辽宁省沈阳市联合体2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省沈阳市联合体2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷一、选择题；本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】集合，则.故选：A.2.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若，有，则推不出成立，即充分性不成立；若，有，推不出成立，即必要性不成立；综上“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.3.不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】等价于且，得，故不等式的解集是.故选：A.4.已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表：则在上的零点个数（）A.只有1个 B.至少有2个 C.至多有2个 D.只有2个【答案】B【解析】因为函数的图象是连续不间断的，且，所以根据零点存在性定理，函数在区间上至少存在一个零点；同理，由，所以函数在区间上至少存在一个零点；因此，函数在区间上至少存在2个零点.故选：B.5.已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】命题“”是假命题，所以，解得或，即实数的取值范围为故选：D.6.已知是定义在上的偶函数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可知，，得，并且，即，解得，因此.故选：A.7.已知，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】选项A：，，即，故A错误；选项B：，，又，，即，故B错误；选项C：，，，异号，，，故C正确；选项D：，，，又，，，异号，，，故D错误．故选：C．8.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数的定义域为，即，，则的定义域为，由，得．的定义域为．故选：A．二、选择题；本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知集合，集合，则下列式子正确的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】因为集合，集合，所以或，则，，或，.故选：AD.10.下列函数中，是同一函数的有（）A.与B.与C.与D.与【答案】BD【解析】对于A，的定义域为，而的定义域为，故不是同一函数，即A错误；对于B，两函数的定义域都是，对应法则相同，值域也相同，故是同一函数，即B正确；对于C，的定义域为，而的定义域为，故不是同一函数，即C错误；对于D，两函数的定义域都是，因，则两函数的对应法则相同，值域也相同，故是同一函数，即D正确.故选：BD.11.已知，且，则下列不等式不恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】因为，，所以，化简得.对于A，因为，A不成立.对于B，因为可得，根据基本不等式，设，则，即，当且仅当时取等号，所以，B不恒成立.对于C，因为可得，根据基本不等式（当且仅当时取等号），所以，当且仅当时取等号，C不恒成立.对于D，，令，由上分析可知，所以，令，根据二次函数的性质可得，当且仅当，即时取等号，D恒成立.故选：ABC.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数有两个零点，则实数的取值范围是___________【答案】【解析】因为函数有两个零点，即有两个不同的根，所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：13.若，且恒成立，则实数的取值范围是___________【答案】【解析】因，则，则，等号成立时，因恒成立，则，故实数的取值范围是.故答案为：.14.设函数则不等式的解集是___________【答案】【解析】由可得，当时，由可得，解得，则得；当时，由可得，解得，则得.故原不等式的解集为.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，写出集合的所有子集．解：由，∴，∴，∴集合的所有子集分别为：，，，.16.已知函数是定义在上的奇函数，且．（1）求的解析式；（2）用定义判断在区间上的单调性．解：（1）由题意可知，∴，，∴，∴，∴.（2）取任意，且，，∵，∴，∵，∴，即，∴，即函数在区间上单调递增.17.为实行垃圾分类，节约使用资源，某企业拟新建一座垃圾回收处理站用于垃圾处理．已知该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理，而新建的垃圾回收处理站可使用20年．建造垃圾回收处理站的费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）成正比，比例系数约为．已知该企业每年花费的垃圾处理费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）之间的函数关系是为常数）．记该企业建造这座垃圾回收处理站的费用与建造后20年所花费的垃圾处理费用之和为（单位：万元）．（1）写出关于的函数关系式；（2）当为何值时，最小？求出的最小值．解：（1）因为该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理，即时，，所以，由题意，则建造垃圾回收处理站的费用，因为每年花费的垃圾处理费用为万元，那么20年所花费的垃圾处理费用为万元，因此.（2）因为，当且仅当，即时取等号，所以时，最小，最小值为万元.18.若存在三个函数，，，在区间上满足恒成立，则称为与在区间上的“中间函数”，为下限函数，为上限函数．已知函数为函数的一个零点．是否存在常数．使得是与在上的“中间函数”且为下限函数，为上限函数？解：假设存在常数，满足题意，则在上恒成立，由为函数的一个零点可知，即，整理得不等式组在上恒成立，对于，其要在上恒成立，显然，对于，其要在上恒成立，需，所以，①若，要满足，需，而此时，显然不恒成立，不符合题意；②若，则，，两式相加有，则，且，所以，即，符合题意；③若，此时在上恒成立，要满足，需，但此时显然不恒成立，矛盾；综上所述存在，即，符合题意.19.已知函数对任意实数，都有，且当时，．（1）证明：函数在上是增函数；（2）已知命题：对任意实数且，不等式恒成立．若命题是真命题，求实数的取值范围．解：（1）设，即，因为当时，，所以，由题意可知，即，所以