吉林省吉林市某重点学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1吉林省吉林市某重点学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为，又因为直线过点，故该直线的方程为.故选：B.2.若双曲线（，）的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，则离心率，解得，即渐近线方程为，代入可得，整理可得.故选：D.3.已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（）A.内切 B.相交 C.外切 D.外离【答案】B【解析】由题意圆：即圆：的圆心，半径分别为，圆：即圆：的圆心，半径分别为，所以两圆的圆心距满足，所以两圆的位置关系为相交.故选：B.4.若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】抛物线的准线方程为，圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为，所以，截圆所得的弦长为，故选：A.5.已知等比数列中，，且，那么的值是（）.A.15 B.31 C.63 D.64【答案】B【解析】设等比数列的公比为，由题得.所以.故选：B6.已知双曲线（）的两条渐近线为，，过双曲线右焦点且垂直于轴的直线交，分别于点，，为坐标原点，若的面积为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由双曲线方程得其渐近线方程为，由题知轴且过右焦点，令，得，.则面积，解得.双曲线（），，解得.故选：.7.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记，则为直线的斜率，故当直线与半圆相切时，斜率最小，设，则，解得或（舍去），即的最小值为.故选：C.8.定义：对任意，都有（为常数），称数列为“等和”数列.设“等和”数列的首项为，直线过定点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由直线变形得：，当时，所以直线过定点，即，由数列为“等和”数列且（为常数），所以，所以等和”数列的奇数项为1，偶数项为2，所以，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，则（）A.直线过定点B.当时，C.当时，D.当时，两直线之间的距离为1【答案】CD〖祥解〗根据给定的直线的方程，结合各选项中的条件逐一判断作答.【解析】依题意，直线，由解得：，因此直线恒过定点，A不正确；当时，直线，而直线，显然，即直线不垂直，B不正确；当时，直线，而直线，显然，即，C正确；当时，有，解得，即直线，因此直线之间的距离，D正确.故选：CD.10.公差为的等差数列的前项和为，若，则（）A. B.C.中最大 D.【答案】CD【解析】A：由，得，由，得，所以，所以，故A错误；B：由选项A的分析知，，故B错误；C：因为，，，所以数列是递减数列，其前6项为正，从第7项起均为负，故最大，故C正确；D：由选项A的分析知，，，，所以，且，即，所以，故D正确.故选：CD.11.（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则（）A.椭圆的短轴长为 B.当最大时，C.离心率为 D.的最小值为3【答案】ABD【解析】由题意知，所以．因为的最大值为5，所以的最小值为3，故D正确．当且仅当轴时，取得最小值，此时，故B正确．由B的分析，不妨令，代入椭圆方程，得．又，所以，得，所以椭圆的短轴长为，故A正确．易得，所以，故C错误．故选：ABD.三、填空题（每题5分，共4小题，共20分）12.如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，设，，，请用，，的线性组合表示______．【答案】【解析】因为即故答案为：.13.两个正数、的等差中项是，等比中项是，且，则椭圆的离心率为_______.【答案】【解析】因为两个正数、的等差中项是，等比中项是，且，则，解得，所以，故.故答案为：.14.已知P是抛物线上一动点，过点P作圆C：两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______．【答案】【解析】由题意知圆故半径为1，设则当且仅当即时，等号成立，即当时，取得最小值，且所以又所以故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.椭圆（）的左右焦点分别为，，其中，为原点．椭圆上任意一点到，距离之和为．（1）求椭圆的标准方程及离心率；（2）过点的直线交椭圆于、两点，面积为，求的方程．解：（1）由题意得，，解得，故，故椭圆的标准方程为，离心率为.（2）由题意，直线斜率不存在时，不能构成，故设直线方程为，联立得，，设，，解得或，则，所以，设到直线的距离为，则，所以，解得或，所以直线的方程为或或.或.16.已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，，（1）求数列，的通项公式；（2）令，求数列的前n项和.解：（1）设公比为，公差为，所以，解得，所以，所以，所以，解得，所以.（2）因为，所以数列的前n项和.17.如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，、分别是、的中点.若，.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：取的中点，连接，如图所示：因为分别为的中点，所以，且.又因为是的中点，所以，.所以，，则四边形为平行四边形，即.因为平面，平面，，所以平面.（2）解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系.，，则，，，，，，，，.设平面的法向量，则，即，设，则.又，则点到平面的距离.（3）解：由（2）知平面的法向量，，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知数列和，数列的前n项和，（），数列满足.（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前n项和；（3）若对一切恒成立，求实数m的取值范围.（1）证明：当时，；当时，.又也符合上式，所以（）.因为，所以数列是等差数列.（2）解：由，得，故，，则，两式相减得，即.（3）解：因为，当时，，即，当时，易得，所以，故是数列中的最大项，且.要使对一切恒成立，只需即可，故实数m的取值范围为.19.在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆：的右顶点，上顶点，若的离心率为，且到直线的距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，.（i）求证：为定值，并求出该定值；（ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值.（1）解：设椭圆的焦距为，因为椭圆的离心率为，所以，即，据，得，即.所以直线的方程为，即，因为原点到直线的距离为，故，解得，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）（i）证明：设直线的方程为，其中，且，即，设直线与椭圆交于点，联立方程组整理得，所以，，所以为定值，得证；（ii）解：法一：直线的方程为，令，得，故，设直线与轴交于点，直线的方程为，令，得，故联立方程组整理得，解得或0（舍），，所以的面积，由（i）可知，，故，代入上式，所以，因为点在轴下方且不在轴上，故或，得，所以，显然，当时，，当时，，故只需考虑，令，则，所以，当且仅当，，即时，不等式取等号，所以的面积的最