江苏省南京市五校共同体2025-2026学年高二上学期10月质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南京市五校共同体2025-2026学年高二上学期10月质量检测数学试题一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.若，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】，，在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D.2.已知直线l上的一点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为（）A. B.- C.2 D.-2【答案】B【解析】设点是直线上的一点，将点右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点仍在该直线上，则直线的斜率．故选：B．3.已知，且夹角为，则（）A.8 B.12 C. D.2【答案】C【解析】.故选：C.4.抛物线的焦点到准线的距离是（）A.2 B.4 C. D.【答案】D【解析】试题分析：因为抛物线方程可化为，所以抛物线的焦点到准线的距离是，故选D.考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的几何性质.5.已知的斜边，，现将绕边旋转至的位置，使，则所得四面体外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，为等边三角形，为直角三角形，斜边为，，，，平面，平面；取中心，设四面体的外接球球心为，则平面，取中点，连接，平面，平面，，，，又，四点共面，，四边形为平行四边形，；，，，，，，，，四面体外接球的表面积.故选：A.6.已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设椭圆左焦点为，连接、，由、关于原点对称，可知四边形为平行四边形，又，故，即平行四边形为矩形，因此，，在中，，设，则，，由椭圆的定义，，又，故，即，将代入，得，故离心率.故选：B.7.若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段的垂直平分线的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由条件可知，，，且，两式相加得，即，得，点是直线和的交点，所以，所以点满足直线，即直线方程为，，与直线垂直的直线方程的斜率为，所以中垂线方程为，整理为.故选：A.8.如图所示，双曲线型冷却塔的外形，是离心率为2的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，已知该冷却塔的上口半径为，下口半径为，高为（数据以外壁即冷却塔外侧表面计算），则冷却塔的最小直径为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设双曲线方程，由离心率为可知：，则，即，再由题意知，，代入双曲线方程得：，，由高为可得：，平方得：，即，由图可得冷却塔的最小直径为，故选：C.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.9.下列式子化简正确的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，D正确.故选：BCD.10.已知圆和直线，则下列说法正确的是（）A.当时，直线被圆截得的弦长为B.当时，圆上到直线的距离为的点有个C.当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积最小值为D.当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线恒过定点【答案】ACD【解析】由圆知：圆心，半径；对于A，当时，圆心到直线的距离，直线被圆截得的弦长为，A正确；对于B，当时，圆心到直线的距离，，圆上到直线的距离为的点有个，B错误；对于C，为圆的两条切线，，，，，，当时，取得最小值，四边形面积的最小值为，C正确；对于D，设是圆上一点，圆方程可整理为：；当或时，在处切线的斜率为，在处切线方程为：，又，整理可得该切线方程为：；当或，在处切线满足方程；综上所述：在圆上一点处的切线方程为；设，则直线，直线，设，则，坐标满足方程，即直线方程为：；为直线上的动点，，直线，整理可得：，令，解得：，直线恒过定点，D正确.故选：ACD.11.已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，点，若，则（）A.直线的斜率为B.C.D.【答案】AD【解析】对于A，作，垂足为，设，，，又，，，，，，即直线斜率为，A正确；对于B，由A可设直线，即，由得：，，，，又，，即，，即，，解得：或，又，，即，，B错误；对于C，，，由B知：，，，，，，，，C错误；对于D，，D正确.故选：AD.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.直线，若，则实数的值为__________.【答案】或【解析】由于，所以，解得或.故答案为：或.13.在中，已知，.若最长边的长为，则最短边的长为__________.【答案】〖祥解〗根据同角三角函数关系和两角和差正切公式可求得和，由此可确定最长边和最短边，利用正弦定理可求得结果.【解析】，，，，；，又，，为最大角，则，又，，即最短边为，由正弦定理得：，即最短边的长为.故答案为：.14.有同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点的距离之和､距离之差的绝对值､距离之商为常数分别对应的轨迹为椭圆､双曲线､圆，那么距离之积为常数的点的轨迹是什么？又具备哪些性质呢？老师告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的“卡西尼卵形线”.假设是平面直角坐标系内的两个定点，满足的动点的轨迹为曲线，动点的横坐标的取值范围是__________，的面积的最大值为__________.【答案】①.②.【解析】令，则，，则，令，则，，令，则的对称轴为，在上单调递增，要使得在有解，只需，，解得：，动点的横坐标的取值范围为；（当且仅当时取等号），，，，，即面积的最大值为.故答案为：；1.四､解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.江苏农科所在同一块试验田种植了两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取100份，每份含1千粒小麦，测量其重量，按分为6组（每份重量均在内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立.（1）求的值及品种小麦千粒重的中位数；（2）用频率估计概率，从两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量至少有一个不低于45g的概率.解：（1）根据题意可得，解得；因为品种小麦的前几组频率依次为，所以品种小麦的中位数在内，且为.（2）法一：设事件分别表示从两个品种中取出的小麦的千粒重不低于，则，事件表示两个样本小麦的千粒重至少有一个不低于，则又相互独立，所以.法二：设事件分别表示从两个品种中取出的小麦的千粒重不低于则，事件表示两个样本小麦的千粒重至少有一个不低于又相互独立，所以相互独立，，.16.设，圆的圆心在轴的正半轴上，且过中的三个点.（1）求圆的方程；（2）若圆上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围.解：（1）若圆经过，则圆心必在的垂直平分线上，不符合圆心在轴正半轴，所以圆不可能同时过点，同理，圆不可能同时过点，所以圆不经过点，只能过点三点.的中垂线方程为，整理得：，的中垂线方程为，联立方程组解得所以圆心为，圆心到点的距离为半径2，所以圆的方程为.（2）设存在点，因为，所以有，化简得，所以，且满足这个方程的点可以理解为一个圆上的点，而点又在圆上且有两个点，所以这两个圆应该是相交，此两圆的圆心分别为和，所以圆心距为，而两圆的半径分别为和2，则有，解得.17.已知和为椭圆上两点.（1）求椭圆离心率；（2）若过的直线交于另一点，且的面积是3，求的方程.解：（1）由题意，，将代入椭圆方程，得，即，故椭圆方程为：，所以离心率.（2）直线斜率，其方程为，即，设点到直线的距离为，而，由，解得，则，整理得或，由，解得或，而无解，当时，此时方程为：，即，当时，此时方程为：，即.18.如图一，四边形是边长为的菱形，，，，分别为的中点，将沿边折起，使，连接，如图二.注意：1.请在答题纸上留下必要作图痕迹；2.本题若使用空间向量解题，将不得分.（1）证明：；（2）求直线和所成角的余弦值；（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.（1）证明：连接，分别为的中点，，，，；四边形为边长为的菱形，，为等边三角形，；平面，，平面，平面，.（2）解：连接，交于点，连接，四边形为菱形，为中点，又为中点，，，和所成角即为（或其补角）；在中，，，又，，，即直线和所成角的余弦值为.（3）解：存在点，当时，平面，证明如下：设与交于点，连接，四边形为菱形，为中点，，，，，当时，，平面，平面，平面19.如图，曲线是以原点为中心，为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为顶点，为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点.（1）求曲线和所在的椭圆和抛物线的方程；（2）过点作一条与轴不