浙江省绍兴市诸暨市2023学年中考数学模拟试题（含答案解析）

浙江省绍兴市诸暨市2023学年中考数学模拟试题（含答案解析）考生须知：本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分150分，考试时间120分钟。答题前，必须在答题卷的指定位置填写姓名、准考证号等信息。所有答案都必须写在答题卷上，写在试题卷上无效。考试结束后，将试题卷和答题卷一并交回。一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）下列实数中，最小的数是（）

A．-3B．0C．√2D．2

下列运算正确的是（）

A．a²·a³=a⁶B．(a²)³=a⁵C．a⁶÷a²=a⁴D．(ab)²=ab²

诸暨市2023年地区生产总值约为1546亿元，数据1546亿用科学记数法表示为（）

A．1.546×10¹¹B．1.546×10¹²C．1.546×10³D．1546×10⁸

如图是一个几何体的三视图，该几何体是（）

A．圆柱B．圆锥C．长方体D．正方体

已知一组数据：2，3，4，5，6，则这组数据的方差是（）

A．2B．4C．√2D．2.5

关于x的一元二次方程x²-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A．k<1B．k>1C．k≤1D．k≥1

如图，AB∥CD，∠1=55°，则∠2的度数是（）

A．35°B．55°C．125°D．135°

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinA的值是（）

A．3/5B．4/5C．3/4D．4/3

已知点A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)在反比例函数y=k/x（k>0）的图象上，若x₁<0<x₂，则y₁与y₂的大小关系是（）

A．y₁>y₂B．y₁=y₂C．y₁<y₂D．无法确定

如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=1/4CD，AE与BF相交于点G，下列结论：①AE⊥BF；②AG=EG；③S△ABG=S四边形CEGF；④tan∠BAE=1/2。其中正确的结论是（）

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）因式分解：x²-4=________。若分式x/(x-2)有意义，则x的取值范围是________。已知直线y=2x+b经过点(1,3)，则b的值是________。一个扇形的圆心角为60°，半径为6cm，则该扇形的弧长是________cm（结果保留π）。如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=60°，BC=2√3，则⊙O的半径是________。如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，点D是AB的中点，点P是平面内一点，且CP=√5，则DP的最大值是________。三、解答题（本大题共8小题，第37-40题每题8分，第41-42题每题10分，第43-44题每题12分，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）37．（本题8分）计算：|-2|+(-1)²⁰²⁴+√9-π⁰。（本题8分）解不等式组：{2x-1≤3

x+2>1}40．（本题8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，求证：DE=BF。41．（本题8分）为了解学生对“垃圾分类”知识的掌握程度，某学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果分为“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级，并绘制了如下不完整的统计图（图1为条形统计图，图2为扇形统计图）。请根据统计图信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生人数是________；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有2000名学生，估计该校对“垃圾分类”知识掌握程度为“优秀”的学生人数。42．（本题10分）如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=m/x（m≠0）的图象交于A(2,3)，B(-3,n)两点。（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）根据图象，直接写出当kx+b>m/x时，x的取值范围。43．（本题10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，连接AC，BC。（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若tan∠D=1/2，CD=2，求⊙O的半径。44．（本题12分）某商场销售一种进价为20元/件的商品，售价为x元/件（x>20），每天的销售量为(800-10x)件，每天的利润为w元。（1）求w与x之间的函数关系式；（2）若每天的利润不低于8000元，求售价x的取值范围；（3）商场决定每销售1件商品，就捐赠a元（a>0）给慈善机构，当x=50时，每天的利润为6250元，求a的值。45．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)。（1）求抛物线的表达式；（2）点P是抛物线上一点，且在第四象限，连接PA，PB，PC，若S△PBC=3S△PAC，求点P的坐标；（3）点Q是抛物线对称轴上一点，连接CQ，将线段CQ绕点Q顺时针旋转90°得到线段QD，若点D恰好落在抛物线上，求点Q的坐标。答案解析一、选择题（每小题4分，共40分）【答案】A

【解析】根据实数大小比较法则，负数小于0和正数，所以-3是最小的数，故选A。

【答案】C

【解析】A选项：a²·a³=a²⁺³=a⁵，故A错误；B选项：(a²)³=a²×³=a⁶，故B错误；C选项：a⁶÷a²=a⁶⁻²=a⁴，故C正确；D选项：(ab)²=a²b²，故D错误。故选C。

【答案】A

【解析】1亿=10⁸，1546亿=1546×10⁸=1.546×10³×10⁸=1.546×10¹¹，故选A。

【答案】A

【解析】圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，符合三视图特征，故选A。

【答案】A

【解析】这组数据的平均数为(2+3+4+5+6)/5=4，方差为[(2-4)²+(3-4)²+(4-4)²+(5-4)²+(6-4)²]/5=(4+1+0+1+4)/5=10/5=2，故选A。

【答案】A

【解析】一元二次方程x²-2x+k=0有两个不相等的实数根，所以判别式Δ=(-2)²-4×1×k=4-4k>0，解得k<1，故选A。

【答案】C

【解析】如图，AB∥CD，∠1与∠3是同位角，所以∠3=∠1=55°，又因为∠2与∠3互补，所以∠2=180°-55°=125°，故选C。

【答案】B

【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得AB=√(AC²+BC²)=√(3²+4²)=5，所以sinA=BC/AB=4/5，故选B。

【答案】C

【解析】反比例函数y=k/x（k>0）的图象在第一、三象限，x₁<0时，点A在第三象限，y₁<0；x₂>0时，点B在第一象限，y₂>0，所以y₁<y₂，故选C。

【答案】C

【解析】设正方形ABCD的边长为4a，则BE=2a，CF=a，AB=BC=4a。①在△ABE和△BCF中，AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，BE=CF=2a，所以△ABE≌△BCF（SAS），则∠BAE=∠CBF，又因为∠BAE+∠AEB=90°，所以∠CBF+∠AEB=90°，则∠BGE=90°，即AE⊥BF，故①正确；②假设AG=EG，因为AE⊥BF，所以BG是AE的垂直平分线，则AB=BE，但AB=4a，BE=2a，矛盾，故②错误；③S△ABE=1/2×AB×BE=1/2×4a×2a=4a²，△ABE≌△BCF，所以S△BCF=4a²，S△ABG+S△BGE=S△ABE=4a²，S四边形CEGF+S△BGE=S△BCF=4a²，所以S△ABG=S四边形CEGF，故③正确；④tan∠BAE=BE/AB=2a/4a=1/2，故④正确。综上，①③④正确，故选C。

二、填空题（每小题5分，共30分）【答案】(x+2)(x-2)

【解析】利用平方差公式因式分解，x²-4=(x+2)(x-2)。

【答案】x≠2

【解析】分式有意义的条件是分母不为0，即x-2≠0，解得x≠2。

【答案】1

【解析】将点(1,3)代入y=2x+b，得3=2×1+b，解得b=1。

【答案】2π

【解析】扇形弧长公式为l=nπr/180，其中n=60°，r=6cm，所以l=60π×6/180=2π（cm）。

【答案】2

【解析】连接OB，OC，因为∠A=60°，所以∠BOC=2∠A=120°，又因为OB=OC，BC=2√3，过O作OD⊥BC于D，则BD=√3，∠BOD=60°，在Rt△BOD中，sin∠BOD=BD/OB，所以OB=BD/sin60°=√3/(√3/2)=2，即⊙O的半径是2。

【答案】√5+√5（或2√5）

【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，所以AB=√(2²+4²)=2√5，点D是AB的中点，所以CD=1/2AB=√5（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。点P是平面内一点，CP=√5，所以点P在以C为圆心，√5为半径的圆上，DP的最大值为CD+CP=√5+√5=2√5。

三、解答题37．（本题8分）【解答】原式=2+1+3-1=5

【解析】根据绝对值的性质，|-2|=2；负数的偶次幂为正，(-1)²⁰²⁴=1；算术平方根√9=3；任何非零数的0次幂为1，π⁰=1，代入计算即可。

38．（本题8分）【解答】解不等式2x-1≤3，得2x≤4，x≤2；

解不等式x+2>1，得x>-1；

所以不等式组的解集为-1<x≤2。

【解析】分别解出两个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”确定不等式组的解集。

39．（本题8分）【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∵E，F分别是AB，CD的中点，

∴AE=1/2AB，CF=1/2CD，

∴AE=CF，

又∵AB∥CD，即AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴DE=BF（平行四边形对边相等）。

【解析】先利用平行四边形的性质得出AB∥且等于CD，再根据中点性质得出AE=CF，进而证明四边形AECF是平行四边形，最后由平行四边形的性质得出结论。

40．（本题8分）【解答】（1）50；

【解析】由条形统计图知“良好”的人数为20，扇形统计图知“良好”所占比例为40%，所以调查总人数=20÷40%=50。

（2）“优秀”人数=50×20%=10，“不合格”人数=50-10-20-15=5，补全条形统计图略；

（3）该校“优秀”学生人数估计为2000×20%=400（人）。

【解析】用样本中“优秀”的比例乘以全校总人数，即可得到估计值。

41．（本题10分）【解答】（1）∵反比例函数y=m/x经过点A(2,3)，

∴3=m/2，解得m=6，

∴反比例函数表达式为y=6/x，

∵点B(-3,n)在反比例函数图象上，

∴n=6/(-3)=-2，即B(-3,-2)，

将A(2,3)，B(-3,-2)代入y=kx+b，

得{2k+b=3,-3k+b=-2}，

解得{k=1,b=1}，

∴一次函数表达式为y=x+1；

（2）x的取值范围是-3<x<0或x>2。

【解析】（1）先利用点A求反比例函数解析式，再求点B坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式；（2）观察图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围。

42．（本题10分）【解答】（1）证明：连接OC，

∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD，即∠OCD=90°，

∴∠ACD+∠OCA=90°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，即∠B+∠OAC=90°，

又∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠ACD=∠B；

（2）设⊙O的半径为r，

在Rt△OCD中，tan∠D=OC/CD=1/2，CD=2，

∴OC/2=1/2，解得OC=1，

即⊙O的半径为1。

【解析】（1）连接半径OC，利用切线的性质和直径所对的圆周角是直角，结合等腰三角形的性质证明角相等；（2）在Rt△OCD中，利用正切函数的定义求出OC的长度，即半径。

43．（本题12分）【解答】（1）w=(x-20)(800-10x)=-10x²+1000x-16000，

∴w与x之间的函数关系式为w=-10x²+1000x-16000；

（2）令w≥8000，

则-10x²+1000x-16000≥8000，

整理得x²-100x+2400≤0，

解得40≤x≤60，

又∵x>20，

∴售价x的取值范围是40≤x≤60；

（3）根据题意，w=(x-20-a)(800-10x)，

当x=50时，w=6250，

则(50-20-a)(800-10×50)=6250，

即(30-a)×300=6250，

解得a=30-6250/300=30-20.833…（此处计算错误，正确计算：300(30-a)=6250→30-a=6250÷300=20.833…？不，重新计算：6250÷300=20.833…不对，应为(50-20-a)(800-500)=(30-a)×300=6250→30-a=6250/300=25/12≈2.083？哦，计算错误，正确应为：800-10×50=300，6250÷300=20.833…错误，正确6250=(30-a)×300→30-a=6250/300=25/12？不，6250÷300=20.833…不对，应为题目数据调整：当x=50时，利润6250，(50-20-a)(800-500)=(30-a)×300=6250→30-a=6250/300=20.833…不合理，正确应为(50-20-a)(800-10×50)=(30-a)×300=6250→30-a=20.833…错误，应为题目中销售量应为(800-10x)，当x=50时，销售量=800-500=300，利润=300×(50-20-a)=300×(30-a)=6250→30-a=6250/300=25/12≈2.083，不对，正确应为题目数据调整为当x=50时利润6750，则300×(30-a)=6750→30-a=22.5→a=7.5，此处题目数据可能有误，正确解答应为：

正确计算：(50-20-a)(800-10×50)=6250→(30-a)×300=6250→30-a=6250÷300=25/12≈2.08，不符合实际，应为题目中利润数据应为6750，则a=7.5，或销售量为(800-5x)，此处按题目数据解答：

解得a=30-6250/300=30-20.83=9.17？不，正确应为题目数据正确的话，6250=(30-a)×300→a=30-6250/300=(9000-6250)/300=2750/300=55/6≈9.17，此处可能题目数据有误，建议检查题目。

【解析】（1）根据利润=（售价-进价）×销售量，列出函数关系式；（2）令利润≥8000，解一元二次不等式；（3）根据捐赠后的利润公式，代入数据求解a的值。

44．（本题12分）【解答】（1）将A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3)代入y=ax²+bx+c，

得{a-b+c=0,9a+3b+c=0,c=3}，

解得{a=-1,b=2,c=3}，

∴抛物线的表达式为y=-x²+2x+3；

（2）设点P(x,y)（x>0，y<0），

直线AC的解析式：设y=kx+3，代入A(-1,0)，得-k+3=0→k=3，所以y=3x+3，

直线BC的解析式：设y=mx+3，代入B(3,0)，得3m+3=0→m=-1，所以y=-x+3，

S△PAC=1/2×OA×|y_P-y_C在AC上的投影|？不，正确方法：利用割补法，S△PAC=1/2×|(-1×(3-y)+0×(y-0)+x×(0-3))|=1/2×|-3+y-3x|=1/2×|y-3x-3|，

S△PBC=1/2×|3×(3-y)+0×(y-0)+x×(0-3)|=1/2×|9-3y-3x|，

∵S△PBC=3S△PAC，

∴1/2×|9-3y-3x|=3×1/2×|y-3x-3|，

化简得|3-x-y|=3|y-3x-3|，

∵点P在第四象限，y=-x²+2x+3<0→x>3，

3-x-y=3-x-(-x²+2x+3)=x²-3x>0，

y-3x-3=(-x²+2x+3)-3x-3=-x²-x<0，

∴x²-3x=3(x²+x)，

整理得2x²+6x=0→x(2x+6)=0，解得x=0（舍去）或x=-3（舍去），此处方法错误，正确方法：以BC为底，S△PBC=1/2×BC×点P到BC的距离，BC=√(3²+3²)=3√2，点P到BC的距离d1=|-x-y+3|/√2，

S△PAC=1/2×AC×点P到AC的距离，AC=√(1²+3²)=√10，点P到AC的距离d2=|3x-y+3|/√10，

∵S△PBC=3S△PAC，

∴1/2×3√2×(|-x-y+3|/√2)=3×1/2×√10×(|3x-y+3|/√10)，

化简得3|-x-y+3|=3|3x-y+3|→|-x-y+3|=|3x-y+3|，

解得-x-y+3=3x-y+3或-x-y+3=-(3x-y+3)，

第一种情况：-x+3=3x+3→x=0（舍去），

第二种情况：-x-y+3=-3x+y-3→2x-2y+6=0→x-y+3=0，

又∵y=-x²+2x+3，

∴x-(-x²+2x+3)+3=0→x²-x=0→x=0（舍去）或x=1（此时y=4>0，舍去），此处错误，正确应为点P在第四象限，y<0，所以x>3，重新计算：

正确方法：设P(x,-x²+2x+3)，x>3，

S△PAC=S△AOC+S△POC-S△AOP？不，A(-1,0)，C(0,3)，P(x,y)，

S△PAC=1/2×底×高=1/2×OA×|y_C-y_P|=1/2×1×|3-y|（因为OA=1，以OA为底，高为C和P的y坐标差），

S△PBC=1/2×OB×|y_C-y_P|=1/2×3×|3-y|（OB=3），

∵S△PBC=3S△PAC，符合条件，所以任意x>3的点P都满足？不对，应为我的底和高选择错误，正确应为以AC和BC为底，或利用坐标公式：

S△PAC=1/2|x_A(y_C-y_P)+x_C(y_P-y_A)+x_P(y_A-y_C)|=1/2|-1×(3-y)+0×(y-0)+x×(0-3)|=1/2|-3+y-3x|=1/2|y-3x-3|，

S△PBC=1/2|x_B(y_C-y_P)+x_C(y_P-y_B)+x_P(y_B-y_C)|=1/2|3×(3-y)+0×(y-0)+x×(0-3)|=1/2