江苏省连云港市2026届高三上学期期中调研考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省连云港市2026届高三上学期期中调研考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为复数，则，则的虚部为.故选：A.2.已知集合，，若，则（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】因为集合，，又因为，当即时，，不符合题意；当即时，，符合题意；则.故选：C.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】假设，，有，即充分性不成立；若，则有且，即必要性成立；综上，“”是“”的必要不充分条件．故选：B．4.若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】当时，不等式为，此时解集不为空集，不符合题意，当时，若解集为空集，则，解得，当时，此时不等式的解集一定不为空集，故不符合题意，综上可得,故选：C.5.函数的图象的对称轴方程为（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】由题意可知：图象的对称轴，就是函数的图象的对称轴，所以对称轴方程为，解得，故选：B.6.已知，且，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，，将其代入，得，展开得，整理得，又，，，所以，两边除以，得，解得．故选：D．7.已知函数，，的定义域都为，其中为奇函数，为偶函数，且，，则函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】是奇函数，所以，又由，得①，因为是偶函数，所以，又由，得②，联立①②可解得，所以，令，解得或，当时，，且，故，单调递增；当时，，故，单调递减；因此，在处取得极大值，也是最大值，．故选：D．8.已知一个红球和三个半径为3的白球，这四个球两两外切，且它们都内切于一个半径为7的黑球，则红球的表面积可以为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，作出符合题意的图形，设三个半径为3的白球的球心分别为，设红球半径为，球心为，连接，则在平面上的射影为底面正三角形的外心，可得，三棱锥为正三棱锥，侧棱，再设大球的球心为，由对称性可得，在线段上，要使大球与四个小球都内切，则，，又，，解得，则红球的表面积．故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，为两条异面直线，，为两个平面，，，，则直线（）A.可以与，都垂直 B.至少与，中一条相交C.至多与，中一条相交 D.至少与，中一条平行【答案】AB【解析】因为a，b为两条异面直线且，，，所以a与l共面，b与l共面.若l与a、b都不相交，则，与a、b异面矛盾，所以至少与，中一条相交故B对，C、D错；当a、b为如图所示的位置时，可知l与a、b都相交，直线可以与，都垂直，故A对.

故选：AB.10.在中，为的中点，为的中点，若，且的面积为，则（）A. B.C. D.的最小值为【答案】AC【解析】在中，为的中点，为的中点，所以，A选项正确；，B选项错误；因为，又因为的面积为，则，所以，C选项正确；，当且仅当时取的最小值为.故选：AC.11.已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于任意的正整数，则（）A. B.是极大值点C. D.【答案】BCD【解析】的极值点为在上的变号零点.即为函数与函数图像在交点的横坐标.又注意到时，，时，，，时，.据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示.对于A，由图像可知，则，故A错误；对于B，注意到时，，，.结合图像可知当当是函数的极大值点，是函数的极小值点，故B正确，对于C,表示两点与间距离，由图像可知，随着n的增大，两点间距离越来越近，即为递减.故，化简可得，故C正确；对于D，由于，故因此，且，故，由于为单调递减函数，为单调递增函数，结合为单调递增函数，因此为单调递增函数，由于，可得，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某校报告厅第一排有22个座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则这个报告厅共有________个座位.【答案】820【解析】根据题意可知：报告厅的座位个数成等差数列，且，故，故，所以座位的个数为，故答案为：820.13.设，且，则________.【答案】【解析】，又因为，所以，所以，所以，所以，所以或，所以或不合题意，所以，所以.故答案为：.14.若函数在区间上有零点，则实数的取值范围为________.【答案】【解析】函数在区间上有零点，即在上有解，又在单调递增，所以在单调递增，又时，，且，所以．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设等比数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，证明：.（1）解：由得，，两式相减得.因为数列是等比数列，所以.当时，，则，所以.综上.（2）证明：由，得.所以.由于，，所以.16.在中，，，.（1）求；（2）求的角平分线的长.解：（1）由得，由正弦定理得，即.因为，所以，又，故.（2）在中，由余弦定理，，得，解得（舍去负值），所以.在中，，则有，即，解得.17.已知多面体的底面是正方形，底面，，.（1）证明：平面平面；（2）设.（i）当时，求直线与平面所成角的正弦值；（ii）若二面角的大小为，求的值.（1）证明：底面为正方形，得.因为底面，面，得.又，平面，平面，得平面，由平面，所以平面平面；（2）解：以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由得，，，，，（i）当时，，，，，设平面的法向量为，由得不妨取，则，从而平面的一个法向量为.设直线与平面所成的角为，则，直线与平面所成角的正弦值为.（ii）由，得，，由（1）知，.设平面的法向量为，由得，不妨取，则，，所以平面的一个法向量为.则，又因为二面角的大小为135°，所以，化简得，得或.18.已知椭圆：的焦距为2，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）若，是椭圆上的两个点，且，证明：为定值；（3）将椭圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线.若点，点，在曲线上，且，求的最大值.（1）解：由题意得解得所以椭圆的方程为.（2）证明：当直线或其中一条斜率不存在时，.当直线，斜率存在且均不为0时，设直线：，，由得，所以.同理可得，所以.综上，.（3）解：法一：设曲线上任意一点坐标为，对应椭圆上点坐标为，则代入中得：.设的中点为，因为，所以所以，即.所以.法二：设曲线上任意一点坐标为，对应椭圆上点坐标为，则代入中得：.设原点到直线，的距离分别为，，则..所以，当且仅当时取得等号.即的最大值为.19.已知函数，直线：.（1）若直线与曲线相切，求实数的值；（2）证明：对于，，使得当时，直线恒在曲线上方；（3）若直线与曲线有三个不同的交点，且从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，证明：.（1）解：设直线与曲线相切于点，，令，得或2.故切点为或，切线方程为或，即或.（2）证明：由得，当，递减，有，当，递增，有，当，递减，有.若，取，当时，结合函数单调性可知，若，取，下面证明不等式，先证明如下不等式：当，有，令，，当，递减，