江苏省宿迁市沭阳县2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省宿迁市沭阳县2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列的通项公式可以为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对于选项A：令，可得，不合题意；对于选项B：代入检验均可，符合题意；对于选项C：令，可得，不合题意；对于选项D：令，可得，不合题意；故选：B.2.若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A.(0，＋∞) B.(0，2) C.(1，＋∞) D.(0，1)【答案】D【解析】因为方程，即表示焦点在轴上的椭圆，所以，即，所以实数的取值范围是．故选：D．3.已知，为正整数，且直线与直线互相平行，则的最小值为（）A.7 B.9 C.11 D.16【答案】B【解析】由题意，，即，∴，当且仅当，即（满足是正整数）时等号成立．∴的最小值是9．故选：B．4.已知数列{an}是等差数列，若a9+3a11＜0，a10•a11＜0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n＝（）A.20 B.17 C.19 D.21【答案】C【解析】∵数列{an}是等差数列，若a9+3a110，设公差为d，则有4a1+38d0，即2a1+19d0，故有（a1+9d）+（a1+10d）＝a10+a110，且a1﹣9.5d.再由前n项和Sn有最大值，可得数列为递减数列，公差d0.结合a10•a110，可得a10＝a1+9d0，a11＝a1+10d0，故﹣9da1﹣10d.综上可得﹣9da1﹣9.5d.令Sn0，且Sn+10，可得，且（n+1）a10.化简可得a1d0，且a1d0.即，且n.再由﹣9da1﹣9.5d，可得，∴19n19，∴n＝19，故选：C5.已知点在圆上，点，则满足的点的个数为（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】B【解析】设点，则，得，即，故点的轨迹为一个圆心为､半径为的圆，又点在圆上，两圆的圆心距为，半径和为，半径差为，有，所以两圆相交，满足这样的点有2个.故选：B.6.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A B. C. D.【答案】C【解析】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为．因为所以点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆．与因为点M在椭圆的内部，所以，所以，所以，所以，故选C．7.已知圆的方程为，直线为圆的切线，记两点到直线的距离分别为，动点满足，，则动点的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，分别过点做直线的垂线，垂足分别为，则，，切点为因为，所以是的中点，,所以是梯形的中位线，所以，又因为圆的方程为，，所以，所以，即，所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，设椭圆的方程为，则，所以，，所以动点的轨迹方程为.故选：B.8.已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可知:圆的圆心为，半径，设中点为，则，且，可得，又因为，可知为等腰直角三角形，则，可得，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，因为直线上存在点使得，即直线与圆有交点，即圆心到直线的距离，解得或.故选：A.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为B.经过点，的直线方程均可用表示C.若对空间中任意一点有，则，，，四点共面D.当点到直线的距离最大时，的值为1【答案】ABC【解析】对于A，因是直线的一个方向向量，故该直线的斜率为，故A正确；对于B，当时，经过点，的直线方程为，即；若，，则直线方程为，此时，，因为，所以，故可以用表示；若，，则直线方程为，此时，，因为，所以，故可以用表示，故B正确；对于C，因为，所以，所以，即，所以四点共面，故C正确；对于D，将直线方程变形为，由得，直线过定点，斜率为.当直线与垂直时，点到直线的距离最大.因为故，故D错误.故选：ABC.10.已知为坐标原点，过点的直线与圆交于，不同的两点，分别作圆在点，处的切线，两条切线相交于点，则下列选项正确的有（）A.当时，B.当直线的斜率为时，的面积为C.当时，的外接圆半径为D.当时，【答案】AB【解析】依题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，圆心到直线的距离为，则，对于选项A，由，，则当时，，所以，所以，即，解得，则，所以，故A正确；对于选项B，当直线的斜率为时，即直线的方程为，则，则，所以，故B正确；对于选项C，设，由，，所以，，，四点共圆，且以为直径，则该圆的方程为，即，联立，整理得直线的方程为，又点在直线上，则，解得，即点的轨迹方程为，又当时，即，解得，所以，即的外接圆半径为，故C错误；对于选项D，结合选项C有，则当时，有，又，则，所以，所以，又，即，得，故D错误．故选：AB．11.已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点为，，为椭圆上异于，的一点，过点且垂直于轴的直线与椭圆的另一个交点为，则（）A.存在点，使B.的最大值为4C.的最小值为D.当点在椭圆上运动时，的内心的轨迹方程为【答案】BCD【解析】设点，其中，由椭圆，可知，，所以，又因为，所以，所以，所以，故A错误；因为，所以，（当时等号成立），故B正确；依题意点，所以，将代入可得，因为，所以当时，取得最小值，故C正确；设的内心，点，设的内切圆分别与,，相切于点(如图所示)，因为，即，所以，又因为同号，所以.由内切圆的性质可知，，，所以，所以，即，将代入可得：又因为，所以，因为同号，所以.将与代入可得，又因为，所以，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为______．【答案】或【解析】当截距为0时，设直线的方程为，将代入得，，解得，故直线的方程为，当截距不为0时，设直线的方程为，将代入得，，解得，故直线的方程为，故直线的方程为或.故答案为：或.13.已知函数，给出三个条件：①；②；③.从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前n项和_________.【答案】或【解析】因函数，条件①，，则有，而不是常数，即数列不是等比数列；条件③，，则有，而不是常数，即数列不是等比数列；条件②，，则有，是常数，即数列是等比数列，其首项为1，公比2，所以.故答案为：.14.过椭圆的中心的直线分别交椭圆于、两点，的垂直平分线交椭圆于点，过点分别作于，于，则四边形的面积的取值范围为______【答案】．【解析】由已知，（1）若直线斜率不存在，如图1，，，，，，所以，（2）若直线的斜率为0，如图2，，，，所以，（3）若直线的斜率存在且不为0，如图3，由已知是的垂直一部分线，则，分别是边上的高，则，，所以，，设直线的方程为，，由，得，，取，即，直线的方程为，同理可得，，，，直角中，，，，因为，所以，，，即，所以，综上，，故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（1）已知直线的倾斜角为，另一直线的倾斜角，且过点，求的方程；（2）已知直线过点，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程.解：（1）直线的倾斜角，则，于是得直线的斜率，而直线过点，则，整理得，所以直线的方程是：.（2）依题意，直线的斜率存在且不为0，设其方程为：，则直线交x轴于，交y轴于，于是得面积，即或，方程，即，无解，解，即，得或，当时，直线方程是：.当时，直线方程是：，所以直线的方程是：或.16.设圆满足：①截轴所得弦长为2；②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为，假设圆心为，其坐标．（1）请求出之间满足的等量关系；（2）在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程．解：（1）设圆的圆心为，半径为，则点到轴，轴的距离分别为，．圆截轴所得劣弧对的圆心角为，即圆截轴所得的弦长为，故，又圆截轴所得的弦长为2，所以有．从而得．（2）点到直线的距离为，所以，当且仅当时上式等号成立，此时，从而取得最小值．由此有，解得或由于知．所求圆的方程是或．17.已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．（1）求的方程；（2）设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．（1）解：依题意，得，则，又分别为椭圆上下顶点，，所以，即，所以，即，则，所以椭圆的方程为.（2）证明：因为椭圆方程为，所以，因为为第一象限上的动点，设，则，易得，则直线的方程为，，则直线的方程为，联立，解得，即，而，则直线的方程为，令，则，解得，即，又，则，，所以，又，即，显然，与不重合，所以.18.已知数列{bn}的前n项和，n∈N*．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）记，求数列{cn}的前n项和Sn；（3）在（2）的条件下，记，若对任意正整数n，不等式恒成立，求整数m的最大值．解：（1）∵数列{bn}前n项和，n∈N*．∴①当n＝1时，b1＝T1＝1；②当n≥2时，bn＝Tn﹣Tn﹣1＝3n﹣2；∴bn＝3n﹣2，n∈N*．（2）由（1）可得：；∴Sn＝c1+c2+…+cn，.（3）由（2）可知：n；∴；设f（n）；则f（n+1）﹣f（n）＝（）﹣（）0.所以f（n+1）＞f（n），故f（n）的最小值为f（1）；∵对任意正整数n，不等式恒成立，∴恒成立，即m＜12；故整数m的最大值为11．19.已知曲线上任意一点满足.（1）求曲线的方程；（2）曲线上三个不同的动点P，E，F满足PE与PF的倾斜角互补，且P不与曲线的顶点重合，过点P且垂直于x轴的直线与曲线的另一个交点为Q，记线段EF的中点为H，O为坐标原点，求证：Q，H，O三点共线.（1