江苏省南通市启东市2026届高三上学期11月期中调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南通市启东市2026届高三上学期11月期中调研测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故选：B.2.已知函数的导函数为，且，则（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】函数，求导得，所以.故选：C.3.满足的集合的个数是（）A.2 B.16 C.7 D.8【答案】D【解析】当中只有一个元素时，；当中只有两个元素时，或或；当中只有三个元素时，或或；当中只有四个元素时，，所以满足要求的的个数为8个.故选：D.4.用清水漂洗衣服，每次能洗去污垢的，若要使存留的污垢不超过原来的二百分之一，则至少需要漂洗的次数是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】经过第一次漂洗，污垢存留量为污垢总量的；经过第二次漂洗，污垢存留量为第一次漂洗后的，也就是原来的；经过第三次漂洗，存留量为原来的，…，经过第x次漂洗，存留量为原来的.则，注意到，则至少需要漂洗的次数是4.故选：C.5.若函数的图象向右平移个单位长度之后得到的图象关于原点对称，则实数的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得关于对称，所以，整理得，因为，所以当时取得最小值，为.故选：B.6.若曲线有两条过点的切线，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设切点坐标为，，所以斜率，则切线方程为，又在切线上，所以因为曲线有两条过的切线，所以方程有两个解，整理得，所以，解得或.故选：D.7.在中，已知，点在边上且．若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题，且为锐角，则，又，则，..由正弦定理，，，则，则.故选：B8.设双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与交于，两点，且，则的离心率为（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】设双曲线的右焦点为，根据双曲线的对称性得到，，由双曲线的定义得，所以，在中，由余弦定理得，整理得，所以.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】，即，解得，当且仅当时等号成立，故A错；可整理为，，当且仅当，即时等号成立，故B正确；当，时，，故C错；，当且仅当时等号成立，故D正确.故选：BD.10.设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（）A.B.的面积是C.直线与的外接圆相切D.是钝角三角形【答案】ABD【解析】由直线方程，令，得，由题意，所以，即，A正确，抛物线方程为，准线为，由，消去并化简得，，不妨设，，，解得或，所以，又坐标原点到的距离为，所以的面积是，B选项正确.，设的外接圆方程为，则，解得：，即圆的方程为，联立，得，，即直线与的外接圆相离，C选项错误.因为，所以，由余弦定理知：为钝角，所以三角形是钝角三角形，D选项正确.故选：ABD.11.若存在实数，使得对于，，则的值可以取（）A. B. C.e D.2e【答案】BC【解析】时，，不满足区间的要求，故A错；设，，当为的一个零点时，，将代入中，恰好，此时，，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，上单调递增，又，单调递增，所以当时，，，满足乘积小于零；当时，，，满足乘积小于零，所以可以取内的数，故BC正确；当时，，所以，解得，由上述可知，当时，，所以，故D错.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知定义在上的函数满足①；②．写出一个满足条件的的解析式___________．【答案】【解析】因，可设，由，可得，则可取.故答案为：（答案不唯一，满足题意即可）.13.某人打算用A型材料制作一个近似于球形的热气球，半径为，则大约需要_________的材料．若A型材料的价格为200元，根据需求气球半径要增加，则所需费用需增加___________元．（的近似值取3.14）【答案】①.；②.【解析】第一空，因半径为，则需要的材料；第二空，由题新气球需要的材料有：，则增加材料有：，则所需费用增加元.故答案为：；.14.在锐角中，分别是角的对边，且，则的最小值是___________．【答案】【解析】对两边同乘得，由正弦定理得，因为，所以，因为为锐角三角形，所以，所以，解得，，令，则，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在平面直角坐标系中，已知圆，经过点的直线与圆交于两点．（1）若，求直线的方程；（2）求的面积的最大值．解：（1）因为圆，所以，所以圆的圆心为，半径为.设圆心到直线的距离为，则，所以.当直线的斜率不存在时，，此时当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则，所以，所以，所以，即，综上可知：直线的方程为或.（2）的面积，由的性质可知，所以，当且仅当时，即时等号成立，所以的面积的最大值是.16.在中，已知．（1）求角；（2）求的值．解：（1）由诱导公式及两角和的正切公式，，则，从而；（2）设，则，由余弦定理，.，，又，，则；，，又，，则.由（1）结合正弦定理，.则.即的值为.17.如图，在几何体中，四边形是正方形，是等边三角形，，平面平面，中边上的高为，且．（1）证明：平面；（2）求几何体的体积；（3）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：因为四边形是正方形，所以，又因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，因为，所以平面.（2）解：连接和，则几何体的体积等于,因为平面，所以是三棱锥的高，所以，因为中边上的高为，且，所以，又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又因为，所以是四棱锥的高，所以，所以几何体的体积等于.（3）解：以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，如图所示，则，，所以．因为，，，可得，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，所以，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．18.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率是，其上顶点与右顶点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）若点为椭圆上的点，直线分别与直线交于两点，记的面积分别为．①若，，求；②若，求．解：（1）设椭圆的焦距为，因为椭圆的离心率是，所以，所以，又因为，所以.因为椭圆的上顶点与右顶点的距离为，所以，所以，所以椭圆的方程是.（2）①因为，且，所以由对称性不妨设，则直线，令，得．所以.②.由得，由得，因为，，所以.因为，所以，所以，所以，所以，所以.19.已知函数的导函数．（1）求的最大值；（2）当时，若是曲线在点处的切线方程．①证明：对于定义域内任意成立；②设过点的直线与直线垂直，，与轴的交点分别为，，表示的面积．是否存在实数，满足？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．（1）解：令，得，令，得，得；当时，，所以

在单调递增；当

时，，所以

在单调递减。因此，是极大值点，所以，所以的最大值为；（2）①证明：由题意可得令，