河南省南阳市南阳六校2025-2026学年高二上学期10月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省南阳市南阳六校2025-2026学年高二上学期10月期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线斜率为，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设倾斜角为，依题意，由于，所以.故选：A.2.下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：焦点在轴上的是C和D，渐近线方程为，故选C．3.记椭圆：，双曲线：的离心率分别为，，若，则（）A.1 B.2 C.4 D.5【答案】B【解析】由题意知，，因为，所以，即，解得.故选：B.4.点关于直线的对称点为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设点关于直线的对称点为，则，解得，即.故选：A.5.已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（）A.3 B. C.4 D.【答案】C【解析】由题意知抛物线的焦点为，准线的方程为.如图，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为.由抛物线的定义得，所以，当三点共线时取等号，故的最小值为.|故选：C.6.已知圆与直线：相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（）A.2 B. C.3 D.【答案】A【解析】圆C：，即，圆心为，半径，因为圆与：相交于两点，且为正三角形，所以圆心到直线的距离，，则，解得.故选：A.7.已知圆O：，直线l：，将圆O在l下方的部分沿着l向上翻折，如图，若直线与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】由题意知圆O与l交于B，C两点，且，，当直线过点时，得，由对称性可知，折叠后的弧BC对应的圆的方程为，当与劣弧BC相切时，有，所以，其中舍去，结合图形可知，当时，直线与两段弧恰有4个交点.结合选项知B符合题意.故选：B.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知，，.如图，设圆与线段，，分别相切于点，则，，，所以，所以，从而可知内切圆的圆心C在直线上.因为的斜率为，所以倾斜角为，因为是的平分线，所以直线的倾斜角为，方程为，将代入，得，所以，即圆C的半径为，得圆C的面积为.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.若直线的斜率，则倾斜角B.过点且与直线垂直的直线方程为C.过任意两点，的直线都可以用方程表示D.直角坐标系xOy内的任意直线都可以用方程表示【答案】AD【解析】对于A，由条件可知，又，当时，，当时，，A正确；对于B，直线的斜率为，其垂线的斜率为3，所以过点且与直线垂直的直线方程为，即，故B错误；对于C，当直线垂直于坐标轴时，不能用方程表示，故C错误；对于D，任何直线的方程都有一般式，故D正确.故选：AD.10.椭圆光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经该椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点.已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，一条光线从出发，经过椭圆的若干次反射，第二次经过点时光线走过的路程为8c，则该椭圆的离心率可能为（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】设椭圆的长轴长为.①若光线从沿长轴向左射出，则第二次经过时，光走过的路程为，所以，得；②若光线从沿长轴向右射出，则第二次经过时，光走过的路程为2a，所以，得；③若光线从沿其他方向射出，则第二次经过时，光走过的路程为6a，所以，得.故选：BCD.11.已知抛物线：的焦点为，若过点的直线与交于两点，且在第一象限，为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.面积的最小值为2B.当直线的倾斜角为时，C.线段的中点到的准线的距离等于D.在x轴上存在一点，使直线与的斜率之和为定值【答案】ACD【解析】由题意知，设直线AB的方程为，，，联立直线与抛物线的方程，得消去整理得，则，.对于A，，故时，的面积取得最小值，为2，故A正确；对于B，当直线AB的倾斜角为时，直线AB的方程为，将代入，得，解得，，所以，，所以，故B错误；对于C，由题意知C的准线方程为，由前面的分析，知，，所以，又，所以，故C正确；对于D，由前面的分析，知，，设，则，所以当时，为定值0，即存在，使为定值，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是______.【答案】【解析】由题意得，解得故答案为：.13.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，过椭圆上除A，B外任意一点P向x轴作垂线，垂足为Q，若，则椭圆的焦距为______.【答案】【解析】由题意知，，设，则，，所以，整理得，对照椭圆方程可知，所以，故椭圆的焦距为.故答案为：.14.已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则的最大值为______.【答案】【解析】由题意，得圆C：的圆心到直线l：的距离，所以l与圆C相离，如图，可知当取得最大值时，取最小值，的最小值为点C到l的距离，即，此时，所以，故的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设直线与交于点P，已知直线l过点P.（1）若l与直线平行，求l的方程；（2）若l在x轴和y轴上的截距互为相反数，求l的方程.解：（1）联立得，解得，即.若l与直线平行，则l的斜率，所以l的方程为，即.（2）若l经过坐标原点，设l：，代入P点坐标，解得，所以l的方程为.若l不经过坐标原点，设l：，代入P点坐标，得，解得，所以l的方程为，即.所以l的方程为或.16.已知点，，，的外接圆为圆C.（1）求圆C的方程；（2）设的AB边上的高所在的直线为l，求l被圆C所截得的弦长.解：（1）设圆C的方程为，将，，三点坐标代入，得解得故圆C的方程为，即.（2）由题意得，与AB垂直的高线的斜率为1，又过，所以：.圆的圆心到的距离，则被圆截得的弦长为.17.已知椭圆C：的离心率，以C的四个顶点为顶点的四边形的面积为.（1）求的方程；（2）若直线交椭圆于两点，求.解：（1）设C的半焦距为.由题意得得C的方程为.（2）设，，联立，得化简得，，..18.已知直线l：与抛物线C：相切于点P.（1）求C的方程以及点P的坐标；（2）过点的动直线L与C交于A，B两点（均不与点P重合），AB的中点为M.（i）当轴时，求L的方程；（ii）设直线PA，PB的斜率分别为，，证明：为定值.（1）解：由可得（*），由题意知，解得（舍去），所以C的方程为.将代入（*）式可得，解得，将代入C的方程可得：，即.（2）（i）解：易知L的斜率存在且不为0，设，与C的方程联立，得.由及点P不在L上，得或或.设，，则，.当轴时，，即，满足题意，所以L的方程为.（ii）证明：由（i）可得，.所以，即为定值.19.已知双曲线C：的右焦点为，渐近线方程为.（1）求C的方程.（2）若动直线l过点F，且与C交于M，N两点（M在第一象限，N在第四象限），过点M作直线的垂线，垂足为D.（i）证明：