湖南省湘东教学联盟2026届高三上学期11月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省湘东教学联盟2026届高三上学期11月联考数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵，或，∴．故选：A.2.若复数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为,所以，故选：B.3.双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线的实半轴长，虚半轴长，则半焦距，所以所求离心率.故选：D.4.已知函数恒成立，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，是函数的最大值，，得，，又．故选：A.5.已知等差数列满足：，则前20项的和为（）A.190 B.360 C.400 D.440【答案】C【解析】设数列公差为，令得，，令得，则，即，解得，．故选：C.6.若，，，则、、的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为函数在上为增函数，所以，即，因为，，函数在上为增函数，所以，即，故．故选：C.7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】〖祥解〗由两角和的正弦结合弦切互化化简即可.【详析】，又，，，又由，得，，即．故选：B.8.已知均为定义在上的函数，，若的图象关于直线对称，且，则的值是（）A.463 B.464 C.465 D.466【答案】B【解析】由的图象关于直线对称，可得的图象关于直线对称，即的图象关于直线对称，则，由，可得，又，得，所以，即，所以的图象关于点对称，即为奇函数，所以，函数的周期为4；由可得，又因为，所以，根据函数的性质，得，所以．故选：B.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.随着人工智能应用软件豆包、Kimi、DeepSeek陆续出现，AI成为各行各业创新应用的热门话题．某课题小组对本市各行业人群使用AI频率进行调查研究，下列说法正确的是（）A.甲同学根据调查数据，利用最小二乘法得到AI每周使用频次关于年龄的经验回归方程为，可以推断使用频次与年龄正相关且相关系数为0.2B.乙同学开展了AI每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，且相关程度很强C.丙同学研究性别因素是否影响AI使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的AI使用频次有差异D.丁同学得到经验回归方程①和②，通过决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好很多【答案】BD【解析】A选项：在经验回归方程中，斜率参数，只能说明使用频次与年龄正相关，但相关系数不是0.2，故A错误；B选项：样本相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关性越强，，说明两个变量正线性相关，且相关程度很强，故B正确；C选项：根据小概率值的独立性检验，计算得到，没有充分证据证明不同性别的AI使用频次有差异，故C错误；D选项：决定系数越接近于1，模型的拟合效果越好，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好．故选：BD．10.已知圆，直线，点为圆上一点，点为坐标原点，则下列叙述正确的有（）A.的最小值为B.当时，直线与圆相切C.的最小值为D.若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则【答案】AC【解析】已知圆的方程可化为，故圆心，半径，对于A：因为为圆上一点，所以，故A正确；对于B：当时，直线，根据点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离，所以直线与圆不相切，故B错误；对于C的几何意义为圆上一点与原点连线的斜率，设，则直线的方程为，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，解得，所以，故C正确；对于D：因为圆的半径，要使圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式，即，解得，故D错误．故选：AC．11.如图，三棱台中，平面，则（）A.三棱台的体积为B.平面C.D.若点在侧面上运动，且与平面所成角的正切值为4，则点在侧面上的轨迹长度为【答案】ABD【解析】A选项：，，故A正确；B选项：平面，平面平面，又为的中点，，平面，平面，故B正确；C选项：由B选项答案可知平面，若，而平面，则平面，，与条件矛盾，故错误；D选项：如图，在平面中，作于点，由B选项答案可知，平面，，平面，平面为与平面所成角，依题意，又，又．在侧面上的轨迹是以为圆心，半径为的半圆，轨迹长度为，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.设为单位向量，且，与的夹角为，则的值为___________．【答案】4【解析】因为，所以，所以，又因为为单位向量，与的夹角为，所以，故答案为：4．13.已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，则线段的长为___________．【答案】13【解析】抛物线的焦点为，，抛物线的方程为．直线的方程：，联立得，设，则．另解：．14.设，若，，则___________．【答案】1【解析】，化简得，①，得，②，令，，在定义域上单调递增，由①，②可得，又是奇函数，，即，．故答案为：1四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，空间几何体的底面是以为直角的等腰直角三角形，平面平面，直线平面，且．（1）求证：平面；（2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：过点作于点，连接，平面平面，且平面平面平面，平面.又平面，，又平面平面，平面.（2）解：取G为的中点，由题知底面是以为直角的等腰直角三角形，易得，又平面，且平面，，而，，而，故平面，因平面，而由（1）知平面，平面，则，故H与G重合.又，平面，则平面，又平面，则，又，故四边形AHDE为矩形.如图，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因，则.平面的一个法向量可取为，设直线与平面所成角为，，直线与平面所成角的正弦值为.16.已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）判断的单调性；（3）若在上有两个零点，求实数的取值范围．解：（1）当时，，，由题意知切点为，切线斜率，切线方程为：，即；（2）的定义域为，，当时，在上单调递增；当时，时，单调递增，时，单调递减；当时，时，单调递减，时，单调递增；综上：当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增；（3）法一：，令，得，即，得，令，令，得，当时，单调递增；当时，单调递减，．又，当时，，当时，，时，，当且时，，当时，有2个零点，实数的取值范围为；法二：由题意可得，令，，当时，恒成立，则在上单调递增，当时，时，，只有一个零点，即只有一个零点，不符合题意；当时，令，解得，当时，单调递增，当时，单调递减，，当时，时，，故当，即时，有2个零点．实数的取值范围为.17.已知，直线相交于点，且，点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过点的直线交曲线于两点，直线与曲线的另一个交点为，线段的中点为的面积为，求直线的方程．解：（1）设，已知，由，得，化简得：，曲线的方程为.（2）依题意，过点的直线斜率不为0，设直线，联立得，设，则.为的中点，为的中点，，，解得，直线的方程为：，即.18.已知的内角的对边分别为．（1）若，求角的值；（2）角的平分线交的外接圆于点，圆的半径为．（i）当时，求的值；（ii）当为何值时，的面积取最大值．解：（1），由正弦定理得，即，由余弦定理得，，.（2）（i）解法1：为直径且，如图，连接并延长交于点，连接，在中，，，，又平分，，，在Rt中，，.解法2：连接，平分，，易得，由正弦定理得，在中，，即，同理在中，，是方程的两根，.（ii）解法1：如图，连接，设，又外接圆的半径为，，在中，由余弦定理可得，，得，同理，在中，，是方程的两根，.又，，.设，则，，，令，则，令，时，（舍）或，设，则当，即时，，函数单调递减，当时，即时，，函数单调递增当，即时，取最大值，面积最大.解法2：如图，连接并延长交圆于点，连接，在中，，，，设，平分，，连接，在中，，在Rt中，，，由，知，即，问题转化为求函数的最大值，同解法1．19.某公司为了开拓新产品市场，组织人类挑战机器人对抗赛活动．每局比赛只有胜和负两种情况，无平局，每局比赛挑战者战胜机器人的概率为，胜者记2分，其余记1分．每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响．（1）求三局比赛中，人类队累计得分的分布列和数学期望；（2）若局比赛中，人类队累计得分为分的概率为，求；（3）若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为；若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为，比较与的大小，并说明其统计意义．解：（1）的所有可能取值为3，4，5，6，的分布列为Y3456数学期望.（2）依题意，局比赛中，人类队累计得分为分，即局中有2局人类队取胜，当时，，当时，也符合上式.，设得：，，（3）设“赛满局人类队获胜”为事件，要使事件发生，有两种情况：第一阶段赛满