江苏省2025-2026学年高二上学期两校联考期中质量调研数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省2025-2026学年高二上学期两校联考期中质量调研数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的）1.直线与直线的距离为（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】由，显然与平行，所以它们的距离为.故选：D.2.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.3.直线和，若，则实数的值为（）A.或 B.C. D.或【答案】A【解析】若，则，整理得，解得或，当时，，，即，两直线平行，符合题意；当时，，即，，即，两直线平行，符合题意；综上所述，或.故选：A.4.曲线表示椭圆，则实数的取值范围为（）A. B.或C. D.【答案】B【解析】，则，解得或.故选：B.5.“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】联立方程，整理可得，当时，即，方程有一解，即只有一个公共点；当时，，解得；所以直线与双曲线只有一个公共点时，或，所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件，故选：A.6.过直线上的点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圆的圆心为，半径为,因为直线关于直线对称，则直线与直线垂直，所以直线的方程为，即，由解得，，所以点的坐标为.故选：D.7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与椭圆交于点，满足，则离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由椭圆焦距为，故，故直线经过点，若点在轴上方，有，即，又，则，此时，不符，故舍去；若点在轴下方，有，即，又，则，则，故.故选：C.8.双曲线（，）的左、右焦点为，，过的直线与C的左支交于P，Q两点，若，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】因为，故，且，故，故，根据余弦定理，，且，代入计算可得，化简可得，即，解得或（舍去）.故选：A.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）9.在平面直角坐标系中，已知点，，点M是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（）A.若，则点的轨迹是双曲线B.若，则点的轨迹是椭圆C.若，则点的轨迹是一条直线D.若，则点的轨迹是圆【答案】ACD【解析】因为，，所以，对于A：因为，所以点是以为焦点的双曲线，故A正确；对于B：因为，所以点的轨迹为线段，故B错误；对于C：设，则，因为，所以，整理得，所以点的轨迹是一条直线，故C正确；对于D：因为，即，所以点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，故D正确.故选：ACD.10.已知双曲线：（，）的离心率为，焦距为，直线与双曲线交于、两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（）A.若，则B.若，则C.若，则D.【答案】ABD【解析】设双曲线的右焦点为，因为直线过原点，所以为平行四边形，对于A：因，所以为矩形，所以，故A正确；对于B：若，由渐近线性质可知：，所以，故B正确；对于C：，由渐近线的性质可知，在中，，故C错误；对于D：，故D正确故选：ABD.11.已知圆，圆，直线，直线与圆相交于A，B两点，则以下选项正确的是（）A.若时，圆与圆有两条公切线B.若时，两圆公共弦所在直线的方程为C.弦长的最小值为D.若点，则的最大值为【答案】BCD【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，对于A，当时，，圆与圆相内切，有一条公切线，A错误；对于B，当时，，圆与圆相交，两圆方程相减得，即，B正确；对于C，直线恒过定点，，点在圆内，当时，取得最小值，C正确；对于D，令弦的中点为，线段的中点为，当与点都不重合时，，有，当与点之一重合，上式成立，则，因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，，而，因此的最大值为，D正确.故选：BCD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.抛物线的准线方程是______.【答案】【解析】由得抛物线方程为，所以，所以抛物线的准线方程是，故答案为：.13.椭圆的左焦点为F，直线x=t与椭圆相交于点M，N，当的周长最大时，的面积是___________.【答案】【解析】设椭圆的右焦点为，则，当且仅当三点共线时等号成立，所以的周长，此时，所以此时的面积为.故答案为：.14.已知双曲线的左右顶点分别为、，点是圆上不同于、两点的一动点，直线与双曲线交于点，若直线斜率的取值范围是，则的斜率的取值范围是_____.【答案】【解析】由题可知，，设，则，，所以．因为，所以，即①因为点在圆上，所以，所以．②又，结合①②可知，．因为，所以．故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知两直线，.（1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；（2）已知两点，，判断直线与以，为直径的圆的位置关系；解：（1）解方程组，得，即直线的交点坐标为，因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率为，所以所求直线方程为，即.（2）因为，，所以圆心坐标为，半径，因为圆心到直线的距离，，所以圆与直线相离.16.已知圆过点，且与直线相切于点.（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交于，两点，若为直角三角形，求直线的斜率；解：（1）直线的斜率为，依题意，圆与直线相切于点，所以过且与垂直的直线斜率为，方程为，即.设圆心，由，得，平方后解得，故圆心，半径，圆的方程为.（2）因为直角三角形且，故圆心到直线的距离.设直线的斜率为，方程为，由点到直线的距离公式，解得.17.已知动点P到定点的距离与到直线的距离之差为1（P不在直线l左侧）.过点F作直线m与动点P的轨迹交于A、B两点，点C位于轨迹上异于A、B的一点，且点C到直线AB的距离为.（1）求动点P的轨迹方程；（2）求面积的最小值.解：（1）设点，由动点P到定点的距离与到直线的距离之差为1，所以，因为P不在直线l左侧，所以，所以，所以，所以，所以，所以动点P的轨迹方程为.（2）当过点的直线斜率存在时，设直线的方程为，代入方程，得，所以，整理得，因为直线与动点P的轨迹交于A、B两点，所以，设，则，所以令，所以，所以，当斜率不存在时，直线方程为，所以，此时，所以，综上所述：，所以面积的最小值为.18.椭圆的离心率为，过点的动直线与椭圆相交于，两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得线段长为.（1）求椭圆的方程；（2）已知点，过点作关于轴对称的直线，，与椭圆交于，两点，且直线不平行轴，那么直线是否过定点？若是，求出定点；若不是，说明理由.解：（1）由题意可得，则，当直线平行于轴时，，联立，则，故，解得，则，即椭圆的方程为；（2）设，若直线与椭圆仅有交点，则直线与椭圆仅有交点，且平行轴，不符，故可设直线与椭圆另一交点为，由直线，关于轴对称且直线不平行轴，则，且两直线斜率存在，设，联立，消去得，，即，有、，则，由对称性可得，若直线过定点，则定点必在轴上，令，则，故直线过定点.19.如图，双曲线：的虚轴长为2，离心率为，斜率为的直线过轴上一点.（1）求双曲线的标准方程；（2）若双曲线上存在关于直线对称的不同两点，，直线与直