2026年中考数学模拟试卷试题汇编-轨迹

第1页（共1页）2026年中考数学模拟试卷试题汇编——轨迹一．选择题（共10小题）1．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）A．π B．22π C．2 D2．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（）A．233 B．3 C．3π63．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）A． B． C． D．4．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为（）A．2π B．22π C．24π D5．如图，AB为直径，AB＝4，C、D为圆上两个动点，N为CD中点，CM⊥AB于M，当C、D在圆上运动时保持∠CMN＝30°，则CD的长（）A．随C、D的运动位置而变化，且最大值为4 B．随C、D的运动位置而变化，且最小值为2 C．随C、D的运动位置长度保持不变，等于2 D．随C、D的运动位置而变化，没有最值6．正方形ABCD的边长为4，P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥PA交CD边于点Q．当点P从B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路程长（）A．2 B．1 C．4 D．27．如图，已知四边形ABCD是边长为3的正方形，动点P从点B出发，沿BC向终点C运动，点P可以与点B、点C重合，连接PD，将△PCD沿直线PD折叠，设折叠后点C的对应点为点E，连接AE并延长交BC于点F，连接BE，则下列结论中：①当∠PDC＝15°时，△ADE为等边三角形；②当∠PDC＝15°时，F为BC的中点；③当PB＝2PC时，BE⊥AF；④当点P从点B运动到点C时，点E所走过的路径的长为32π其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为（）A．3 B．4 C．92 D．9．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝2，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（）A．13π B．23π C．π D．10．如图，已知点A是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长为（）A．4 B．22 C．26 D．二．填空题（共5小题）11．如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB．当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是．12．如图，在等边△ABC中，AB＝10，BD＝4，BE＝2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是．13．已知边长为6的等边△ABC中，E是高AD所在直线上的一个动点，连接BE，将线段BE绕点B顺时针旋转60°得到BF，连接DF，则在点E运动的过程中，当线段DF长度的最小值时，DE的长度为．14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，则点E运动的路程长是．15．如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，则线段DP的最小值为．三．解答题（共5小题）16．如图，⊙O的半径为2，O到定点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周．（1）点P的运动路径是一个圆；（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．（1）思路引导要证点P运动的路径是一个圆，只要证点P到定点M的距离等于定长r，由图中的定点、定长可以发现M，r．17．如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，点E从点A出发，以1cm/s的速度沿着折线A→B→C运动，到达点C时停止运动；点F从点B出发，也以1cm/s的速度沿着折线B→C→D运动，到达点D时停止运动．点E、F分别从点A、B同时出发，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，E、F两点间的距离为23cm；（2）连接DE、AF交于点M，①在整个运动过程中，CM的最小值为cm；②当CM＝4cm时，此时t的值为．18．如图，在扇形AOB中，OA、OB是半径，且OA＝4，∠AOB＝120°．点P是弧AB上的一个动点，连接AP、BP，分别作OC⊥PA，OD⊥PB，垂足分别为C、D，连接CD．（1）如图①，在点P的移动过程中，线段CD的长是否会发生变化？若不发生变化，请求出线段CD的长；若会发生变化，请说明理由；（2）如图②，若点M、N为AB的三等分点，点I为△DOC的外心．当点P从点M运动到N点时，点I所经过的路径长为．（直接写出结果）19．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB＝1，BC=3，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿AE折叠，得到多边形AB′C′E，点B，C的对应点分别为点B′，C（1）如图1，当B′C′恰好经过点D时，求线段CE的长；（2）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′移动的路径长．20．如图1，图2，点O是线段AC的中点，OB⊥AC，OA＝9．（1）如图1，若∠ABO＝30°，求AB的长；（2）如图1，在（1）的条件下，若点D在射线AC上，点D在点C右侧，且△BDQ是等边三角形，QC的延长线交直线OB于点P，求PC的长度；（3）如图2，在（1）的条件下，若点M在线段BC上，△OMN是等边三角形，且点M沿着线段BC从点B运动到点C，点N随之运动，求点N的运动路径的长度．2026年中考数学模拟试卷试题汇编——答案一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BDDBCBCCBB一．选择题（共10小题）1．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）A．π B．22π C．2 D【考点】轨迹；等腰直角三角形；圆周角定理．【专题】数形结合；与圆有关的计算；运算能力．【答案】B【分析】取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB=2BC＝22，则OC=12AB=2，OP=12AB=2，再根据等腰三角形的性质得OM⊥PC，则∠CMO＝90°，于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF＝OC=【解答】解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，∵在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∴AB=2BC＝22∴OC=12AB=2，OP=∵∠ACB＝90°∴C在⊙O上，∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO＝90°，∴点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF＝OC=2∴M点的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长=12•2π•2故选：B．【点评】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆．2．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（）A．233 B．3 C．3π6【考点】轨迹；含30度角的直角三角形．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】D【分析】由AQ⊥BQ，得点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为BC，连接OC，代入弧长公式即可．【解答】解：∵AQ⊥BQ，∴点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为BC，连接OC，∵∠ACB＝90°，OA＝OB，∴CO＝OA＝1，∴∠COB＝2∠CAB＝60°，∴BC的长为60×π×1180故选：D．【点评】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，确定点Q在以AB为直径的⊙O上运动是解题的关键．3．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）A． B． C． D．【考点】轨迹；直角三角形斜边上的中线．【答案】D【分析】先连接OP，易知OP是Rt△AOB斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OP=12AB，由于木杆不管如何滑动，长度都不变，那么OP就是一个定值，那么P点就在以【解答】解：如图，连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，所以OP=12AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为圆心的圆弧上，那么中点故选：D．【点评】本题考查了轨迹，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是知道直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．4．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为（）A．2π B．22π C．24π D【考点】轨迹；三角形的内切圆与内心．【答案】B【分析】如图，连OI，PI，AI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO＝180°﹣∠IPO﹣∠IOP＝180°-12（∠HOP+∠OPH）＝135°，并且易证△OPI≌△OAI，得到∠AIO＝∠PIO＝135°，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，在优弧AO取点P′，连P′A，P′O，可得∠AP′O＝180°﹣135°＝45°，得∠AOO＝90°，O′O=22OA=22【解答】解：如图，连OI，PI，AI，∵△OPH的内心为I，∴∠IOP＝∠IOA，∠IPO＝∠IPH，∴∠PIO＝180°﹣∠IPO﹣∠IOP＝180°-12（∠HOP+∠而PH⊥OA，即∠PHO＝90°，∴∠PIO＝180°-12（∠HOP+∠OPH）＝180°-12（180°﹣又∵OP＝OA，OI公共，而∠IOP＝∠IOA，∴△OPI≌△OAI，∴∠AIO＝∠PIO＝135°，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，在优弧AO取点P′，连P′A，P′O，∵∠AIO＝135°，∴∠AP′O＝180°﹣135°＝45°，∴∠AO′O＝90°，而OA＝2cm，∴O′O=22OA=2∴弧OA的长=90⋅π⋅2180=所以内心I所经过的路径长为22πcm故选：B．【点评】本题考查了弧长的计算公式：l=nπR180，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点5．如图，AB为直径，AB＝4，C、D为圆上两个动点，N为CD中点，CM⊥AB于M，当C、D在圆上运动时保持∠CMN＝30°，则CD的长（）A．随C、D的运动位置而变化，且最大值为4 B．随C、D的运动位置而变化，且最小值为2 C．随C、D的运动位置长度保持不变，等于2 D．随C、D的运动位置而变化，没有最值【考点】轨迹．【答案】C【分析】连接OC、ON、OD，由垂径定理可知ON⊥CD，∠CON＝∠DON，然后由∠ONC+∠CMO＝180°，可证明O、N、C、M四点共圆，从而可得到∠NOC＝∠NMC＝30°，于是可证明△OCD为等边三角形，从而得到CD＝2．【解答】解；连接：OC、ON、OD．∵N是CD的中点，∴ON⊥CD，∠CON＝∠DON．又∵CM⊥AB，∴∠ONC+∠CMO＝180°．∴O、N、C、M四点共圆．∴∠NOC＝∠NMC＝30°．∴∠COD＝60°．又∵OC＝OD，∴△OCD为等边三角形．∴CD=1故选：C．【点评】本题主要考查的是轨迹问题，发现O、N、C、M四点共圆，从而证得△OCD为等边三角形是解题的关键．6．正方形ABCD的边长为4，P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥PA交CD边于点Q．当点P从B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路程长（）A．2 B．1 C．4 D．2【考点】轨迹；正方形的性质．【专题】矩形菱形正方形．【答案】B【分析】由题意知：PQ⊥AP，即：∠APB+∠QPC＝90°，∠BAP+∠APB＝180°﹣∠B＝90°，所以∠QPC＝∠BAP，又∠B＝∠C，即：△ABP∽△PCQ，由相似三角形的性质可得：BPCQ=ABPC，CQ=PCAB×BP，又BP＝x，PC＝BC﹣BP＝4﹣x，AB＝4，将其代入该式求出CQ的值即可，利用“配方法”求该函数的最大值．易知点M的运动轨迹是M→O→M，【解答】解：如图，连接AC，设AC的中点为O′．设BP的长为xcm，CQ的长为ycm．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°∵PQ⊥AP，∴∠APB+∠QPC＝90°∠APB+∠BAP＝90°∴∠BAP＝∠QPC∴△ABP∽△PCQ∴BPCQ=AB∴y=-14x2+x=-14（x﹣2）2+1（∴当x＝2时，y有最大值1cm．易知点M的运动轨迹是O→M→O，CQ最大时，MO=12CQ∴点M的运动轨迹的路程的长为2OM＝1，故选：B．【点评】本题主要考查正方形的性质、二次函数的应用、三角形的中位线定理等知识，关键在于理解题意运用三角形的相似性质求出y与x之间的函数关系，学会探究点M的运动轨迹．7．如图，已知四边形ABCD是边长为3的正方形，动点P从点B出发，沿BC向终点C运动，点P可以与点B、点C重合，连接PD，将△PCD沿直线PD折叠，设折叠后点C的对应点为点E，连接AE并延长交BC于点F，连接BE，则下列结论中：①当∠PDC＝15°时，△ADE为等边三角形；②当∠PDC＝15°时，F为BC的中点；③当PB＝2PC时，BE⊥AF；④当点P从点B运动到点C时，点E所走过的路径的长为32π其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】轨迹；翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】数形结合．【答案】C【分析】根据题意可得△ADE为等边三角形，因此可判断①②，由E点所走过的路径是以D为圆心，CD为半径的14圆可判断④．由沿直线PD折叠得到△DPE可得CE的长，根据相似可得EM，BM的长，以B点为原点，BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，可求AE，BE解析式，根据k1×k2＝﹣1，两直线垂直，可判断③【解答】解：∵∠PDC＝15°且将△PCD沿直线PD折叠得到△DPE∴，CD＝DE，∠EDP＝∠CDP＝15°即∠EDC＝30°∴∠ADE＝60°且AD＝DE∴△ADE为等边三角形∴AE＝AD，∠DAE＝60°∴∠BAF＝30°∴BF=12AF且AF故①正确，②错误∵DE是定值3，∴点E所走过的路径是以D为圆心，DC长为半径的14∴点E所走过的路径=14×2π×故④正确连接EC交DP于N，作EM⊥BC∵BP＝2PC∴BP＝2，PC＝1∴由勾股定理得：DP=∵12×DP×CN=1∴CN=∵将△PCD沿直线PD折叠得到△DPE∴CE⊥DP，CE=∵∠CDP+∠DCN＝90°，∠PCN+∠DCN＝90°∴∠CDP＝∠PCN，∠DCP＝∠CME＝90°∴△CEM∽△DCP∴EM∴CM＝1.8，EM＝0.6∴BM＝1.2以B点为原点，BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系∴A（0，3），E（1.2，0.6）∴可得BE解析式y=12AE解析式y＝﹣2x+3∵12∴AE⊥BE故③正确故选：C．【点评】本题考查了轨迹，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是会运用直角坐标系中，两直线的k1，k2关系证明垂直．8．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为（）A．3 B．4 C．92 D．【考点】轨迹；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】C【分析】如图，当P与A重合时，点F与K重合，此时点M在H处，当点P与B重合时，点F与G重合，点M在N处，点M的运动轨迹是线段HN．求出KG的长即可解决问题．【解答】解：如图，当P与A重合时，点F与K重合，此时点M在H处，当点P与B重合时，点F与G重合，点M在N处，点M的运动轨迹是线段HN．∵AD＝4，AE：ED＝1：3，∴AE＝1，DE＝3，在Rt△AEB中，AE＝1，AB＝3，∴BE=AE∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBG，又∵∠A＝∠BEG＝90°，∵△AEB∽△EBG，∴BEBG∴BG=10×∵BK＝AE＝1，∴KG＝BG﹣BK＝9，∴HN=12KG∴点M的运动路径的长为92故选：C．【点评】本题考查轨迹，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，学会利用起始位置和终止位置寻找轨迹，属于中考填空题中的压轴题．9．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝2，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（）A．13π B．23π C．π D．【考点】轨迹；菱形的性质．【专题】矩形菱形正方形．【答案】B【分析】因为∠BFC＝90°，推出点F的运动轨迹是以BC为直径的，圆弧BM，求出圆心角∠BOM即可解决问题；【解答】解：如图，取BC的中点O，连接OF．∵∠BFC＝90°，∴点F的运动轨迹是以BC为直径的，圆弧BM，当点E与A重合时，点F与AC中点M重合，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴∠BCM＝60°，∵OM＝OC＝OB＝1，∴△OMC是等边三角形，∴∠MOC＝60°，∴∠BOM＝120°，∴BM的长=120⋅π⋅1180故选：B．【点评】本题考查轨迹、菱形的性质、弧长公式、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会准确寻找点的运动轨迹，所以中考常考题型．10．如图，已知点A是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长为（）A．4 B．22 C．26 D．【考点】轨迹．【答案】B【分析】首先，需要证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角形可以证明；其次，如答图①所示，利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出线段B0Bn的长度，即点B运动的路径长．【解答】解：由题意可知，OM＝23，点N在直线y＝﹣x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，ON=2OM=2×23如答图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（终点）时，点B的位置为Bn，连接B0Bn．∵AO⊥AB0，AN⊥ABn，∴∠OAC＝∠B0ABn，又∵AB0＝AO•tan30°，ABn＝AN•tan30°，∴AB0：AO＝ABn：AN＝tan30°（此处也可用30°角的Rt△三边长的关系来求得），∴△AB0Bn∽△AON，且相似比为tan30°，∴B0Bn＝ON•tan30°＝26×33现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，B0Bi．∵AO⊥AB0，AP⊥ABi，∴∠OAP＝∠B0ABi，又∵AB0＝AO•tan30°，ABi＝AP•tan30°，∴AB0：AO＝ABi：AP，∴△AB0Bi∽△AOP，∴∠AB0Bi＝∠AOP．又∵△AB0Bn∽△AON，∴∠AB0Bn＝∠AOP，∴∠AB0Bi＝∠AB0Bn，∴点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn，其长度为22．故选：B．【点评】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确定点B的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中．二．填空题（共5小题）11．如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB．当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是4π．【考点】轨迹；等边三角形的性质．【专题】模型思想．【答案】4π．【分析】根据已知条件得到点B的运动轨迹也为圆，根据全等三角形的性质得到OP＝O'B＝2，即可求出路径长．【解答】解：如图，连接AO、OP，将AO绕点A逆时针旋转60°，得线段AO'，连接O'B、OO'，∵AO＝AO'，∠OAO'＝60°，∴△OAO'为正三角形，∵△APB为正三角形，∴∠PAB＝60°，PA＝BA，∴∠PAB﹣∠OAB＝∠OAO'﹣∠OAB，∴∠PAO＝∠BAO，在△APO与△ABO′中，AO=AO'∴△APO≌△ABO′，∴OP＝O'B＝2，∴⊙O'即为动点B运动的路径，∴当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是4π，【点评】此题考查了动点路径长，关键在于确定从动点的运动轨迹，考查了旋转、全等知识，“瓜豆原理”．12．如图，在等边△ABC中，AB＝10，BD＝4，BE＝2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是8．【考点】轨迹；等边三角形的性质．【答案】见试题解答内容【分析】连接DE，作FH⊥BC于H，如图，根据等边三角形的性质得∠B＝60°，过D点作DE′⊥AB，则BE′=12BD＝2，则点E′与点E重合，所以∠BDE＝30°，DE=3BE＝23，接着证明△DPE≌△FDH得到FH＝DE＝23，于是可判断点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为23，当点P在E点时，作等边三角形DEF1，则DF1⊥BC，当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则△DF2Q≌△ADE，所以DQ＝AE＝8，所以F1F2＝DQ＝8，于是得到当点P从点E运动到点A时，点F【解答】解：如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，过D点作DE′⊥AB，则BE′=12BD＝∴点E′与点E重合，∴∠BDE＝30°，DE=3BE＝23∵△DPF为等边三角形，∴∠PDF＝60°，DP＝DF，∴∠EDP+∠HDF＝90°∵∠HDF+∠DFH＝90°，∴∠EDP＝∠DFH，在△DPE和△FDH中，∠PED=∴△DPE≌△FDH，∴FH＝DE＝23，∴点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为23，当点P在E点时，作等边三角形DEF1，∠BDF1＝30°+60°＝90°，则DF1⊥BC，当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则△DF2Q≌△ADE，所以DQ＝AE＝10﹣2＝8，∴F1F2＝DQ＝8，∴当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，轨迹：点运动的路径叫点运动的轨迹，利用代数或几何方法确定点运动的规律．也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质．13．已知边长为6的等边△ABC中，E是高AD所在直线上的一个动点，连接BE，将线段BE绕点B顺时针旋转60°得到BF，连接DF，则在点E运动的过程中，当线段DF长度的最小值时，DE的长度为332【考点】轨迹；旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】连接CF，F点在直线CF上运动；由已知可证明△ABE≌△BCF（ASA），当DF⊥CF时，DF最小，求出AE=3【解答】解：连接CF，∵等边△ABC，∴AB＝BC，∵线段BE绕点B顺时针旋转60°得到BF，∴BE＝BF，∠ABE＝∠CBF，∴△ABE≌△BCF（ASA），F点在直线CF上运动，∴CF＝AE，∠BCF＝30°，∴F点在直线CF上运动，当DF⊥CF时，DF最小，∵CD＝3，∴CF=3∴AE=3∵AD＝33，∴DE=3故答案为33【点评】本题考查等边三角形的性质，点的轨迹；熟练掌握等边三角形的性质，能够通过主动点的运动确定从动点的运动轨迹是解题的关键．14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，则点E运动的路程长是23．【考点】轨迹；等边三角形的判定与性质；矩形的性质．【专题】图形的全等；推理能力．【答案】23．【分析】连接OE，利用SAS证明△ADF≌△ODE（SAS），得OE＝AF，∠DOE＝∠DAO，则点E在射线OE上运动，且OE＝AF，当点F在线段AO上从点A至点O运动时，故点E的运动路程是AO，利用勾股定理求出AO的长即可．【解答】解：连接OE，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝DO，∠DAB＝90°，∵∠DAC＝60°，∴△DAO是等边三角形，∴DA＝DO，∠ADO＝60°，∵△DFE是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°，∴∠ADF＝∠ODE，又AD＝DO，DF＝DE，∴△ADF≌△ODE（SAS），∴OE＝AF，∠DOE＝∠DAO，∴点E在射线OE上运动，且OE＝AF，当点F在线段AO上从点A至点O运动时，∴点E的运动路程是AO，在Rt△ADB中，设AD＝x，则BD＝2x，∴（2x）2﹣x2＝62，解得x＝23（负值舍去），∴AD＝AO＝23，即点E的运动路程为23，故答案为：23．【点评】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，确定点E的运动路径是解题的关键．15．如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，则线段DP的最小值为5-1【考点】轨迹；圆周角定理；点与圆的位置关系．【答案】见试题解答内容【分析】首先判断出△ABE≌△DAF，即可判断出∠DAF＝∠ABE，再根据∠ABE+∠BEA＝90°，可得∠FAD+∠BEA＝90°，所以∠APB＝90°；然后根据点P在运动中保持∠APB＝90°，可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接DG交弧于点P，此时DP的长度最小，最后在Rt△AGD中，根据勾股定理，求出DG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段DP的最小值为多少．【解答】解：如图：，∵动点F，E的速度相同，∴DF＝AE，又∵正方形ABCD中，AB＝2，∴AD＝AB，在△ABE和△DAF中，AB=AD∠BAE=∠ADF∴△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠DAF．∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠FAD+∠BEA＝90°，∴∠APB＝90°，∵点P在运动中保持∠APB＝90°，∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接DG交弧于点P，此时DP的长度最小，AG＝BG=12AB＝在Rt△BCG中，DG=A∵PG＝AG＝1，∴DP＝DG﹣PG=5即线段DP的最小值为5-1故答案为：5-1【点评】本题考查了轨迹，解答此题的关键是判断出什么情况下，DP的长度最小，利用了了全等三角形的判定和性质的应用，正方形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．三．解答题（共5小题）16．如图，⊙O的半径为2，O到定点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周．（1）点P的运动路径是一个圆；（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．（1）思路引导要证点P运动的路径是一个圆，只要证点P到定点M的距离等于定长r，由图中的定点、定长可以发现M，r．【考点】轨迹；等边三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）连接OA、OB，取OA的中点H，连接HP，则HP是△ABO的中位线，得出HP=12OB＝1，即P点到H点的距离固定为（2）由等边三角形的性质和直角三角形的性质分别求出PC的最小值和最大值即可．【解答】（1）解：连接OA、OB，取OA的中点H，连接HP，如图1所示：则HP是△ABO的中位线，∴HP=12OB＝∴P点到H点的距离固定为1，∴B在⊙O上运动一周，点P运动的路径是以点H为圆心，半径为1的一个圆；（2）解：连接AO并延长AO交⊙O于点M、N，如图2所示：∵△ABC是等边三角形，点P是线段AB的中点，∴PC⊥AB，PA＝PB=12AB=∴PC=3PA=3当点B运动到点M位置时，点P运动到点P'位置，PC最短，∵AM＝OA﹣OM＝5﹣2＝3，∴AP'=12AM∴PC=3当点B运动到点N位置时，点P运动到点P''位置，PC最长，∵AN＝OA+ON＝5+2＝7，∴AP''=12AN∴PC=7∴PC长的取值范围是332≤【点评】本题考查了轨迹、三角形中位线定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理和等边三角形的性质是解题的关键．17．如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，点E从点A出发，以1cm/s的速度沿着折线A→B→C运动，到达点C时停止运动；点F从点B出发，也以1cm/s的速度沿着折线B→C→D运动，到达点D时停止运动．点E、F分别从点A、B同时出发，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，E、F两点间的距离为23cm；（2）连接DE、AF交于点M，①在整个运动过程中，CM的最小值为（25-2）cm②当CM＝4cm时，此时t的值为2．【考点】轨迹；一元二次方程的应用．【专题】动点型；矩形菱形正方形；应用意识．【答案】见试题解答内容【分析】（1）分两种情形：当E、F两点分别在AB、BC上时，利用勾股定理构建方程解决问题即可．（2）①首先证明∠AMB＝90°，推出点M在以AD为直径的⊙O上运动，连接OC，OM，CM．求出OC，OM即可解决问题．②分两种情形：如图1中，证明△DAE≌△CDO（ASA），即可解决问题．如图2中，当点E与C重合时，点F与D重合时，此时CM＝4．【解答】解：（1）当E、F两点分别在AB、BC上时，则AE＝t，EB＝4﹣t，BF＝t，∵EB2+BF2＝EF2，∴t2+（4﹣t）2＝（23）2，∴t1＝2+2，t2＝2-当E、F两点分别在BC、CD上时，则CE＝8﹣t，CF＝t﹣4，∵CE2+CF2＝EF2，∴（8﹣t）2+（t﹣4）2＝（23）2，∴t1＝6+2，t2＝6-（2）①当点E在AB上，点F在BC上时，∵∠DAE＝∠ABF＝90°，AD＝AB，AE＝BF，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠BAF+∠AED＝90°，∴∠AME＝90°，∴点M在以AD为直径的⊙O上运动，连接OC，OM，CM．如图2中，当点E在BC上，点F在CD上，同法可证，∠AMD＝90°，推出点M在以AD为直径的⊙O上运动，∵OM＝2，OC=OD2∵CM≥OC﹣OM，∴CM≥25-2∴CM的最小值为25-2（此时O，C，M故答案为（25-2②如图1中，当CM＝4时，∵CM＝CD＝4，OD＝OM，∴点C在MD的垂直平分线上，点O在MD的垂直平分线上，∴OC⊥DE，∴∠ADE+∠DOC＝90°，∵∠DCO+∠DOC＝90°，∴∠ADE＝∠DCO，∵∠DAE＝∠CDO＝90°，AD＝CD，∴△DAE≌△CDO（ASA），∴AE＝OD＝2，∴t＝2，如图2中，当点E与C重合时，点F与D重合时，此时CM＝4，t＝8，综上所述，t的值为2时，CM＝4．故答案为：2或8．【点评】本题考查轨迹，一元二次方程，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考常考题型．18．如图，在扇形AOB中，OA、OB是半径，且OA＝4，∠AOB＝120°．点P是弧AB上的一个动点，连接AP、BP，分别作OC⊥PA，OD⊥PB，垂足分别为C、D，连接CD．（1）如图①，在点P的移动过程中，线段CD的长是否会发生变化？若不发生变化，请求出线段CD的长；若会发生变化，请说明理由；（2）如图②，若点M、N为AB的三等分点，点I为△DOC的外心．当点P从点M运动到N点时，点I所经过的路径长为49π【考点】轨迹；圆心角、弧、弦的关系；三角形的外接圆与外心．【专题】圆的有关概念及性质．【答案】见试题解答内容【分析】（1）连接AB，根据三角形的中位线定理即可解决问题；（2）取OM的中点I，连接IC、ID．由∠OCM＝∠ODM＝90°，推出OI＝IC＝IM＝ID，推出点I是△ODC的外心，OI=12OM＝【解答】解：（1）线段CD的长不会发生变化．理由：连接AB，过O作OH⊥AB于H．∵OC⊥PA，OD⊥PB，∴AC＝PC，BD＝PD．∴CD=12∵OA＝OB，OH⊥AB，∴AH＝BH=12AB，∠AOH=12∠在Rt△AOH中，∵∠OAH＝30°，∴OH=12OA＝∴在Rt△AOH，由勾股定理得AH=42-∴AB＝43．∴CD＝23．（2）如图②中，取OM的中点I，连接IC、ID．∵∠OCM＝∠ODM＝90°，∴OI＝IC＝IM＝ID，∴点I是△ODC的外心，OI=12OM＝∵∠MON＝40°，∴当点P从点M运动到N点时，点I所经过的路径长为40⋅π⋅2180=故答案为49π【点评】本题考查轨迹，圆心角、弧、弦之间的关系，三角形的外心等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的突破点正确寻找点I的运动轨迹，属于中考常考题型．19．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB＝1，BC=3，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿AE折叠，得到多边形AB′C′E，点B，C的对应点分别为点B′，C（1）如图1，当B′C′恰好经过点D时，求线段CE的长；（2）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′移动的路径长．【考点】轨迹；翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】几何图形．【答案】见试题解答内容【分析】（1）如图1中，设CE＝EC′＝x，则DE＝1﹣x，由△ADB′′∽△DEC，可得ADDE（2）如图3中，点C的运动路径的长为CC'【解答】解：（1）如图1中，设CE＝EC′＝x，则DE＝1﹣x，∵∠ADB′+∠EDC′＝90°，∠B′AD+∠ADB′＝90°，∴∠B′AD＝∠EDC′，∵∠B′＝∠C′＝90°，AB′＝AB＝1，AD=3∴DB′=3-1∴△ADB′∽△DEC′，∴ADDE∴31-x∴x=6-∴CE=6-（2）如图2中，点C的运动路径的长为CC'在Rt△ADC中，∵tan∠DAC=CD∴∠DAC＝30°，AC＝2CD＝2，∵∠C′AD＝∠DAC＝30°，∴∠CAC′＝60°，∴CC'的长=60⋅π⋅2【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．属于中考压轴题．20．如图1，图2，点O是线段AC的中点，OB⊥AC，OA＝9．（1）如图1，若∠ABO＝30°，求AB的长；（2）如图1，在（1）的条件下，若点D在射线AC上，点D在点C右侧，且△BDQ是等边三角形，QC的延长线交直线OB于点P，求PC的长度；（3）如图2，在（1）的条件下，若点M在线段BC上，△OMN是等边三角形，且点M沿着线段BC从点B运动到点C，点N随之运动，求点N的运动路径的长度．【考点】轨迹；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质．【专题】几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）18；（2）18；（3）18；【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到BA＝BC，根据等边三角形的判定定理证明△ABC是等边三角形，进而得出答案；（2）证明△BAD≌△BCQ，根据全等三角形的性质得到∠BCQ＝∠BAD＝60°，根据含30°的直角三角形的性质计算即可；（3）取BC的中点H，连接OH，连接CN，分M在BH上、M在HC上两种情况，根据等边三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）∵∠ABO＝30°，OB⊥AC，∴∠BAO＝60°，∵O是线段AC中点，OB⊥AC，∴BA＝BC，又∠BAO＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝2OA＝18；（2）∵△ABC和△BDQ为等边三角形，∴BA＝BC，BD＝BQ，∠BAC＝60°，∠DBQ＝60°，∴∠ABD＝∠CBQ，在△BAD和△BCQ中，BA=BC∠ABD=∠CBQ∴△BAD≌△BCQ（SAS），∴∠BCQ＝∠BAD＝60°，∵∠BCA＝60°，∴∠OCP＝60°，∵∠POC＝90°，∴∠OPC＝30°，∴PC＝2OC＝18；（3）取BC的中点H，连接OH，连接CN，如图2，则OH=12BC＝BH＝∴△HOC为等边三角形，∴∠HOC＝∠OHC＝60°，OH＝OC，当M在BH上时，∠MON＝60°，∠HOC＝60°，∴∠MOH＝∠NOC，在△OMH和△ONC中，OM=ON∠MOH=∠NOC∴△OMH≌△ONC（SAS），∴∠OCN＝∠OHM＝120°，当点M与点B重合时，如图3，在△OBC和△N′BC中，BO=BN'∴△OBC≌△N′BC（SAS），∴∠BCN′＝∠BCO＝60°，∴∠OCN′＝120°，即C、N、N′在同一条直线上，∴CN′＝OC＝9，∴点N从起点到C做直线运动路径为9，当M在HC上时，△OCN为等边三角形，∴CN＝OC＝9，∴点N从C到终点做直线运动路径长为9，综上所述，N的路径长度为：9+9＝18．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．

考点卡片1．一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．2．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．3．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．4．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．5．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．6．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．7．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．8．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：29．菱形的性质（1）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（2）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=12ab．（a、10．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线