正弦函数、余弦函数的图象+教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

教学设计

课程基本信息学科数学年级高一学期秋季课题5.4.1正弦函数、余弦函数的图象教科书书名：普通高中教科书数学必修第一册教材出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教学目标掌握用单位圆作正弦函数图象的方法；理解正弦函数图象的形成过程；掌握余弦函数图象与正弦函数图象的关系，会用平移法作余弦函数图象；能准确识别正弦函数、余弦函数的图象特征。教学内容教学重点：用单位圆作正弦函数的图象；正弦函数、余弦函数图象的特征；余弦函数图象与正弦函数图象的平移关系。教学难点：理解用单位圆作正弦函数图象的原理；从正弦函数图象推导余弦函数图象的逻辑过程；规范绘制准确的三角函数图象。教学过程情境导入复习回顾：提问1：什么是任意角的正弦函数、余弦函数？（引导学生回忆：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则sinα=y，cosα=x，即y=sinx、y=cosx，定义域为R）。提问2：单位圆中的正弦线、余弦线是什么？（引导学生回忆：正弦线是从点P向x轴作垂线，垂足为M，有向线段MP即为正弦线，MP=sinα；余弦线是有向线段OM，OM=cosα）。引出课题：我们已经知道了正弦函数、余弦函数的定义，那么如何直观地表示这两个函数呢？这就需要画出它们的图象。今天我们就来学习“正弦函数、余弦函数的图象”。（板书课题）新知探究探究一：绘制正弦函数图象1.探究绘制y=sinx（x∈[0,2π]）图象的方法问题1：我们之前画函数图象常用什么方法？（描点法）那对于y=sinx，我们可以先计算一些关键点的坐标，再描点连线。但描点法不够精准，如何借助我们学过的三角函数线来更精准地绘制图象呢？（教师借助几何画板演示，引导学生逐步探究）步骤1：作单位圆，并将单位圆12等分（或24等分，等分越多越精准），得到对应角度：0,π步骤2：作出各等分点对应的正弦线（有向线段MP）。例如，当x=时，正弦线MP的长度为1，方向向上；当x=时，正弦线MP的长度为1，方向向下。步骤3：建立直角坐标系xOy，在x轴上取与单位圆等分对应的角度值，作为横坐标；在对应的横坐标处，作x轴的垂线，将单位圆中对应的正弦线平移到这条垂线上，得到对应的点（x,sinx）。例如，将x=对应的正弦线MP平移到x=处的垂线上，垂足为横坐标，正弦线的端点为纵坐标，得到点（,）。步骤4：将这些点用光滑的曲线连接起来，就得到了y=sinx在x∈[0,2π]上的图象。2.正弦函数图象的延伸（x∈R）问题2：当x∈R时，正弦函数y=sinx的图象是什么样的？（引导学生回忆正弦函数的周期性：sin(x+2kπ)=sinx，k∈Z）结论：由于正弦函数的周期为2π，因此将y=sinx在[0,2π]上的图象向左、向右每次平移2π个单位，就可以得到y=sinx在整个实数域上的图象，称为“正弦曲线”。3.探究“五点法”画正弦函数简图问题3：观察y=sinx在[0,2π]上的图象，哪些点是关键的？它们决定了图象的形状和位置。（引导学生观察图象，找出关键点）关键点：(0，0)，(π教师板书“五点法”画y=sinx（x∈[0,2π]简图的步骤：①列表（计算五个关键点的坐标）；②描点；③用光滑曲线连接练习：让学生快速用“五点法”画出y=sinx在[0,2π]上的简图，教师巡视指导，纠正错误。探究二：类比迁移，绘制余弦函数图象1.探究绘制y=cosx（x∈[0,2π]）图象的方法问题4：我们已经会画正弦函数的图象，如何画余弦函数y=cosx的图象呢？能否类比正弦函数的绘制方法？方法一：借助余弦线绘制（类比正弦线法）。引导学生自主探究：作单位圆，等分后作出各角度对应的余弦线（有向线段OM），将余弦线平移到对应的横坐标处，得到点（x,cosx），描点连线得到y=cosx在[0,2π]上的图象。方法二：利用诱导公式转化为正弦函数绘制。提问：我们学过的诱导公式中，cosx与sinx有什么关系？（引导学生回忆：cosx=sin(x+)）。因此，y=cosx的图象可以由y=sinx的图象向左平移个单位得到。（教师用几何画板动态演示平移过程，验证结论，突破难点）2.余弦函数图象的延伸（x∈R）由于余弦函数的周期也为2π（cos(x+2kπ)=cosx，k∈Z），将y=cosx在[0,2π]上的图象向左、向右每次平移2π个单位，得到y=cosx在R上的图象，称为“余弦曲线”。3.“五点法”画余弦函数简图问题5：类比正弦函数的“五点法”，y=cosx在[0,2π]上的五个关键点是什么？（引导学生观察图象或利用诱导公式推导）关键点：(0，1练习：让学生用“五点法”画出y=cosx在[0,2π]上的简图，教师点评。对比辨析：展示正弦曲线与余弦曲线，引导学生对比两者的相同点与不同点：相同点（周期性、值域、光滑性）；不同点（对称性、关键点坐标）。设计意图：通过从单位圆出发构建正弦函数图象，帮助学生建立三角函数与几何图形之间的直观联系，强化数形结合的思想意识。利用信息技术辅助绘图的过程体现了现代教学手段对抽象概念可视化的重要支持，使学生能够在动态生成中理解函数图象的形成机制。通过对五个关键点的识别与“五点法”的引入，突出重点、简化难点，提升学生动手作图的能力和对函数周期性特征的把握。借助诱导公式实现由正弦到余弦图象的转化，体现数学知识间的内在关联，培养学生利用已有知识推导新知的逻辑推理能力。典例分析画出下列函数的简图：(1)y=1+sinx,x∈[0,2π];(2)按五个关键点列表x0ππ3π2π−描点，并用光滑的曲线连接起来按按五个关键点列表x0ππ3π2π描点并用光滑曲线连接起来思考：你能利用函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象，通过图象变换得到y＝1＋sinx，x∈[0，2π]的图象吗？同样地，利用函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象，通过怎样的图象变换就能得到函数y=-cosx，x∈[0，2π]的图象？(1)回顾旧知：请大家注视黑板，我将画出y=sinx、y=cosx在x∈[0,2π]的简图并标注关键点位，大家快速回忆这两个函数图象的特征。(2)明确任务：接下来分为两组，第一组探究y=sinx到y=1+sinx的图象变换，第二组探究y=cosx到y=-cosx的图象变换。各组先选取x=0，π(3)成果展示：每组推选1名代表，上台展示列表、图象及总结的变换规律。(4)即时巩固：听完展示后，我们进行快速抢答，大家举手作答即可。题目求解要点①熟记y=sinx和y=cos正弦函数：(0,0),余弦函数：(0,1),②对于形如y=a+f(x)的函数，图象是将f(x)向上（a>0）或向下（a<0）平移∣a∣个单位；

③对于y=−f(x)，图象是将f(x)关于x轴对称；

④使用五点法时，先列表计算关键点坐标，再描点连线，注意曲线的光滑性和周期性趋势。课堂小