江苏省无锡市2026届高三上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省无锡市2026届高三上学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为（）A.3 B.1 C.－1 D.－3【答案】A【解析】因为，且的实部与虚部相等，故，解得，故选：A.2.已知集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以或，又，所以.故选：D.3.已知，命题是一元二次方程的一个根，命题，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】对于命题，为方程的根，则，充分性成立；对于命题，且，则必是题设方程的一个根，必要性成立；所以是的充分必要条件.故选：C.4.在中，是的中点，是的中点．若，则（）A.3 B. C.2 D.【答案】B【解析】，所以，所以.故选：B.5.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（）A.－3 B.3 C. D.【答案】C【解析】由题意知函数是定义在上的奇函数，故，而，故，则，故选：C.6.在数列中，，若数列是公比为2的等比数列，则（）A.2048 B.2047 C.1024 D.1023【答案】D【解析】数列是公比为2的等比数列，则有，所以，因此数列的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.故选：D.7.在四边形中，，，.若四边形的面积为，则实数的值为（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】因为，，，所以四边形为梯形，又，所以，即，所以四边形为直角梯形，则，又四边形的面积为，所以，所以，所以.故选：C.8.已知函数的三个零点为，，，且，则下列结论不正确的是（）A.在上单调递减 B.曲线是中心对称图形C.，都有 D.，都有【答案】D【解析】对A：由，则其定义域为，，则当时，恒成立，故在、、上单调递减，故A正确；对B：，又定义域为，故曲线关于点对称，即曲线是中心对称图形，故B正确；对C：由在、、上单调递减，且函数有三个零点，则，，，则，有，又，即，则，由，则，则，又，且，在上单调递减，故对恒成立，故C正确；对D：取，则，则有，，即，，此时，故D错误.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】由可知，，所以，即，故A错误；，故B正确；，所以，故C错误；，由以上可知，，，所以，即，故D正确.故选：BD.10.在直角坐标系中，已知是以为圆心的单位圆，点的坐标为，角的始边为射线，终边交圆于点，过点作直线的垂线，垂足为．若将点到直线的距离表示为的函数，则（）A. B.的最小正周期为C.是的一个单调减区间 D.的最大值为【答案】ACD【解析】单位圆上，为到x轴的垂足，故，直线的直线方程为，即，则点到直线的距离，对于A，，正确；对于B，因为，所以不是的周期，错误；对于C，，所以，所以，因为在单调递增，所以在单调递减，正确；对于D，，当且仅当时等号成立，正确.故选：ACD.11.设正项数列的前项和为，若，且对任意的正整数都有，，称是“数列”．下列结论正确的是（）．A.若是首项为1公差为2的等差数列，则是“3－数列”B.若是“2－数列”，则不可能存在正整数，满足C.若是“数列”，且，则的最小值是4D.任给，若，且，则是“数列”【答案】ABC【解析】对于A，若是首项为1公差为2的等差数列，则，所以，，，所以，所以是“3－数列”，正确；对于B，若是“2－数列”，则，所以，，所以，假设时，有，则时，，所以，综上，，正确；对于C，因为，所以，，若是“数列”，则，即，所以，时，，不合题意；，时，，不合题意；，时，，不合题意；时，恒成立，所以的最小值是4，正确；对于D，，，，取，时，，不满足恒成立，错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，其中．若，则的最大值为______．【答案】【解析】由题意得，，，因为，所以，即，．所以，即，当且仅当，时等号成立.所以的最大值为.故答案为：.13.在2025年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）的一场激烈比赛中，某城市队的10号球员从点出发，以2.5米/秒的速度做匀速直线运动，到达点时，发现足球在点处正以3倍于自己的速度向点做匀速直线滚动.已知米，米，.若忽略该球员转身所需的时间，则该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为______秒．【答案】【解析】如图设在处截住足球，时间设为秒，则，，则，又，，在中，利用余弦定理可知，，则，化简得，解得或，所以该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为秒.故答案为：.14.设函数，，其中，．若，，则的最小值为______；若恒成立，则的最大值为______．【答案】①.0②.【解析】若，，则，，因为在内单调递减，且，，可知在内存在唯一零点，当时，；当时，；可知在内单调递增，在内单调递减，且，所以的最小值为0；若，即，可知当时，在直线的上方，如图所示：结合图象可得，即，可知，设，即，可得，因为该不等式组在内有解，则，解得，所以当，时，取到最大值.故答案为：0；.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角，，所对的边为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，求的值．解：（1）由正弦定理，因为，所以，所以，整理得，所以，所以或，所以或（舍去），而,，所以，所以.（2）因为，所以，所以，所以，所以.16.已知向量，，设函数．（1）若，，求的值；（2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若函数的图象关于直线对称，求在上的最大值和最小值．解：（1）因为，，所以，所以，即，因为，则，则，所以，所以.（2）由（1）知，根据三角函数的图象变换规律，将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度可得到，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）可得到，因为函数的图象关于直线对称，所以，即，因为，所以，因此，因为，所以，则，即，所以在上的最大值为1，最小值为.17.已知函数．（1）求过点且与曲线相切的直线方程；（2）令，若有两个极值点，，记过两点，的直线斜率为．是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，试说明理由．解：（1）设过点且与曲线相切的直线与切于点，由得，所以，所以切线方程为，即，该切线过点，所以，即，解得或，所以或；（2），则，由题意有两个不等的实根，，所以，即，则，所以，解得或，又，所以.18.设数列的前项和为，已知，，其中，为常数．（1）当时，若，，求数列的通项公式；（2）若．（ⅰ）证明：数列为等差数列；（ⅱ）若8，，成等比数列，当为何值时，取得最大值，请说明理由．（1）解：当时，，则，两式相减，得：．因为，所以，则，符合式，故，所以．因此当时，，累乘，得：．因为，所以，当时，，又因为满足上式，故．（2）（i）证明：因为①所以②由②－①，得：③所以④由④－③，得：，即，因此，所以，当时为等差数列．因为，又因为，解得，因此，所以为等差数列．（ii）解：因为成等比数列，所以．设等差数列的公差为，则，所以，从而，且，故等差数列是首项为正数的递减数列．由，即解得，所以，令，因此，而。所以，又所以中，最大，即当时，取得最大值．19.设，是实数，函数．（1）当时，（ⅰ）讨论函数的单调性；（ⅱ）若在上恒成立，求的值．（2）当时，证明：函数有两个极值点，且.（1）解：（i）当时，，则对于开口向下的二次函数，因为，所以必有唯一正根．因此当时，单调递增；当时，单调递减．综上：的单调增区间为，单调减区间为．（ii）在上恒成立等价于在上恒成立．注意到．则当时，，由第（i）问的单调性知在上恒成立．当时，，此时当时，单调递增