高考数学三轮冲刺重难点练习预测03 导数及其应用（原卷版）

预测03导数及其应用从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.1、基本初等函数的导数公式(1)(xα)＝αxα－1(α为常数)；(2)(ax)′＝axlna(a>0且a≠1)；(3)(logax)′＝eq\f(1,x)logae＝eq\f(1,xlna)(a>0，且a≠1)；(4)(ex)′＝ex；(5)(lnx)′＝eq\f(1,x)；(6)(sinx)′＝cosx；(7)(cosx)′＝－sinx.2、导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,g2x)(g(x)≠0).3、复合函数的导数若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.（1）函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.（2）函数的极值判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.求可导函数的极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.（3）函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在区间(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.（4）方法技巧1、利用导数的符号来判断函数的单调性；2、已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；3、f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.4、导函数的零点并不一定就是函数的极值点.所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点.5、一般地，若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x)max；若a<f(x)对x∈D恒成立，则只需a<f(x)min.若存在x0∈D，使a>f(x0)成立，则只需a>f(x)min；若存在x0∈D，使a<f(x0)成立，则只需a<f(x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围．6、切线放缩：(1)对数形式：x≥1＋lnx(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立．(2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．进一步可得到一组不等式链：ex>x＋1>x>1＋lnx(x>0，且x≠1)．一．选择题1．设a≠0，若x＝a为函数f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的极大值点，则（）A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2 D．ab＞a22．若过点（a，b）可以作曲线y＝ex的两条切线，则（）A．eb＜a B．ea＜b C．0＜a＜eb D．0＜b＜ea3．（压轴）设a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c=1.04A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b二．填空题4．曲线y=2x−1x+2在点（﹣1，﹣3）处的切线方程为5．（压轴）已知函数f（x）＝|ex﹣1|，x1＜0，x2＞0，函数f（x）的图象在点A（x1，f（x1））和点B（x2，f（x2））的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则|AM||BN|的取值范围是三．解答题6．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=xaa（1）当a＝2时，求f（x）的单调区间；（2）若曲线y＝f（x）与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．7．已知函数f（x）＝ln（a﹣x），已知x＝0是函数y＝xf（x）的极值点．（1）求a；（2）设函数g（x）=x+f(x)xf(x)．证明：g（8．已知函数f（x）＝x（1﹣lnx）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna﹣alnb＝a﹣b，证明：2＜1a9．（2021•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2+b．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：f（x）恰有一个零点．①12＜a≤e22②0＜a＜12，b≤2☆☆单选题☆☆1．函数f（x）＝lnx+x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．4x﹣y﹣3＝0 B．4x+y﹣3＝0 C．x﹣4y﹣3＝0 D．x+4y﹣3＝02．若函数f(x)=12x2−ax+lnxA．(0，12] B．（0，+∞） 3．已知函数f(x)=12xA．a＜2 B．a≥1 C．1＜a＜2 D．1＜a≤24．设函数f'（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＜0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）5．已知函数f(x)=xex−a．若f（A．[0，1） B．（0，1） C．（0，1e） D．[0，16．（压轴）已知函数f（x）＝ax2﹣x﹣lnx有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（1e，1）B．（0，1）C．（﹣∞，1+ee2）7．（压轴）设函数f（x）＝xex﹣a（x﹣1），其中a＜1，若存在唯一整数x0，使得f（x0）＜a，则a的取值范围是（）A．[−1e2，1） B．[−1e2，1e） C．[18．（压轴）若对任意的x∈（0，+∞），恒有（1﹣a）x≤eax﹣lnx，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，e] B．(−∞，1e] C．[e，+∞）☆☆多选题☆☆（多选）9．设函数f(x)=eA．f（x）定义域是（0，1）⋃（1，+∞） B．x∈（0，1）时，f（x）图像位于x轴下方 C．f（x）存在单调递增区间 D．f（x）有且仅有两个极值点（多选）10．对于函数f（x）＝16ln（1+x）+x2﹣10x，下列正确的是（）A．x＝3是函数f（x）的一个极值点 B．f（x）的单调增区间是（﹣1，1），（2，+∞） C．f（x）在区间（1，2）上单调递减 D．直线y＝16ln3﹣16与函数y＝f（x）的图象有2个交点（多选）11．设函数f（x）=|lnx|，x＞0ex(x+1)，x≤0，若函数g（x）＝f（x）﹣A．0 B．13 C．12（多选）12．（压轴）设函数f(x)=x−ln|x|A．f（x）为奇函数 B．函数y＝f（x）﹣1有两个零点 C．函数y＝f（x）+f（2x）的图象关于点（0，2）对称 D．过原点与函数f（x）相切的直线有且只有一条故选：BCD．☆☆填空题☆☆13．已知函数f（x）=12x2−mx+4lnx在区间[1，2]上存在单调递增区间，则实数m14．函数f（x）＝﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）．则”函数f（x）既有极大值又有极小值”的充要条件为15．若函数f（x）=23x3﹣ax2（a＜0）在（2a，a+1）上有最大值，则实数a的取值范围为16．（压轴）已知函数f（x）＝ex+alnx﹣xa﹣x（a＞0，e为自然对数的底数，e＝2.71828…）．当a＝1时，函数f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为；若x∈（1，+∞），f（x）≥0，则实数a的最大值为．☆☆解答题☆☆17．已知函数f（x）=ex1+ax2，其中a为正实数，x=（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当b＞12时，求函数f（x）在[18．已知函数f（x）＝xlnx−14x2﹣ax+1，a＞0，函数g（x）＝f′（（1）若a＝ln2，求g（x）的最大值；（2）证明：f（x）有且仅有一个零点．19．函数f（x）＝ln（x+t）+ax，其中t、（1）若t＝0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）t＝0时，不等式f（x）≥1在x∈（0，1]上恒成立，求实数a的取值范围；（3）若g（x）＝ex+ax，当t≤2时，证明：g（x）＞f（20．已知函数f（x）＝x（e2x﹣a）．（1）若y＝2x是曲线y＝f（x