湖北省十堰市八校教联体2025-2026学年高二上学期11月联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省十堰市八校教联体2025-2026学年高二上学期11月联考数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（）A.10 B.3 C. D.【答案】C【解析】由题得，所以到平面的距离为，故选：C.2.若直线：与直线：平行，则＝（）A. B.或3 C. D.3【答案】B【解析】因为两直线平行，所以：，所以或.故选：B.3.已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】由题意，，，，则空间向量在向量方向上的投影数量为.所以所求投影向量的模长为2.故选：A.4.已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，，.故选：B.5.从四双不同的鞋中任意取出只,事件“只全部不成对”与事件“至少有只成对”（）A.是对立事件 B.不是互斥事件C.是互斥但不对立事件 D.都是不可能事件【答案】A【解析】从双不同的鞋中任意摸出只,可能的结果为:“恰有只成对”,“只全部成对”,“只都不成对”,故:事件“4只全部成对”的对立事件为“恰有只成对”+“只都不成对”“至少有两只不成对”.事件“只全部不成对”与事件“至少有只成对”是:对立事件.故选:A.6.如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为分别为的中点，所以.因为为的重心，所以，所以.故选：B.7.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，记向量，的夹角为，则为钝角的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得，，所以.因为为钝角，所以，且不共线，所以，即，且.当时，有且，所以可取1，3，4，5，6；当时，有，可取3，4，5，6；当时，有，可取5，6；当，，时，，此时无解.综上所述，满足条件的有11种可能.又先后抛掷两次，得到的样本点数共36种，所以为钝角的概率故选：D.8.在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列结论中正确结论的个数为（）①四面体外接球的表面积为②点与点之间的距离为③四面体的体积为④异面直线与所成的角为A. B. C. D.【答案】B【解析】对于①，取的中点，连接、，则，因为，所以，，所以，为四面体的外接球球心，球的表面积为，①对；对于②③④，过点在平面内作，垂足为点，过点作交于点，则二面角的平面角为，在中，，，，则，，，则，，，，，，平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于垂线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为，则、、、，，②错，，，③对，，，，故异面直线与所成角为，④错.故选：B.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知直线，则（）A.直线不过原点B.直线可能与坐标轴垂直C.时，直线与直线垂直D.时，直线的一个方向向量为【答案】AC【解析】因为直线，所以不满足直线方程，即直线不过原点，故A正确；由直线方程可知直线斜率为，且不为0，故直线不可能与坐标轴垂直，故B错误；当时，直线，由可知，直线与直线垂直，故C正确；当时，直线，直线的一个方向向量为，而，故D错误.故选：AC.10.已知一组样本数据，其中为正实数．满足．下列说法不正确的是（）A.样本数据的第50百分位数为B.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数C.已知这组数据的极差是6，则数据的极差是11D.样本数据的方差，则这组样本数据的总和等于80【答案】C【解析】因为，样本数据的第50百分位数为，故A正确；对于B，若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数，故B正确；对于C，由题知，这组数据的极差为，则数据的极差为，故C错误；对于D，，则，所以，故D正确.故选：C.11.台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在球台上击球.若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律.如图，有一张正方形球台，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，则的值可以为（）A.3 B.2 C. D.【答案】AD【解析】第一种情况：现从角落沿角的方向把球打出去，球先接触边，反射情况如下：设关于的对称点为，关于的对称点为；如图；根据直线的对称性可得：；第二种情况：现从角落沿角的方向把球打出去，球先接触边，反射情况如下：设关于的对称点为，关于的对称点为，如图；根据直线的对称性可得：；故选：AD．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.求过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程（答案写成直线的一般方程）________.【答案】或【解析】当截距不为0时，设直线的方程为，又过点，所以，解得，所以直线的方程为；当截距为0时，设直线的方程为，又过点，所以，解得，所以直线的方程为，即；综上，直线的方程为或.故答案为：或.13.在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则____．【答案】【解析】在正三棱锥中，，又，，所以，所以，同理可得，，即两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，如图所示，正方体的体对角线就是外接球的直径，则，如图，以点为原点建立空间直角坐标系，

则，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，则点到平面的距离，所以．故答案为：.14.从方程的所有非负整数解中随机取出一组解，则该解是正整数解的概率为________.【答案】【解析】因为方程的非负整数解有个，它们是，，，，其中均为正整数解有个，所以从方程的所有非负整数解中随机取出一组解，则该解是正整数解的概率为.故答案为：.四、解答题（共5小题，共计77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.已知坐标平面内三点，，.（1）求直线，，的斜率和倾斜角；（2）若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围.解：（1）因为，，，由斜率公式，可得，再由直线倾斜角的定义得：直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为.（2）如图所示，当直线由绕点逆时针转到时，直线与线段恒有交点，即在线段上，此时的斜率由增大到，所以的取值范围为.16.为了提高市民的环保意识，某市举行了环保知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为6组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低40分，最高100分）．（1）求a的值；（2）从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的众数和平均数；（3）认定成绩位于前百分之六十的考生为良好，请你估计良好认定的分数线是多少．（保留整数）解：（1）在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为1，可得，解得，（2）估计本次竞赛成绩的众数为分，估计本次竞赛成绩的平均数为：分.（3）由题意，成绩位于前百分之六十的考生为良好，则良好认定的分数线是第40百分位数，前两个矩形面积之和为，前三个矩形面积之和为，设第40百分位数为，则，则，解得，因此，估计良好认定的分数线为68分.17.如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点，（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角余弦值；（3）求点到平面的距离．（1）证明：取中点，连接，，由是的中点，故，且，由是的中点，故，且，则有、，故四边形是平行四边形，故，又平面，平面，故平面；（2）证明：以为原点建立如图所示空间直角坐标系，有、、、、、，则有、、，设平面与平面的法向量分别为、，则有，，分别取，则有、、，，即、，则，故平面与平面的夹角余弦值为.（3）解：由，平面的法向量为，则有，即点到平面的距离为.18.在川大附中2024秋季教职工运动会拔河比赛中，高一、高二、高三三个年级组和行政组共四个队伍角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”：第一轮，四个队伍通过抽签分成两组，每组两个队伍对阵，每组胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；第二轮，“胜区”中两个队伍对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两个队伍对阵，败者直接淘汰出局获第四名；第三轮，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名；第四轮，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.已知高二和高三年级组水平相当，高一和行政组水平相当，高二对高三、高一对行政组的胜率均为，高二、高三对高一和行政组的胜率均为，没有平局，且不同对阵的结果相互独立.经抽签，第一轮由高二对阵高三，高一对阵行政组.（1）求比赛结束时，高二比赛的场次是2场的概率；（2）若已知高二输了第一轮的比赛，求高二获得冠军的概率；（3）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：即四个队伍分成两组后，每组中的两个队伍对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军.分别求在以上两种赛制下高二获得冠军的概率，并比较哪种赛制对高二夺冠有利？请说明理由.解：（1）设高二在第场比赛获胜的事件为，由高二比赛的场次是2场，则高二两场全输，则.（2）由于高二输了第一轮的比赛，高二后续需全胜才能获得冠军，则.（3）在“双败淘汰制”下，若高二获得冠军，则最多只能输一场，若高二全胜，其概率为，若高二只输了第一场，则，若高二只输了第二场，则，则高二获得冠军的概率为；在“单败淘汰制”下，若高二获得冠军，则需两场全胜，则，由，故，故“双败淘汰制”对高二夺冠有利.19.如图①所示，矩形中，，，点M是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥，N为中点.

（1）若平面平面，求直线与平面所成角的大小；（2）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值.解：（1）取中点，连接，由，得，而平面平面，平面平面平面，则平面，过作，则平面，又平面，于是，在矩形中，，，则，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平