部,并且三条角平分线交于三角形内一三角形的三条边确定好以后就可以确定一个固定的三角形，且三角形的形状，不会改变这个特性，就是三角形的稳定性。2.定理的推理证明:,作BD//AC根据两直线平行,2.定理的推理证明:,作BD//AC根据两直线平行,,∠∠如图如图过点BBC可得∠1十∠ABC+∠C=180°,,在探究三角形内角和定理时的数学思想可得∠1十∠ABC+∠C=180°,,在探究三角形内角和定理时的数学思想所以∠A+∠ABC+∠C=180°.温馨提示:知识点二直角三角形的性质知识点二直角三角形的性质与判定性质:直角三角形的两个锐角互余.判定:1.三角形有一个角是直角;2.2.有两个角互余的三角形是直角三角形.温馨提示:在三角形中,两个锐角互余的前提条件必须是在直角三角形中，若△ABC是直角三角形(∠C为直角),则∠A+∠B=90°;反之,若在△ABC中，∠A+∠B=90°,则△ABC为直角三角形,直角三角形ABC也可以写成Rt△ABC。知识点知识点三角形的外角及性质1.三角形外角的定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.2.三角形外角的性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.温馨提示:三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角,所以三角形共有六个外角.通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角.因为三角形的每个外角与和它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°,可推出三角形的三 1.多边形的定义:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角.多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.凸多边形:画出多边形的任何一条边所在直线,如果整个多边形都在这条直线的同一侧,那么这个多边形叫做凸多边形(如图所示).本章我们所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形非凸多边形2.多边形的对角线的定义:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。温馨提示:,从n边形的一个顶点出发有(n-3)条对角线,因为n边形有n个顶点，所以共有n(n-3)条，其中每条对角线都重复一次,因此共有n(n3)/2条对角线.,正多边形的定义:各个角都相等各条边都相等的多边形叫做正多边形.n边形的内角和公式:(n一2)·180°.探求方法:从n边形一个顶点可以引(n一3)条对角线,把n边形分为(n-2)个三角形,内角和为(n一2)·180°.多边形的外角和(每个顶点处取一个外角)多边形的外角和(每个顶点处取一个外角)1.定理:多边形的外角和等于360°.2.多边形外角和定理的证明:多边形的每个内角与它相邻的外角都是邻补角,所以n边形的内角和加外角和为n·180°,外角和等于n·180°-(n-2)·180°=360°.3.外角和定理的应用:(1)已知外角度数求正多边形的边数。(2)(2)人教八年级数学上知识点总结定义:能够完全重合的两个图形叫做全等形.温馨提示:(1)全等形关注的是两个图形的形状和大小,而不是图形所在的位置,看两个图形是否为全等形，只要把它们叠合在一起，看是否能够完全重合即可.(2)一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了,但形状、大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形全等.(3)两个全等形的面积一定相等,但面积相等的两个图形不一定全等.知识点二全等三角形及对应知识点二全等三角形及对应元素1.全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.C重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对C应边,重合的角叫做对应角。2.全等三角形的表示方法:Ò全等Ó用数学符号Ò≌Ó表示,读作Ò全等于Ó记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.例如:如图所示的△ABO和△DEF全等,点A和点D,点B和点E,点C和点F分别是对应顶点,记作△ABC≌△DEF.AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边;∠A和∠D，∠B和/E，∠C和∠F是对应角.温馨提示:(1)完全重合有两层含义:①图形的形状相同;②图形的大小相等.全等的符号“≌”也形象直观地反映了这一点:“”表示图形的形状相同,“=”表示图形的大小(2).(2).全等三角形是全等形的特例知识点三全等三角形的性质知识点三全等三角形的性质全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等;由全等三角形的定义可知,全等三角形的周长相等,面积相等.温馨提示:全等三角形的性质是证明两条线段相等、两个角相等的重要方法。第一课时判定方法（一）边边边（SSS）知识点一、二用“边边边”判定两个三角形全等、全等三角形的判定(“边边边”)与性质的综合应用三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).温馨提示:(1)已知两个三角形有两组边分别相等时,可考虑经过数学推理得出第三组边相等，从而判定两个三角形全等;(2)“SSS”的判定方法说明三角形具有稳定性,即三边确定的三角形是唯一的.已知∠AOB(如图1所示),求作∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB.3CC作法:(1)以点0为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;(2)画一条射线O'A',以点O为圆心,OC长为半径画弧,交O'A'于点C';(3)以点C'为圆心,CD长为半径画弧,交前弧于点D';(4)过点D'画射线O'B',则∠A'O'B'即为所求作的角(如图2所示).第二课时判定方法（二）边角边（SAS）定(“边角边”)与性质的综合应用两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).温馨提示:(1)此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行,而不是两边及一边对角分别相等,一定要注意元素的“对应”关系.(2)此方法在应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹.第三课时判定方法（三）角边角（ASA）和角角边（AAS）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).用“ASA”来判定两个三角形全等,一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等,证明时要加强对夹边的认识,突出边角的位置关系,避免出错.两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).这一结论很容易由“ASA”推得,将这一结论与“ASA”结合起来,即可得出:两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等.温馨提示:(1)“有两角和一边分别相等的两个三角形全等”这句话正确吗?不一定正确，这是因为:假设这条边是两角的夹边,则根据角边角可知正确;假设一个三角形的一边是两角的夹边,而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边，则两个三角形不一定全等.A(2)有三个角对应相等的两个三角形不一定全等，/\如图所示，DE//BC，则∠ADE=∠B，)E/\∠AED=∠C，∠A=∠A，但△ADE和△ABC不全等.C第四课时判定方法（四）斜边、直角边（HL）知识点一用“斜边、直角边”判定三角形全等 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“HL”定理是直角三角形所独有的,对于一般三角形不成立.温馨提示:ÒHLÓ是识别两个直角三角形全等特有的方法,应用此方法时要注意:(1)要保证两个三角形是直角三角形;(2)斜边相等;(3)任意一条直角边对应相等.知识点二直角三角形全等的综合判定知识点二直角三角形全等的综合判定判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等全部适用,至此我们可以根据SSS,SAS，ASA,AAS和HL五种方法去判定两个直角三角形全等.在用一般方法证明时,因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件,故只需找另外两个条件即可，在实际证明中可根据条件灵活选用不同的方法。归纳:判定两个三角形全等常用的思路方法如下表:SSS或SAS相等(SS)锐角三角形或SAS或ASA可证已知角的另一边对应相等或钝角三角形对应相等(SA)证已知边的另一邻角对应相等对应相等(SA)两角对应相等(AA)可证两角的夹边对应相等或证相等一角的对边对应相等一锐角对应相等(AA)斜边对应相等(H)HL或AAS可证一条直角边对应相等或证一锐角对应相等一直角边对应相等(L)证斜边对应相等或证已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等第一课时角平分线的性质 一艘地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线 叫做角的平分线.咋已知角的平分线的方法有很多,主要有折叠法和尺规咋图法,尺规咋图法是常用的方法,尺规咋图一定要保留咋图痕迹,并 且要有结论.温馨提示:角平分线的画法是以“三边分别相等的两个三角形全等”和“全等 角相等”的性质为理论根据的.作已知角的平分线的方法有多种，除了常用的尺规作图法外)还可以用三角板、角尺等作图.角的平分线上的点到角的两边的距离相等.书写格式:如图所示，:OM是LAOB的平分线,C,C是OM上一点,CE丄OA于点E，CF丄OB于点F，,:CE=CF温馨提示:(1)这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长.(2)该性质可以独立咋为证明两条线段相等的依据,不需要再用全等三角形.(3)使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直.(4)运用角的平分线时常添加的辅助线:由角的平分线上的已知点向两边咋垂线导其他结论.第二课时角平分线的判定及应用角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.要注意性质与判定中的条件和结论的互逆关系。（条件）（结论）点在角的平分线上点在角的平分线上点到角的两边的距离相等性质是证明两条线段相等的常用方法；判定是证明两个角相等的常用方法。知识点二知识点二三角形的角平分线的应用,三角形的三条角平分线交于一点并且交点到三边的距离相等.,三角形的角平分线是线段,都在三角形的内部,如图1所示,点I为△ABC的三条内角平分线的交点，ID⊥BC于点D,IE⊥AB于点E,IF⊥AC于点F,ID=IE=IF,若连接IA,IB，IC,则它们分别平分∠BAC，∠ABC,∠BCA.3DC易错点1不能正确理解角平分线的性质及其判定在运用角平分线的性质及其判定时)常常忽略“到角的两边的距离”这一要求而导致出错.易错点2在运用角平分线的性质和判定时，误将线段当作距离 由于对点到直线的距离的概念理解不透彻)在利用角平分线的性质 和判定时)往往错误地将任意一线段当作“距离”)究其原因是对角平 分线的性质和判定把握不准)因而我们在运用角平分线的性质和判定 人教八年级数学上知识点总结知识点一轴对称图形与轴对称的有关概念轴对称图形轴对称如果一个平面图形，沿一条直线折叠指向两旁的部分，能够互相重合。这个图形就叫那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴折叠后重合的点是对应点，叫对称点ll3CC确定对象一个具有特殊形状的图形两个具有对称关系的图形区别对称点轴对称图形的对称点在一个图形上成轴对称的两个图形的对称点，分别在两个图形上对称轴对称轴是过图形的某条直线，不一定只有一条对称轴在两个图形之间，并且只有一条(1)都能沿某条直线翻折后互相重合;联系(2)若把成轴对称的两个图形看作一个整体,那么它就是一个轴对称图形,若把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两部分可看成关于这条直线成轴对称(1)轴对称图形至少有一条对称轴,对称轴可能有一条(如等腰直角三角形),两条(如长方形)，三条(如等边三角形),四条(如正方形)…·无数条(如圆).成轴对称的两个图形只有一条对称轴.(2)对称轴是一条直线,不是线段、射线．(3)轴对称反映两个图形之间的形状、大小和位置关系,而轴对称图形反映了一个图形的特性知识点二轴对称与轴对称图形的性质I.成轴对称的两个图形全等)即对应线段相等)对应角相等;轴对称图形被对称轴分成的两部分全等)即对折后重合的线段相等)对折后重合的角相等.乙.如果两个图形关于某条直线对称)那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.第一课时线段垂直平分线的性质和判定知识点一线段垂直平分线的性质I.线段垂直平分线的定义二经过线段中点并且垂直于这条线段的直线)叫做这条线段的垂直平分线.知识点二线段垂直平分线的判定 判定二与一条线段两个端点距离相等的点)在这条线段的垂直平分线上.第二课时线段垂直平分线的有关作图知识点一作线段的垂直平分线用尺规作线段的垂直平分线:··3该直线就是线段AB的垂直平分线3N,线段的平分线是直线，而不是射线或线段。,轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的画法,步骤如下:(1)找出轴对称图形或成轴对称的两个终形的任意一对对应点;(2)连接对应点;(3)画出对应点所连线段的垂直平分线.这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴.温馨提示:画对称轴的依据:对于轴对称图形或两个图形成轴对称，它们的对应点有一个共同的特征--对应点所连的线段被对称轴垂直平分这是我们画图形的对称轴的依据.关于某直线成轴对称的两个图形之间的关系关于某直线成轴对称的两个图形之间的关系..(1)由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全相同.(2)新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点.(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.2.画轴对称图形的方法由直线、线段或射线组成的图形,作出图形中一些特殊点(能确定图形的点)的对称点,连接这些对称点，就能得到原图形的轴对称图形.(1)找在原图形上找特殊点(如线段的端点、线与线的交点等);按原图对应连接各对称点画轴对称图形的方法简单归纳如下:(1)找在原图形上找特殊点(如线段的端点、线与线的交点等);按原图对应连接各对称点—(2)作—作各个特殊点关于已知直线的对称点;(3)连—.第二课时坐标平面内的轴对称知识点一、二关于x轴对称的点的坐标的特征、关于y轴对称的点的坐标的特征第一课时等腰三角形的概念与性质有两条边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰,剩余的一条边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).知识点三等腰三角形“三线合一”1.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合,简称“三线合”其具体用法是:在等腰三角形中,顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高,只要知道其中一个结论,就可以得出其他两个结论.温馨提示二这个性质是等腰三角形的另一条重要性质)应用非常广泛)它包含了多层意义.可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系等. 乙.等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线（顶角平分第二课时等腰三角形的判定判定方法I二根据定义判定)即有两边相等的三角形是等腰三角形.等(简写成《等角对等边n)这是证明同一个三角形中两线段相等的重要方法).温馨提示二(1)等腰三角形的定义体现了等腰三角形的性质,也可以作为等腰三角形的判定方法.(2)“等角对等边”在同一个三角形内证两条边相等应用极为广泛,往往通过计算三角形各角的度数,得到角相等,也可得到边相等.在运用时要找准“对边”与“对角”(3)等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”互为逆定理.第一课时等边三角形的性质与判定(1)等边三角形的三条边相等.(2)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个内角都等于60¡.(3)等边三角形是轴对称图形,它有3条对称轴.,l判定方法1:,l判定方法2:三个角都相等的三角形是等边三角形。判定方法3:有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。第二课时含30度角的直角三角形的性质知识点含30度角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等(1)求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题,只要连接这两点,所得线段与直线的交点即为所求的位置.如图1所示,点A,B分别是直线l异侧的两个点，在l上找到一个点C,使CA+CB最小这时点C是直线与AB的交点.依据是两点之间线段最短. ", (2)求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,所得线段与该直线的交点即为所求的位置.,,,短Ó解决问题 如图2所示,点A,B分别是直线l同侧的两个点，在l上找到一个点C, 使CA+CB最小.这时先作点B关于直线l的对称点B',则点C是直线l与AB的交点;或者先作点A关于直线l的对称点A,则点C是直线l与A'B的交点. 证明:在直线l上另外任取一点C，连接AC，BC',B'C'. 由作图可知,点B和点B'关于直线l对称,所以直线l是线段BB'的垂直平 分线.因为点C与点C在直线l上,所以BC=B'C,BC'B'C'.在 △AB'C'中,AB<AC'+B'C',所以AC+CB'<AC'+B'C,所以 AC+BC,,,短Ó解决问题解决Ò造桥选址Ó问题,一般用平移的方法,利用平移前后的对应线段.如图5,在互相平行的直线l,lz上,l找一条垂直于l，l₂的线段,MN,ll⊥l于点M,则根据“两点之间线段最短”,⊥l于点M,则根据“两点之间线段最短”,可得AM+MN+NB的最小值为MN()+A'B.人教八年级数学上知识点总结同底数幂相乘，底数不变，指数相加。温馨提示:(1)性质中的字母a既可以表示数,也可以表示单项式或多项式;(2)结果仍为幂的形式;(m，n,p都是正整数),底数a可以是任意数,也可以是单项式或多项式.(4)同底数幂的乘法运算性质的逆用:am=am·an(m,n都是正整数).对于任意底数a与任意正整数m，n，有(am)n=amn,即幂的乘方,底数不变,指数相乘.积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方,,再把所得的幂相乘，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方即(ab)n=anbn(n为正整数)。如(3a3bci)=3·(as)·(bi)=9a:b8第一课时单项式与单项式相乘一般地,单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。温馨提示:从单项式的乘法法则不难得出:(1)积的系数等于各项系数的积，是有理数的乘法运算，应先确定符号,再计算其绝对值.(2)相同字母相乘,是同底数幂的乘法,按照“底数不变,指数相加”进行计算.(3)只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数写在积里,注意不要把这个因式丢掉.第二课时单项式与多项式相乘知识点单项式与多项式相乘根据乘法对加法的分配律,即可得到单项式与多项式相乘的运算法则:p(a+b+c)=pa+pb+pc(p,a,b,c都是单项式),即单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.例如4a(3ab-5ab3)=4aá3ab-4aá5ab3=12ab-20a3b3温馨提示:(1)单项式与多项式相乘,结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项.(2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意,,,,,对于混合运算应注意运算顺序对于混合运算应注意运算顺序有同类项必须合并从而得到最简结果.第三课时多项式与多项式相乘一般地,多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加,即温馨提示:(1)运用多项式乘法法则时,必须做到不重不漏.(2)多项式与多项式相乘,仍得多项式.在合并同类项之前,积的项数应该等于两个多项式的项数之积.第四课时整式的除法1.同底数幂相除,底数不变,指数相减.即a-a=am-(a≠0,m，n都是正整数,并且m>n)温馨提示:(1)当三个或三个以上同底数幂相除时，(1)当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质,≠0,m,n,p都是正整数,且m>n+p).(2)本法则还可以逆用，即am-n=am÷an(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n).2.任何不等于0的数的0次幂都等于1,即a°=1(a≠0).知识点二单项式除以单项式一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.一般的,多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加,即(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m=a+b.知识点一、二平方差公式、利用平方差公式简1.两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差,即(a+b)(a-b)=a²-b²平方差公式的几何意义2.:平方差公式的几何意义由图①②所得结果,知(a+b)(a-b)=a²-b². 如图①,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,阴影部分的面积为a-b; 如图②,将图①中阴影部分拼成一个长方形,面积为(a+b)(a-b).由图①②所得结果,知(a+b)(a-b)=a²-b².① ②bbbbb(a+b)((a+b)(ba)(abc)[a(b+c)](1)左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数;(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方;(3)公式中的a和b各可以表示具体的数或单项式,也可以是多项式.1.两个数的和(或羌)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2陪,即(a士b)2=a2士2ab+b2.温馨提示:公式的变形:(1)放变待号运用公式汁算如:①(一a-b)2-[一(a+b)]2=(a+b)2;②(-a+b)2=[-(a-b)]2=(a-b)2.(2)根据加法的运算律变形运用公式,如:①一②--2--2.(3)利用凫全平方公式变形代数式,如:a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab.2.凫全平方公式的特点:两个公式的左边都是一个二项式的平方,二者R有一个Ò待号Ó不同,右边都是二次三项式,其中有两项是公式左边二 项式中每一项的平方,中间一项是左边二项式中两项乘积的2陪,二者 也R有一个Ò待号Ó不同.知识点二添括号法则 添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不改变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.例如:a+b+c=a+(b+c),a-b-c=a-(b+c).温馨提示:添括号与去括号是互逆的,符号的变化也是一致的,在掌握此法则时，可与去括 号法则相比较,都是括号前面为正号,各项都不变符号;括号前面为负号,各项都变符号,不可只改变部分项的符号.把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.温馨提示:因式分解与整式乘法是互逆的变形过程,因式分解的结果要与原式相等,所以可用整式的乘法检验分解的结果是否正确.a²-b²(a+b)(a-b）知识点二用提公因式法分解因式1.公因式:在多项式中,如果各项都有一个公共的因式,就把这个因式称为公因式.怎样确定公因式(五看):一看系数:若各项系数都是整数,应提取各项系数的最大公因数;二看字母:公因式的字母是各项相同的字母;三看字母的指数:各相同字母的指数取指数最低的;四看整体二如果多项式中含有相同的多项式,应将其看成整体,不要拆开;五看首项符号二若多项式中首项符号是“一”,则公因式的符号一般为负.2.提公因式法分解因式(1)定义:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.(2)实质:提公因式的实质是乘法分配律的逆用.(3)步骤:第一步确定公因式;第二步提公因式并确定另一个因式;第三步把多项式写成这两个因式的积的形式.第一课时运用平方差公式分解因式知识点用平方差公式分解因式的差的积)即Q²b²=(Q+b)·(Qb).温馨提示二能用平方差公式分解因式的多项式的特点二①含有两部分;②两部分的符号相反;③每一部分的绝对值都可以写成某个数或式子的平方.第二课时运用完全平方公式分解因式 用完全平方公式分解因式=两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的乙倍)等于这两个数的和(或差)的平方 即a²+乙ab+b²=(a+b)²)a²-乙ab+b²=(a-b)².①含有三部分;②有两部分可以分别写成某个数或式子的平方)且这两部分符号相同; (I)二次项系数是I;(乙)左边常数项是右边两个因式常数项的积;(3)左边一次项系数是右边两个因式常数项的和. 人教八年级数学上知识点总结一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子BB中,A叫做分子,B叫做分母.温馨提示:(1)分式是两个整式相除的商式,其中分子为被除式,分母为除式,分数线除了起除号作用外，还具有括号的作用(2)分母中含有字母是分式的一个重要标志,判断一个式子是不是分式不能先化简再判断,如y是分式,但化简之后的xy是整式,即进行分式判断只看形式,不能.知识点二分式有意义的条件1.分式有意义的条件:分式的分母不等于0.2.分式无意义的条件:分式的分母等于0.温馨提示:(1)分式有无意义与分母有关,与分子无关.(2)本章中如没有特别说明,所遇到的分式都是有意义的,也就是说分式中分母的.值不等于零.知识点三分式的值为0的条件当分式的分子等于0且分母不等于0时当分式的分子等于0且分母不等于0时,分式的值为0.温馨提示:分式的值是在分式有意义的前提下才考虑的.所以使分式B为0的条件是:A=0且B≠0. 分式的分子与分母同乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值温馨提示:(1)分式的基本性质与分数的基本性质类似,要深刻体会性质中“不等于0”“同 乘(或除以)”的含义,“同乘(或除以)”说明分子与分母乘(或除以)的整式是相 同的;“不等于0”是对分子与分母乘(或除以)的整式的限制条件. (2)基本性质中的A,B.C表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件, 一般在解题过程中不另强调;C≠0是在解题过程中另外附加的条件,在运用分式的基本性质时，必须重点强调C≠0这个前提条件.知识点二约分、最简分式与分数的约分类似,根据分式的基本性质,把一个分式的分子和分母的公因式约去,叫做分式的约分.分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.温馨提示:(1)找公因式的方法:①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂,它们的积就是公因式;②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解.,,(2)最简分式的判断:判断分式是不是最简分式,其标准是:看分子、分母是否含有公因式,若有公因式,则不是最简分式;若没有公因式,则是最简分式.,,1.分式的通分与分数的通分类似,根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.2.最简公分母各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母.分式通分的关键是确定几个分式的最简公分母.温馨提示:(1)最简公分母的确定方法:①当各分母的系数为整数时,取它们的系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;②所有分式的分母中凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取;③相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最高的;④当分母是多项式时,一般应将能因式分解的多项式先进行因式分解.(2)通分的步骤:①先求各分母的最简公分母;②用最简公分母除以各分母求商;③用商分别乘各分式的分子、分母,即可得到同分母的分式.分式的乘法法则:分式乘分式用分子的积作为积的分子分母的积作为积的分母.C·C温馨提示:(1)分式与分式相乘,若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式;若分子、分母是多项式,先把分子、分母因式分解,看能否约分,然后再相乘.(2)当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作为积的分子,分母不变.分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.A·CA·C用式子表示为bd=bc=bc知识点三分式的乘除法的应用利用分式的乘除法解决一些简单的实际问题.分式的乘方要把分子、分母分别乘方用式子表示是(b)=b)=b,其中n是正整数.知识点二分式的乘除、乘方混合运算 分式的乘除、乘方混合运算可以统一化为乘法运算,先乘方,再算乘除,能因式分解的先因式分解,再约分化简. (1)分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同,即按照从左到右的顺序,有括号时先算括号里面的. (2)分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理, 可先确定积的符号. 在分式的运算中要正确地按照运算顺序依次进行计算,不能违背运算顺序随 意按照自己的想法进行.同级运算,应按照自左向右的顺序依次进行,不是同级运 算,应按照先算高级运算，再算低级运算的顺序依次进行,也就是说有乘方的先 算乘方,后算乘除,最后算加减.第一课时分式的加减,同分母分式加减法法则:分母不变把分子相加减.,na士bna士b“把分子相加减”是指把各个分式的分子的整体相加减,即各个分子都应先,,ad“把分子相加减”是指把各个分式的分子的整体相加减,即各个分子都应先,,ad士bc加上括号再加减.当分子是单项式时,括号可以省略;当分子是多项式时,括号不可以省略.知识点二知识点二异分母分式相加减异分母分式加减法法则:先通分变为