机械制图 模块二

模块二

绘制简单三维物体的三视图机械设备是由许多零件装配而成的，不同作用的零件其结构形状也不同。无论零件的结构形状多么复杂，都可以将它看成是由一些基本体组合而成的，并且其结构形状可以通过三视图表示出来。基本体主要包括平面立体和回转体等简单三维物体，简单三维物体的三视图是按照正投影原理和制图国家标准的相关规定绘制的。本模块首先讲解三视图的形成过程与投影规律，以及点、直线、平面的投影，然后介绍简单三维物体的投影分析及其三视图的绘制方法，旨在初步培养学生的空间想象能力，为更好地学习绘图技能打下坚实的基础。模块导读第2页学习目标第3页知识目标1.了解投影法的种类，掌握正投影的基本特性。2.了解三投影面体系，理解三视图的形成及展开、三视图间的投影关系。3.熟悉点、直线和平面的三面投影与投影规律。4.掌握常见平面立体的投影分析及其三视图的作图步骤。5.掌握常见回转体的投影分析及其三视图的作图步骤。技能目标1.能够熟练地在三视图上判断点、直线和平面的空间位置关系。2.能够熟练绘制简单三维物体的三视图。素质目标1.养成认真细致的作图习惯。2.培养精益求精、科学严谨、一丝不苟的工匠精神。绘制简单三维物体的三视图投影法概述01点的投影03平面的投影05三视图的投影规律与画法02直线的投影04平面立体的投影分析与三视图06目录引导案例学习工单回转体的投影分析与三视图07引导案例任何物体均可认为是由点、直线、平面构成的。两点可以确定一条直线，不在同一条直线上的三点可以确定一个平面，因此在点、直线、平面中最基础的要素是点。当分析直线和平面时，应先分析点。点击跳过情境如图2-1所示，以正三棱锥为例，对点、直线、平面等几何要素进行分析，可以看出该正三棱锥是由△SAB、△SAC、△SBC、△ABC四个棱面组成的，各棱面分别交于棱线SA、SB、SC、AC、BC、AB，各棱线汇交于顶点A、B、C、S。请绘制该正三棱锥的三面投影。点击跳过情境图2-1正三棱锥引导案例第8页本模块的学习清单如表2-1所示。请你每掌握一项学习内容，便在相应的方框中画“√”，同时记录学习感想，及时进行自我勉励。表2-1学习清单学习内容□了解投影法的种类，掌握正投影的基本特性□了解三投影面体系，理解三视图的形成及展开、三视图间的投影规律□熟悉点的三面投影与投影规律，理解两点的相对位置□熟悉直线的三面投影与投影规律，理解两直线的相对位置□熟悉平面的三面投影与投影规律，掌握属于平面的直线和点的作图方法□掌握常见平面立体的投影分析及其三视图的作图步骤□掌握常见回转体的投影分析及其三视图的作图步骤自我勉励学习工单任务描述寻找队友小组讨论学以致用学习总结学习工单1．任务描述第10页根据投影法概述和三视图的投影规律与画法，理解点、直线与平面的三面投影与投影规律，掌握常见的平面立体和回转体等三维物体的投影分析及其三视图的作图步骤。2．寻找队友以3～5人为一组，各组选出组长，然后将小组成员的信息填入表2-2中。组长组织组员相互督促，共同学习。小组成员姓名学号组长

组员

表2-2小组成员的信息班级：

组号：

指导教师：学习工单3．小组讨论第11页在进行绘制简单三维物体三视图的练习之前，需要熟悉投影法和三视图的画法，点、直线与平面的投影，平面立体和回转体的投影分析等基础知识。请各组组长组织组员收集相关资料，回答下列问题。引导问题1：根据投射线是否平行，投影法可分为

和

两类。引导问题2：由于正投影的投射线相互平行，且垂直于投影面，因此正投影具有真实性、

和

。引导问题3：将物体置于三投影面体系中，按正投影法向V面、H面和W面进行投影，即可得到

、

和

。引导问题4：主视图反映物体的

和

；俯视图反映物体的

和

；左视图反映物体的

和

。学习工单3．小组讨论第12页在进行绘制简单三维物体三视图的练习之前，需要熟悉投影法和三视图的画法，点、直线与平面的投影，平面立体和回转体的投影分析等基础知识。请各组组长组织组员收集相关资料，回答下列问题。引导问题5：点的两面投影的连线，必定

于相应的投影轴；点的投影到投影轴的距离等于空间点到相应

的距离，即“

”。引导问题6：共处于同一条

上的两点，必在相应的投影面上具有重合的投影。这两个点称为对该投影面的一对

。引导问题7：空间两直线的相对位置有

、

和

三种情况。引导问题8：对三个投影面都倾斜的平面，称为

。引导问题9：绘制平面立体的投影图就是按照投影规律绘制出立体表面上所有

的投影。学习工单3．小组讨论第13页在进行绘制简单三维物体三视图的练习之前，需要熟悉投影法和三视图的画法，点、直线与平面的投影，平面立体和回转体的投影分析等基础知识。请各组组长组织组员收集相关资料，回答下列问题。引导问题10：若点所在平面的投影可见，点的投影

；若平面的投影积聚为直线，则点的投影

。引导问题11：圆锥底面具有积聚性，其上的点可以

；圆锥面没有积聚性，其上的点需要用

才能求出。引导问题12：三视图之间存在怎样的投影关系？引导问题13：简述三视图的画法。学习工单3．小组讨论第14页引导问题14：两直线相交时具有怎样的投影规律？引导问题15：作平面图形投影的实质是什么？引导问题16：简单说明棱柱三视图的作图步骤。引导问题17：简述圆锥的投影特性。在进行绘制简单三维物体三视图的练习之前，需要熟悉投影法和三视图的画法，点、直线与平面的投影，平面立体和回转体的投影分析等基础知识。请各组组长组织组员收集相关资料，回答下列问题。学习工单4．学以致用第15页（1）积木是一种常见的益智类玩具，它是不同形状的木质或塑料立体块，能够锻炼观察力和想象力。如图2-2所示的两个立体图形是某积木玩具中的两个积木块，请分别绘制它们的三视图。（尺寸从立体图中量取，取整数）图2-2根据立体图绘制三视图（a）（b）学习工单4．学以致用第16页（2）已知点A（18，10，5）和点B（5，8，13），在图2-3中作线段AB的三面投影。图2-3作线段的三面投影学习工单4．学以致用第17页（3）在图2-4中分别指出A、B、C三个平面在投影图中的投影，并说明A面、B面、C面分别是什么平面。图2-4指出平面的三面投影学习工单4．学以致用第18页（4）如图2-5所示，分别补画第三视图，并作出立体表面上点M和点N的另外两面投影。图2-5补画第三视图及立体表面上点的投影（a）（b）学习工单5．学习总结第19页小组成员共同制订学习计划，并按计划完成本模块的学习工单。同时，将学习过程中遇到的问题及解决办法、学习体会及收获记录在表2-3中。项目名称学习总结本模块的学习计划

遇到的问题及解决办法

学习体会及收获表2-3学习总结表一、投影法概述投影法的种类正投影的基本特性一、投影法概述灯光或日光照射到物体上，就会在墙面或地面上形成影子。通过影子我们可以看出物体的外形轮廓，但影子仅是一个黑影，它无法清楚地表示物体的完整结构。因此人们对这种现象进行抽象，总结出物体、投影面和观察者之间的关系，形成了投影法，即光照射物体在预定的投影面上得到影像的方法。第21页获得物体的投影必须具备的三个条件投射线物体投影面一、投影法概述根据投射线是否平行，投影法可分为中心投影法和平行投影法两类。1．投影法的种类1）中心投影法第22页中心投影法是指投射线汇交于一点的投影法，如图2-6所示。用中心投影法得到的物体的投影，其大小会随着投影面、物体及投射中心三者之间距离的变化而变化。图2-6中心投影法

点击此处播放动画【图2-6动画】一、投影法概述根据投射线是否平行，投影法可分为中心投影法和平行投影法两类。1．投影法的种类1）中心投影法第23页图2-6中心投影法用中心投影法得到的图形符合人的视觉习惯，立体感较强，广泛应用于建筑、装饰设计等领域，但因为不能反映物体的真实大小，度量性差，所以在机械图样中很少使用。

点击此处播放动画【图2-6动画】一、投影法概述1．投影法的种类2）平行投影法第24页平行投影法是指投射线为平行线时的投影法，如图2-7所示。用平行投影法得到的图形，其大小不随物体与投影面距离的改变而改变，度量性好。当物体表面与投影面平行时，该面的投影全等于该表面，具有真实性。图2-7平行投影法（a）斜投影（b）正投影

点击此处播放动画【图2-7动画】一、投影法概述1．投影法的种类2）平行投影法第25页图2-7平行投影法（a）斜投影（b）正投影在平行投影法中：若投射线与投影面倾斜，则为斜投影，如图2-7（a）所示；若投射线与投影面垂直，则为正投影，如图2-7（b）所示。

点击此处播放动画【图2-7动画】一、投影法概述1．投影法的种类2）平行投影法第26页图2-7平行投影法（a）斜投影（b）正投影由于正投影能真实地反映物体的形状和大小，且作图也比较方便，因此在机械图样的绘制中得到了广泛应用。本书主要介绍正投影，如无特殊说明，所述投影均视为正投影。

点击此处播放动画【图2-7动画】一、投影法概述第27页图2-8正投影的基本特性（a）真实性（b）积聚性（c）类似性2．正投影的基本特性由于正投影的投射线相互平行，且垂直于投影面，因此正投影具有如下特性。真实性当物体的某一平面（或棱线）与投影面平行时，其投影反映实形（或实长）。如图2-8（a）所示，平行于投影面的平面P的投影反映实形。一、投影法概述第28页图2-8正投影的基本特性（a）真实性（b）积聚性（c）类似性2．正投影的基本特性由于正投影的投射线相互平行，且垂直于投影面，因此正投影具有如下特性。积聚性当物体的某一平面（或棱线）与投影面垂直时，其投影积聚为一条直线（或一个点）。如图2-8（b）所示，垂直于投影面的平面Q的投影积聚为一条直线。一、投影法概述第29页图2-8正投影的基本特性（a）真实性（b）积聚性（c）类似性2．正投影的基本特性由于正投影的投射线相互平行，且垂直于投影面，因此正投影具有如下特性。类似性当物体的某一平面（或棱线）与投影面倾斜时，其投影与该平面（或棱线）类似，即凹凸性、直曲性和边数类似，但平面图形变小了，线段变短了。如图2-8（c）所示，倾斜于投影面的平面R的投影是原平面的类似形。第30页课堂训练在学习完本节内容之后，请你简述正投影的基本特性？一、投影法概述第31页课堂小结投影法的种类1.中心投影法2.平行投影法正投影的基本特性投影法概述一、投影法概述二、三视图的投影规律与画法三投影面体系三视图的形成及展开三视图间的投影规律三视图的画法二、三视图的投影规律与画法第33页物体的单面投影通常不能完整准确地表示出物体的形状和大小，而且不同形状的物体在同一投影面上的投影还有可能相同，如图2-9所示。因此，为了准确且全面地表示物体的形状和大小，必须从几个方向进行投影，也就是要用几个正投影图相互补充才能完整表示物体的形状和大小。在实际绘图中，常用三个正投影图来表示物体的形状和大小。

（a）

（b）

（c）图2-9物体的单面投影1．三投影面体系第34页为了确定物体的形状和大小，并正确分析投影规律，通常将物体放在由三个相互垂直的投影面组成的投影体系中，然后向这三个投影面分别进行投影。这三个相互垂直的投影面组成的投影体系称为三投影面体系，如图2-10所示。二、三视图的投影规律与画法图2-10三投影面体系点击此处返回上一页1．三投影面体系第35页（1）正对着观察者的投影面称为正立投影面，简称正面，用V表示。（2）处于水平位置的投影面称为水平投影面，简称水平面，用H表示。（3）处于右边侧立位置的投影面称为侧立投影面，简称侧面，用W表示。二、三视图的投影规律与画法图2-10三投影面体系1．三投影面体系第36页二、三视图的投影规律与画法相互垂直的投影面之间的交线称为投影轴，分别用OX、OY、OZ表示。其中:图2-10三投影面体系OX轴代表长度方向OY轴代表宽度方向OZ轴代表高度方向三个投影轴的交点称为原点，用O表示。2．三视图的形成及展开第37页二、三视图的投影规律与画法图2-11三视图的形成及展开（a）物体在三投影面体系中的投影将物体置于如图2-10所示的三投影面体系中，使其主要表面与投影面平行或垂直，然后按正投影法分别向V面、H面和W面进行投影，即可得到该物体的三面投影，如图2-11（a）所示。点击此处跳转至图2-10（1）物体在V面上的投影，也就是由前向后投影所得到的视图，称为主视图。（2）物体在H面上的投影，也就是由上向下投影所得到的视图，称为俯视图。（3）物体在W面上的投影，也就是由左向右投影所得到的视图，称为左视图。2．三视图的形成及展开第38页二、三视图的投影规律与画法为了画图方便，需要将相互垂直的三个投影面展开，摊平在同一平面上，即将三个视图画在同一平面上，并保持它们之间的对应投影关系。其展开方法是：V面位置保持不动，将H面绕OX轴向下旋转90°，将W面绕OZ轴向右旋转90°，分别使其与V面处于同一平面上。这时，OY轴被分成两条，分别用（在H面上）和（在W面上）表示，如图2-11（b）所示；展开在一个平面上的三个视图，称为物体的三视图，如图2-11（c）所示。图2-11三视图的形成及展开（b）三个投影面展开（c）三视图2．三视图的形成及展开第39页二、三视图的投影规律与画法由于投影面是假想的，因此投影面的大小并不影响投影图的形状和大小，故在实际绘图时，不必画出投影面的边框线和投影轴，如图2-11（d）所示。图2-11三视图的形成及展开（d）去掉投影面边框线和投影轴第40页二、三视图的投影规律与画法（a）物体在三投影面体系中的投影（b）三个投影面展开（c）三视图图2-11三视图的形成及展开（d）去掉投影面边框线和投影轴

点击此处播放动画【图2-11动画】3．三视图间的投影规律第41页由于三个投影图表示的是同一个物体，所以它们之间存在如下投影规律。二、三视图的投影规律与画法长对正：主、俯视图长度相等。高平齐：主、左视图高度相等。宽相等：俯、左视图宽度相等。三等规律“长对正、高平齐、宽相等”反映了三个视图的内在联系，不仅物体的整体投影要符合上述投影规律，物体上的每一个平面、棱线和顶点都必须遵从上述投影规律。第42页知识链接画物体的三视图时，除了要遵从上述三等规律外，还要按照主视图、俯视图和左视图之间的相对位置进行绘制。这三个视图的位置关系为：以主视图为准，俯视图在主视图的正下方，并且对正；左视图在主视图的正右方，并且相互平齐。此外，图2-11（d）中还表明了物体的上、下、左、右、前、后六个方位，在画图和看图时，要特别注意物体的前、后两个方位在三视图中是如何表示的，即在俯视图和左视图中，远离主视图的一侧为物体的前面，靠近主视图的一侧为物体的后面。作图时，俯视图和左视图“宽相等”这一投影规律可用45°辅助线来表示。图2-11三视图的形成及展开（d）去掉投影面边框线和投影轴4．三视图的画法第43页（1）分析形体，确定主视图投射方向。主视图应尽可能反映物体的形状特征，其他视图应作图简单、虚线少。（2）确定绘图比例和图纸幅面。根据物体结构的复杂程度和尺寸大小来确定。（3）整体布局，画底稿图。先画基准线或对称中心线，再从具有形体特征的主视图入手，先主后次（先画特征投影或有积聚性的投影），逐个绘出各部分的投影，根据三等规律，将三个视图结合起来画。（4）检查三视图的投影，加深描粗图线。加深描粗图线的顺序一般是先描细线后描粗线、先描曲线后描直线（先水平后铅垂再斜线）、从左至右、从上至下依次进行。（5）再次全面检查，校对视图，修饰图面。二、三视图的投影规律与画法第44页提示卡绘制三视图时，可设想分别从物体的前、左、上三个方位观察物体，如果棱线和轮廓线可见，则用粗实线表示；如果棱线和轮廓线不可见，则用虚线表示。当粗实线与虚线或细点画线重合时，应画成粗实线；当虚线与细点画线重合时，应画成细虚线。【例2-1】第45页二、三视图的投影规律与画法根据如图2-12所示的立体图，绘制主视图、俯视图和左视图。图2-12立体图分析：该物体由两个长方体叠加而成，其中上部长方体的正上方切去一个小长方体形成了一个凹槽。根据立体图绘制三视图。【例2-1】第46页二、三视图的投影规律与画法作图步骤：（1）分析形体，确定主视图投射方向。如图2-12所示的主视图投射方向，最能反映物体的形状特征，并且物体是左右对称的。根据如图2-12所示的立体图，绘制主视图、俯视图和左视图。图2-12立体图【例2-1】第47页二、三视图的投影规律与画法作图步骤：（2）画投影轴和45°辅助线，如图2-13（a）所示。（3）整体布局，画主要结构的底稿图。利用三等规律“长对正、高平齐、宽相等”，绘制两个叠加长方体的三视图，如图2-13（b）所示。注意先画基准线或对称中心线。根据如图2-12所示的立体图，绘制主视图、俯视图和左视图。（a）图2-13绘制立体的三视图（b）【例2-1】第48页二、三视图的投影规律与画法作图步骤：（4）完成局部结构凹槽的投影。首先完成凹槽特征视图——主视图的投影，再利用“长对正”完成俯视图中切去的长方体的投影，然后根据“高平齐”补画左视图中挖去的长方体的投影，如图2-13（c）所示。由于挖去的长方体的深度在左视图中不可见，故用虚线表示。根据如图2-12所示的立体图，绘制主视图、俯视图和左视图。图2-13绘制立体的三视图（c）【例2-1】第49页二、三视图的投影规律与画法根据如图2-12所示的立体图，绘制主视图、俯视图和左视图。图2-13绘制立体的三视图（c）（a）（b）

点击此处播放动画【图2-13动画】【例2-1】第50页二、三视图的投影规律与画法作图步骤：（5）对照立体图检查补画三视图，清理图面并擦去多余的辅助线，确认无误后加深描粗图线，如图2-14所示。（6）全面检查，校对视图，修饰图面。根据如图2-12所示的立体图，绘制主视图、俯视图和左视图。图2-14清理图面并加深描粗图线第51页课堂训练在学习完本节内容之后，请你介绍一下三视图间的投影规律？二、三视图的投影规律与画法第52页课堂小结三投影面体系三视图的形成及展开三视图间的投影规律

三视图的画法三视图的投影规律与画法二、三视图的投影规律与画法三、点的投影点的三面投影点的投影规律点的投影与直角坐标的关系两点的相对位置三、点的投影第54页1．点的三面投影众所周知，点的投影仍是点。如图2-15（a）所示，求空间点S的三面投影，就是将点S置于三投影面体系中，由点S分别向三个投影面作垂线，则其垂足s、s′、s″即为点S的三面投影。（a）图2-15点的三面投影三、点的投影第55页1．点的三面投影如图2-15（c）所示，其中、、、分别为点的投影连线与投影轴X、Y、Z的交点。（c）（b）图2-15点的三面投影如图2-15（b）所示，将投影面按箭头所指的方向展开，摊平在一个平面上，便得到点S的三面投影图。三、点的投影第56页2．点的投影规律（c）（b）图2-15点的三面投影（a）如图2-15所示，通过点的三面投影图的形成过程，可总结出点的投影规律。（1）点的两面投影的连线，必定垂直于相应的投影轴，即，，，。三、点的投影第57页2．点的投影规律（c）（b）图2-15点的三面投影（a）（2）点的投影到投影轴的距离等于空间点到相应投影面的距离，即“影轴距等于点面距”，可知点S到H面的距离Ss；

点S到V面的距离；

点S到W面的距离。第58页提示卡空间点及其投影的标记：空间点用大写字母或罗马数字标记，如A、B、C…或Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ…；点的水平投影（H面投影）用相应的小写字母或阿拉伯数字标记，如a、b、c…或1、2、3…；点的正面投影（V面投影）用相应的小写字母或阿拉伯数字并加一撇（′）标记，如

、

、

…或

、

、

…；点的侧面投影（W面投影）用相应的小写字母或阿拉伯数字并加两撇（″）标记，如

、

、

…或

、

、

…。三、点的投影第59页3．点的投影与直角坐标的关系点的空间位置可用直角坐标来表示。若将三投影面体系看作直角坐标系，则可将投影面当作坐标面，投影轴当作坐标轴，点O当作坐标原点，于是可以得出以下结论。（1）点S的x坐标，即点S到W面的距离。（2）点S的y坐标，即点S到V面的距离。（3）点S的z坐标，即点S到H面的距离。点S坐标的规定书写形式为：S（x，y，z）。【例2-2】第60页已知点A（30，10，20），求作它的三面投影图。三、点的投影图2-16根据点的坐标作它的三面投影图（a）作图步骤：（1）作投影轴OX、、、OZ。（2）在OX轴上由点O向左量取30mm，得到点，在轴和轴上由点O分别向下、向右量取10mm，得到点和点；在OZ轴上由点O向上取20mm，得到点，如图2-16（a）所示。【例2-2】第61页已知点A（30，10，20），求作它的三面投影图。三、点的投影作图步骤：（3）过点作OX轴的垂线，过点和点分别作轴和轴的垂线，过点作OZ轴的垂线。（4）各条垂线的交点a、、即为点A的三面投影，如图2-16（b）所示。图2-16根据点的坐标作它的三面投影图（b）【例2-2】第62页已知点A（30，10，20），求作它的三面投影图。三、点的投影图2-16根据点的坐标作它的三面投影图（b）（a）

点击此处播放动画【图2-16动画】三、点的投影第63页4．两点的相对位置1）两点在空间的相对位置比较图2-17两点在空间的相对位置比较两点在空间的相对位置由两点的坐标差来确定，以图2-17为例，具体如下。（1）两点的左右相对位置由x坐标差（）确定，由于，因此点A在点B的左方。（2）两点的前后相对位置由y坐标差（）确定，由于，因此点A在点B的后方。（3）两点的上下相对位置由z坐标差（）确定，由于，因此点A在点B的下方。故点A在点B的左后下方，反过来说，就是点B在点A的右前上方。三、点的投影第64页4．两点的相对位置2）重影点及可见性判断图2-18重影点及可见性判断如图2-18所示，E、F两点的投影、重合，这说明E、F两点的x、z坐标相同，、

，即E、F两点处在垂直于正面（V面）的同一条投射线上。可见，处于同一条投射线上的两点，必在相应的投影面上具有重合的投影。这两个点称为对该投影面的一对重影点。三、点的投影第65页4．两点的相对位置2）重影点及可见性判断图2-18重影点及可见性判断重影点的可见性需要根据这两点不重影的投影坐标的大小来判别。如图2-18所示，、重合，但H面投影不重合，且e在前、f在后，即。所以对V面来说，E可见、F不可见。在投影图中，对不可见的点，在重影处的投影需要加圆括号表示。如图2-18中，对不可见点F的V面投影，加圆括号表示为（）。【例2-3】第66页如图2-19所示，在已知点A（20，20，10）的三面投影图上，作点B（30，10，0）的三面投影图，并判断两点在空间的相对位置。三、点的投影图2-19点A的三面投影图分析：点B的z坐标为0，说明点B属于H面，点B的V面投影b′一定在OX轴上，W面投影b″一定在轴上。【例2-3】第67页如图2-19所示，在已知点A（20，20，10）的三面投影图上，作点B（30，10，0）的三面投影图，并判断两点在空间的相对位置。三、点的投影图2-20点A和点B的三面投影图作图步骤：（1）如图2-20所示，在OX轴上由点O向左量取30mm，得到点b′，由点b′向下作垂线并取，得到点b。（2）根据作出的点b和点b′，即可求得第三投影点b″。应注意，点b″一定在轴上，而不在轴上。【例2-3】第68页如图2-19所示，在已知点A（20，20，10）的三面投影图上，作点B（30，10，0）的三面投影图，并判断两点在空间的相对位置。三、点的投影图2-20点A和点B的三面投影图作图步骤：（3）判别点A和点B在空间的相对位置，即左、右相对位置：，故点A在点B右方10mm；前、后相对位置：，故点A在点B前方10mm；上、下相对位置：，故点A在点B上方10mm。因此，点A在点B的右、前、上方各10mm处。第69页课堂训练在学习完本节内容之后，请你简述点的投影与直角坐标的关系？三、点的投影第70页课堂小结点的三面投影点的投影规律点的投影与直角坐标的关系两点的相对位置1.两点在空间的相对位置比较2.重影点及可见性判断点的投影三、点的投影四、直线的投影直线的三面投影各种位置直线的投影直线上点的投影两直线的相对位置1．直线的三面投影第72页四、直线的投影直线的投影一般仍为直线，特殊情况时可积聚为一点。如图2-21所示，直线AB在H面上的投影为直线ab；直线CD平行于投射线，其在H面上的投影cd积聚为一点。图2-21直线的投影1．直线的三面投影第73页四、直线的投影直线的三面投影可由直线上两点的同面投影来确定。在三个投影面中，将同面投影上的投影点用粗实线连接起来，即可得到直线的三面投影，如图2-22所示。图2-22直线的三面投影（a）（c）（b）点击此处返回上一页

点击此处播放动画【图2-22动画】2．各种位置直线的投影第74页1）一般位置直线四、直线的投影在三投影面体系中，按直线与投影面的相对位置不同，直线可分为一般位置直线和特殊位置直线。

点击此处播放动画【图2-22动画】对三个投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线。如图2-22所示，一般位置直线的投影特性有以下几点。直线和投影面的夹角称为直线对投影面的倾角。直线对H面、V面、W面的倾角分别以α、β、γ表示，如图2-22（a）所示。点击此处跳转至图2-22点击此处跳转至图2-22（1）一般位置直线的各面投影都与投影轴倾斜。（2）一般位置直线的各面投影长度均小于实长。（3）一般位置直线的各面投影与投影轴的夹角不反映空间直线与投影面的夹角。2．各种位置直线的投影第75页2）特殊位置直线四、直线的投影与投影面平行或垂直的直线称为特殊位置直线，因此特殊位置直线可分为投影面平行线和投影面垂直线两种。（1）投影面平行线。平行于某一个投影面且与其他两个投影面都倾斜的直线称为投影面平行线。其中，平行于H面的直线称为水平线，平行于V面的直线称为正平线，平行于W面的直线称为侧平线。投影面平行线的投影特性如表2-4所示。名称水平线

（平行于H面，与V、W面倾斜）正平线

（平行于V面，与H、W面倾斜）侧平线

（平行于W面，与H、V面倾斜）立体图表2-4投影面平行线的投影特性2．各种位置直线的投影第76页2）特殊位置直线四、直线的投影（1）投影面平行线。投影面平行线的投影特性如表2-4所示。名称水平线

（平行于H面，与V、W面倾斜）正平线

（平行于V面，与H、W面倾斜）侧平线

（平行于W面，与H、V面倾斜）投影图表2-4投影面平行线的投影特性（续表）2．各种位置直线的投影第77页2）特殊位置直线四、直线的投影名称水平线

（平行于H面，与V、W面倾斜）正平线

（平行于V面，与H、W面倾斜）侧平线

（平行于W面，与H、V面倾斜）投影特性①H面投影

②V面投影

，W面投影

，都不反映实长③ab与OX轴、OYH轴的夹角β、γ等于AB对V、W面的倾角①V面投影

②H面投影

，W面投影

，都不反映实长③

与OX轴、OZ轴的夹角α、γ等于CD对H、W面的倾角①W面投影

②H面投影

，V面投影

，都不反映实长③

与

轴、OZ轴的夹角α、β等于EF对H、V面的倾角小结：①在所平行的投影面上的投影反映实长②其他两面投影平行于相应的投影轴③反映实长的投影与投影轴所夹的角度，等于空间直线对相应投影面的倾角（续表）（1）投影面平行线。投影面平行线的投影特性如表2-4所示。表2-4投影面平行线的投影特性2．各种位置直线的投影第78页2）特殊位置直线四、直线的投影（2）投影面垂直线。若空间一直线垂直于某一个投影面，则该直线必定平行于另外两个投影面，这样的直线称为投影面垂直线。其中，垂直于H面的直线称为铅垂线，垂直于V面的直线称为正垂线，垂直于W面的直线称为侧垂线。投影面垂直线的投影特性如表2-5所示。名称铅垂线

（垂直于H面，平行于V、W面）正垂线

（垂直于V面，平行于H、W面）侧垂线

（垂直于W面，平行于W、V面）立体图表2-5投影面垂直线的投影特性2．各种位置直线的投影第79页2）特殊位置直线四、直线的投影（2）投影面垂直线。投影面垂直线的投影特性如表2-5所示。名称铅垂线

（垂直于H面，平行于V、W面）正垂线

（垂直于V面，平行于H、W面）侧垂线

（垂直于W面，平行于W、V面）投影图表2-5投影面垂直线的投影特性（续表）2．各种位置直线的投影第80页2）特殊位置直线四、直线的投影名称铅垂线

（垂直于H面，平行于V、W面）正垂线

（垂直于V面，平行于H、W面）侧垂线

（垂直于W面，平行于W、V面）投影特性

H面投影a（b）积聚成一点

，且

、

①V面投影

积聚成一点②

，且

、

①W面投影

积聚成一点②

，且

、

小结：①在所垂直的投影面上的投影有积聚性

②其他两面投影反映实长，且垂直于相应的投影轴（续表）表2-5投影面垂直线的投影特性（2）投影面垂直线。投影面垂直线的投影特性如表2-5所示。3．直线上点的投影第81页1）从属性四、直线的投影直线上点的投影具有从属性和定比性。直线上任意一点的投影必在该直线的同面投影上。反之，如果一点的三面投影中只要有一面投影不在该直线的同面投影上，则该点不在该直线上。如图2-23所示，若点，则必有、、。（a）（b）图2-23直线上点的投影3．直线上点的投影第82页1）从属性四、直线的投影直线上点的投影具有从属性和定比性。如图2-24（a）所示，已知直线AB的三面投影和属于直线AB的点C的H面投影c，求点C的V面投影和W面投影，作图情况如图2-24（b）所示。（a）（b）图2-24直线上点的投影作图

点击此处播放动画【图2-24动画】3．直线上点的投影第83页2）定比性四、直线的投影直线上点的投影具有从属性和定比性。（a）（b）图2-23直线上点的投影直线上的点将直线按一定比例进行分割，分割后各分割线段的长度之比与各分割线段投影的长度之比相等。如图2-23所示，。4．两直线的相对位置第84页四、直线的投影空间两直线的相对位置平行相交交叉共面直线异面直线4．两直线的相对位置第85页四、直线的投影1）两直线平行两直线平行的投影规律如下。（1）如果两直线平行，则它们的各组同面投影一定相互平行。反之，若空间两直线的同面投影均相互平行，则该两直线一定为平行关系。（2）如果两直线平行，则它们的长度之比等于它们同面投影的长度之比。如图2-25所示，直线AB与直线CD平行，则、、

，且。图2-25平行两直线的投影（a）（b）4．两直线的相对位置第86页四、直线的投影2）两直线相交如果空间两直线相交，则它们的同面投影一定相交，且其交点符合直线上点的投影规律。反之，如果空间两直线的同面投影都相交，并且交点的投影符合直线上点的投影规律，则这两条直线一定相交。如图2-26所示，直线AB和直线CD相交于点K，则其投影ab与cd相交于点k，与相交于点，与相交于点，并且点k、、符合直线上点的投影规律。（a）（b）图2-26相交两直线的投影4．两直线的相对位置第87页四、直线的投影3）两直线交叉如果空间两直线既不平行也不相交，则两直线交叉。交叉两直线的同面投影可能有一组、两组或三组分别相交，但其交点的投影并不符合直线上点的投影规律。反之，如果空间两直线的同面投影既不符合两直线平行的投影规律，也不符合两直线相交的投影规律，则这两直线一定交叉。如图2-27（a）所示，直线AB和CD交叉，则这两条直线的V面投影和H面投影均相交。但V面投影中的交点与H面投影中的交点并非同一点，如图2-27（b）所示。（a）（b）图2-27交叉两直线的投影

点击此处播放动画【图2-27动画】第88页课堂训练在学习完本节内容之后，请你简述各种位置直线的投影？四、直线的投影第89页课堂小结直线的三面投影各种位置直线的投影1.一般位置直线2.特殊位置直线直线上点的投影1.从属性2.定比性两直线的相对位置1.两直线平行

2.两直线相交3.两直线交叉直线的投影四、直线的投影五、平面的投影平面的表示方法平面图形的投影各种位置平面的投影属于平面的直线和点1．平面的表示方法第91页由初等几何知识可知，不在同一直线上的三点可以确定一平面，该条件根据几何原理还可转换为一直线及直线外一点、相交两直线、平行两直线或任意一平面图形等。因此，可以用下列任意一组几何元素的投影表示平面的投影。五、平面的投影图2-28平面的表示方法（1）不属于同一直线的三点，如图2-28（a）所示。（2）一直线和不属于该直线的一点，如图2-28（b）所示。（a）（b）1．平面的表示方法第92页由初等几何知识可知，不在同一直线上的三点可以确定一平面，该条件根据几何原理还可转换为一直线及直线外一点、相交两直线、平行两直线或任意一平面图形等。因此，可以用下列任意一组几何元素的投影表示平面的投影。五、平面的投影图2-28平面的表示方法（3）相交两直线，如图2-28（c）所示。（4）平行两直线，如图2-28（d）所示。（c）（d）1．平面的表示方法第93页由初等几何知识可知，不在同一直线上的三点可以确定一平面，该条件根据几何原理还可转换为一直线及直线外一点、相交两直线、平行两直线或任意一平面图形等。因此，可以用下列任意一组几何元素的投影表示平面的投影。五、平面的投影（5）任意一个平面图形，如三角形、圆及其他图形，如图2-28（e）所示。图2-28平面的表示方法（e）2．平面图形的投影第94页众所周知，平面图形是由一些线段及其交点组成的。因此，这些线段投影的集合，即为该平面图形的投影。作平面图形的投影，实质上可归结为先作平面图形各顶点的投影，然后将各顶点的同面投影依次连接起来，所得图形即为平面图形的投影，如图2-29所示。五、平面的投影图2-29平面图形的投影（c）（b）（a）3．各种位置平面的投影第95页在三投影面体系中，按平面与投影面的相对位置不同，平面可分为一般位置平面和特殊位置平面。五、平面的投影图2-29平面图形的投影（c）（b）（a）1）一般位置平面对三个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面。如图2-29所示，△ABC为一般位置平面。由于△ABC对三个投影面都倾斜，所以各面投影虽然仍是三角形，但都不反映实形，而是与原平面图形边数相同的类似形。3．各种位置平面的投影第96页五、平面的投影表2-6投影面平行面的投影特性2）特殊位置平面与投影面平行或垂直的平面称为特殊位置平面，因此特殊位置平面可分为投影面平行面和投影面垂直面两类。（1）投影面平行面。若空间一平面平行于一个投影面，则该平面必与另外两个投影面都垂直，这样的平面称为投影面平行面。其中，平行于H面的平面称为水平面，平行于V面的平面称为正平面，平行于W面的平面称为侧平面。投影面平行面的投影特性如表2-6所示。名称水平面（平行于H面）正平面（平行于V面）侧平面（平行于W面）立体图3．各种位置平面的投影第97页五、平面的投影表2-6投影面平行面的投影特性2）特殊位置平面（1）投影面平行面。投影面平行面的投影特性如表2-6所示。名称水平面（平行于H面）正平面（平行于V面）侧平面（平行于W面）投影图（续表）3．各种位置平面的投影第98页五、平面的投影名称水平面（平行于H面）正平面（平行于V面）侧平面（平行于W面）投影特性①H面投影反映实形②V面投影积聚成一条线段，且平行于OX轴③W面投影积聚成一条线段，且平行于

轴①V面投影反映实形②H面投影积聚成一条线段，且平行于OX轴③W面投影积聚成一条线段，且平行于OZ轴①W面投影反映实形②H面投影积聚成一条线段，且平行于

轴③V面投影积聚成一条线段，且平行于OZ轴小结：①在所平行的投影面上的投影反映实形②其他投影为有积聚性的线段，且平行于相应的投影轴表2-6投影面平行面的投影特性2）特殊位置平面（1）投影面平行面。投影面平行面的投影特性如表2-6所示。（续表）3．各种位置平面的投影第99页五、平面的投影表2-7投影面垂直面的投影特性2）特殊位置平面（2）投影面垂直面。垂直于一个投影面且与另外两个投影面都倾斜的平面称为投影面垂直面。其中，垂直于H面的平面称为铅垂面，垂直于V面的平面称为正垂面，垂直于W面的平面称为侧垂面。投影面垂直面的投影特性如表2-7所示。名称铅垂面（垂直于H面）正垂面（垂直于V面）侧垂面（垂直于W面）立体图3．各种位置平面的投影第100页五、平面的投影表2-7投影面垂直面的投影特性2）特殊位置平面（2）投影面垂直面。投影面垂直面的投影特性如表2-7所示。（续表）名称铅垂面（垂直于H面）正垂面（垂直于V面）侧垂面（垂直于W面）投影图3．各种位置平面的投影第101页五、平面的投影名称铅垂面（垂直于H面）正垂面（垂直于V面）侧垂面（垂直于W面）投影特性①

H面投影积聚成一条倾斜线段②V面投影和W面投影为原形的类似形①

V面投影积聚成一条倾斜线段②H面投影和W面投影为原形的类似形①

W面投影积聚成一条倾斜线段②

V面投影和H面投影为原形的类似形小结：①在所垂直的投影面上积聚成一条与投影轴倾斜的线段②其他两面投影为原形的类似形2）特殊位置平面（续表）表2-7投影面垂直面的投影特性（2）投影面垂直面。投影面垂直面的投影特性如表2-7所示。4．属于平面的直线和点第102页五、平面的投影1）属于平面的直线直线属于平面的条件（1）一直线经过属于平面的两点（2）一直线经过属于平面的一点，且平行于属于该平面的另一直线第103页五、平面的投影【例2-4】已知平面ABC，试作出属于该平面的任一直线。方法一：如图2-30（a）所示，根据“一直线经过属于平面的两点”的条件作图，具体步骤如下。（1）任取属于直线AB的一点M，它的投影分别为m和。（2）任取属于直线BC的一点N，它的投影分别为n和。（3）连接两点的同面投影。由于点M和点N皆属于平面ABC，所以mn和所表示的直线MN必属于平面ABC。图2-30取属于平面的直线（a）第104页五、平面的投影【例2-4】已知平面ABC，试作出属于该平面的任一直线。方法二：如图2-30（b）所示，根据“一直线经过属于平面的一点，且平行于属于该平面的另一直线”的条件作图，具体步骤如下。（1）任取属于直线AB的一点M，它的投影分别为m和。（2）过点M作直线MD平行于已知直线BC，点D的投影分别为d和。（3）连接两点的同面投影，由于点M和直线BC皆属于平面ABC，且直线MD平行于直线BC，所以md和所表示的直线MD必属于平面ABC。图2-30取属于平面的直线（b）第105页五、平面的投影【例2-4】已知平面ABC，试作出属于该平面的任一直线。图2-30取属于平面的直线（b）（a）

点击此处播放动画【图2-30动画】4．属于平面的直线和点第106页五、平面的投影2）属于平面的点点属于平面的条件是：若点属于一直线，直线属于一平面，则该点必属于该平面。因此，在取属于平面的点时，应先取属于平面的直线，再取属于该直线的点。如图2-30（a）所示，在属于平面ABC的直线MN上取一点K。由于，所以根据点属于直线的特性可知，，再过作OX轴的垂线，交mn于k，则k和所表示的点K属于平面ABC。图2-30取属于平面的直线（a）第107页五、平面的投影【例2-5】如图2-31（a）所示，已知属于平面ABC的点E的V面投影和点F的H面投影f，试求它们的另一面投影。图2-31取属于平面的点（a）分析：因为点E和点F属于平面ABC，故过点E和点F各作一条属于平面ABC的直线，则点E和点F的两个投影必属于相应直线的同面投影。第108页五、平面的投影【例2-5】如图2-31（a）所示，已知属于平面ABC的点E的V面投影和点F的H面投影f，试求它们的另一面投影。作图步骤：（1）过点E作直线ⅠⅡ平行AB，即过作，再求出H面投影12；然后过作OX轴的垂线与12相交，交点即为点E的H面投影e，如图2-31（b）所示。（2）过点F和定点A作直线，即过f作直线FA的H面投影fa，fa交bc于点3，再作出其V面投影点。过f作OX轴的垂线，该垂线与的延长线相交，交点即为点F的V面投影，如图2-31（b）所示。图2-31取属于平面的点（b）第109页五、平面的投影【例2-5】如图2-31（a）所示，已知属于平面ABC的点E的V面投影和点F的H面投影f，试求它们的另一面投影。图2-31取属于平面的点（b）（a）

点击此处播放动画【图2-31动画】第110页课堂训练在学习完本节内容之后，请你简述平面的表示方法？五、平面的投影第111页课堂小结五、平面的投影平面的表示方法平面图形的投影各种位置平面的投影1.一般位置平面2.特殊位置平面属于平面的直线和点1.属于平面的直线2.属于平面的点平面的投影六、平面立体的投影分析与三视图棱柱棱锥六、平面立体的投影分析与三视图第113页绘制平面立体的投影图就是按照投影规律绘制出立体表面上所有轮廓线的投影。可见轮廓线画成粗实线，不可见轮廓线画成虚线。下面以棱柱和棱锥为例讲解平面立体的投影分析与三视图。基本体平面立体是指表面均为平面的基本体，常见的平面立体有棱柱、棱锥等；曲面立体指表面全部由曲面或由曲面和平面组成的基本体，常见的曲面立体一般为回转体，如圆柱、圆锥、球等。1．棱柱第114页棱柱是由上、下底面和若干侧面围成的平面立体，棱柱上相邻侧面的交线称为侧棱线。棱柱分为直棱柱和斜棱柱，此处仅介绍直棱柱。直棱柱的上、下底面是全等且互相平行的多边形，这两个多边形决定棱柱的形状。因此，上、下底面称为特征面，且直棱柱的侧面、侧棱线垂直于特征面。上、下底面为正多边形的直棱柱，称为正棱柱。如图2-32所示，正六棱柱的上、下底面是全等且互相平行的正六边形，六个矩形侧面和六条侧棱线都垂直于正六棱柱的上、下底面。六、平面立体的投影分析与三视图图2-32正六棱柱1．棱柱第115页如图2-32所示，以正六棱柱为例进行投影分析。将正六棱柱置于三投影面体系中，为了便于作图，使正六棱柱的上、下底面（正六边形）平行于水平面，并使前后两个侧面与正面平行。可以看到，正六棱柱的一个投影为正六边形，另外两个投影为矩形，其投影特性如下。六、平面立体的投影分析与三视图图2-32正六棱柱1）棱柱的投影分析1．棱柱第116页水平投影：正六边形，反映上、下底面的实形，该正六边形的六个顶点是六条侧棱线（铅垂线）的积聚投影。正面投影：三个矩形，其中，中间矩形为前后两个侧面的重合投影，左侧矩形为左侧前后两个侧面的重合投影，右侧矩形为右侧前后两个侧面的重合投影。侧面投影：两个矩形，分别是两侧对应的左右铅垂侧面的重合投影。六、平面立体的投影分析与三视图图2-32正六棱柱1）棱柱的投影分析1．棱柱第117页在绘制棱柱的三视图时，应先作出棱柱底面多边形的水平投影（也为侧面的积聚投影），再根据三等规律完成另外两个投影。不同棱柱的三视图，其画法大致相同。下面以正六棱柱为例，分析三视图的作图步骤。六、平面立体的投影分析与三视图2）棱柱三视图的作图步骤（1）首先作出各投影轴线及45°辅助线，然后作正六棱柱的对称中心线和底面基线，以确定各视图的位置，如图2-33（a）所示。图2-33正六棱柱三视图的作图步骤（a）1．棱柱第118页在绘制棱柱的三视图时，应先作出棱柱底面多边形的水平投影（也为侧面的积聚投影），再根据三等规律完成另外两个投影。不同棱柱的三视图，其画法大致相同。下面以正六棱柱为例，分析三视图的作图步骤。六、平面立体的投影分析与三视图2）棱柱三视图的作图步骤（2）首先作出反映主要形状特征的视图，即作俯视图中的正六边形，然后按照“长对正”的投影规律及正六边形的高度作出主视图，如图2-33（b）所示。图2-33正六棱柱三视图的作图步骤（b）1．棱柱第119页在绘制棱柱的三视图时，应先作出棱柱底面多边形的水平投影（也为侧面的积聚投影），再根据三等规律完成另外两个投影。不同棱柱的三视图，其画法大致相同。下面以正六棱柱为例，分析三视图的作图步骤。六、平面立体的投影分析与三视图2）棱柱三视图的作图步骤（3）根据“高平齐、宽相等”的投影规律作出左视图，如图2-33（c）所示。图2-33正六棱柱三视图的作图步骤（c）1．棱柱第120页因为棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点的方法与在平面上取点相同。而且棱柱各表面均处于特殊位置，因此可利用积聚性来取点。点的可见性规定：若点所在平面的投影可见，点的投影可见；若平面的投影积聚为直线，则点的投影可见。求作棱柱表面上点的投影时，应先确定该点在棱柱的哪个表面上，然后利用棱柱表面的积聚性来作点的投影。六、平面立体的投影分析与三视图3）棱柱表面上点的投影第121页【例2-6】已知正六棱柱表面上点M的水平投影及点N的正面投影，如图2-34（a）所示，请作出这两点的另外两面投影。六、平面立体的投影分析与三视图图2-34作正六棱柱表面上点的投影（a）第122页【例2-6】已知正六棱柱表面上点M的水平投影及点N的正面投影，如图2-34（a）所示，请作出这两点的另外两面投影。六、平面立体的投影分析与三视图图2-34作正六棱柱表面上点的投影（b）作图步骤：（1）由于点M的水平投影m不可见，因此可判断该点位于正六棱柱的底面上。由于该棱柱底面的正面投影和侧面投影都具有积聚性，因此点M的正面投影和侧面投影必定在底面的同面投影上。故可根据点的投影规律作出点和点，如图2-34（b）所示。第123页【例2-6】已知正六棱柱表面上点M的水平投影及点N的正面投影，如图2-34（a）所示，请作出这两点的另外两面投影。六、平面立体的投影分析与三视图图2-34作正六棱柱表面上点的投影（b）作图步骤：（2）由于点N的正面投影不可见，因此可判断点N在铅垂侧面上。由于该棱面的水平投影积聚成直线af，因此由点向下作投影线并与直线af相交于点n，该点即为点N的水平投影。最后由点和点n可作出点，如图2-34（b）所示。2．棱锥第124页棱锥是由一个底面和若干个侧面组成的，棱锥底面为特征面，它的形状为多边形，棱锥各侧面为若干个具有公共顶点的三角形，相邻两侧面的交线称为侧棱线，常见的棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。当底面为正多边形且棱锥顶点在底面上的投影与底面正多边形的中心重合时，该棱锥称为正棱锥。六、平面立体的投影分析与三视图2．棱锥第125页如图2-35所示，以正三棱锥为例，将该正三棱锥放入三投影面体系中，使底面ABC平行于水平面，后侧面SAC垂直于侧面，另外两个侧面为一般位置平面。此时，该正三棱锥的投影特性如下。六、平面立体的投影分析与三视图1）棱锥的投影分析水平投影：等边三角形，反映正三棱锥的底面实形，三个侧面的投影表现为类似形，棱锥顶点的投影与等边三角形的中心重合。正面投影：两个三角形，即左右两个侧面的类似形。侧面投影：一个三角形，其中，后侧面积聚为靠后的一条直线段，左右两个侧面的投影仍为三角形，且相互重合。图2-35正三棱锥的投影分析2．棱锥