单元质检卷十二 概率

单元质检卷十二概率

（时间:120分钟满分:150分）

_单元质检卷第356页

一、选择题:本题共12小题、每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求.

1.（2021河北邯郸二模）某商场有三层楼，最初规划一层为生活用品区,二层为服装区，三层

为餐饮区，招商工作结束后，共有100家商家入驻,各楼层的商铺种类如表所示，若从所有

商铺中随机抽取一家，该商铺所在楼层与最初规划不一致的概率为（）

商铺类型生活用品店服装店餐饮店

一层2573

二层4274

三层6123

A.0.75B.0.6

C.0.4D.0.25

答案:D

解析100家商铺中与最初规划一致的有25+27+23=75家,故不一致的有100-75=25家,

所以从所有商铺中随机抽取一家，该商铺所在楼层与最初规划不一致的概率为隘=0.25.

2.在区间[-1,4]内取一个数苞则2"--的概率是（）

1123

AqB-3%D.g

答案:D

解析:因为产/>；，所以«上2忘0,解得x£[-1,2],所以所求概率P=洸=看故选D.

3.（2021黑龙江齐齐哈尔一模）《周髀算经》中提出了“方属地,圆属天”，就是人们常说的

“天圆地方”.我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想.现将

铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为「，正方形的边长为。（0<〃<厂）,若在圆内随机

取一点，则该点取自阴影部分的概率是（）

A.悟B.当

Mnr2

C.-D.1--

rr

答案:A

解析:圆形钱币的半径为二面积为SE=Ttr.正方形边长为面积为S正方彩二。2,在圆形内随

SS

机取一点，此点取自阴影部分的概率是p=工正”形=吟击15

圆

4.（2021河南新乡三模）为庆祝建党100周年，某校组织了一场以“不忘初心、牢记使命”

为主题的演讲比赛，该校高一年级某班准备从7名男生,5名女生中任选2人参加该校组

织的演讲比赛，则参赛的2人中至少有1名女生的概率是（）

A79「15c17

A.-Bn.-C.-D.一

22222222

答案:C

解析:由题意可知从12名学生中任选2人的情况有岛二66种微所求概率P=1造=焉

boLL

5.将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践

活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为（）

A.iB.-C.iD.-

3525

答案:B

解析:基本事件总数〃=或0母=9（）,每个小组恰好有1名教师和1名学生包含的基本事件

个数〃『CJCJC；C；C；C；=36,所以每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为尸=彳=

36_2

90-5,

6.（2021山东实验中学二模）市场调查发现，大约由勺人喜欢在网上购买儿童玩具，其余的人

则喜欢在实体店购买儿童沅具.经工商局抽样调查发现，网上购买的儿童玩具合格率为今

而实体店里的儿童玩具的合格率为养现工商局通过电话接到一个关于儿童玩具不合格

的投诉，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是（）

1345

A.-B.-C.-D.-

2456

答案:B

选

做B

12

解析:儿萤玩具不合格的投诉为网上购买的可能性为-+X-L

一5

51O

7.从集合｛1,2,3,4｝中随机抽取一个数©从集合｛4,6,8｝中随机抽取一个数"则向量

m=（4,b）与向量n=（2,-l）垂直的概率为（)

A.—B.-C.—

643

答案:B

解析:基本事件总数为4x3=12,当mln时力=2凡满足m_Ln的基本事件有

（2,4）,（3,6）,（4,8）,共3个，故所求概率为P*=*攵选B.

8.排球比赛的规则是5局3胜制（无平局）,在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的

概率都相等,均为方前2局中乙队以2领先，则最后乙队获胜的概率是（）

答案:B

解析:最后乙队获胜事件含3种情况:第三局乙胜，其概率为第三局甲胜，第四局乙胜，其

2

概率为"4号;第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜，其概率为（I）xg=9.故最后乙

队获胜的概率!=4

392/27

9.（2021广东韶关一模）假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.

若在两次射击中至多命中一次的概率是要,则该射手每次射击的命中率为（）

9233

A.-B.-C.-D.-

25554

答案:C

解析:设该射手每次射击的命中率为p,

，・,在两次射击中至多命中一次的概率是获，1-〃2二?解得/?=1.

・・・该射手每次射击的命中率为去故选C.

10.（2021甘肃一模）圆x2+）2=4上任意一点M到直线3x+4y-15=0的距离大于2的概率

为（）

A兀CJD,|

答案:c

解析:圆f+）2=4的圆心。。0）到直线3x+4y-15=0的距离为"二|。。|二喘|1二3

Vv+16

如图所示，标上的点到直线3x+4y-15=（）的距离小于或等于2,

所以00=3-2=1,。4=2,所以NAOO邛ZAOB=^

所以圆上任意一点M到直线3x+4y-15=0的距离大于2的概率为P=1-誓=,故选C.

11.（2021湖南岳阳一模）“华东五市游”作为中国一条精品旅游路线一直受到广大旅游爱

好者的推崇.现有4名高三学生准备高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州

市、杭州市四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有

一个地方未被选中的概率为（）

AB噌

低D•短

答案:B

解析:由题意，基本事件总数〃T4—256,恰有一个地方未被选中即有两个同学选择了一个

地方有C：种方法，把这两个同学看作一个元素，另两个同学各是一个元素，将这三个元素

填空到四个城市有A；种方法，所求事件个数〃片或A；=144,则恰有一个地方未被选中的概

率为P=巴=芸=2故选B.

n25616

12.（2021辽宁沈阳一模）已知随机变量且尸（*0）二尸仁2）,则;+士（04<〃）的

XU-X

最小值为（）

A.9B-l

C.4D.6

答案:B

解析:CM1,/）,可得正态分布密度曲线的对称轴为工二1,

又P（〈WO）二产（。2①,・・・〃二2.

令・"启+总。令＜2）,则/（幻=集十备=区券&

人乙“*（/-%）xz（2-x）

当%e（0,?时/a）vO«K）是减少的，

当xe0,2）时〃x）＞（VU）是增加的，

则./（九）的最小值为/（|）=|+3=*故选B.

二、填空题:本题共4小题,每小题5分.共20分.

13.己知甲、乙两球落入盒子的概率分别为杯呜.假定两球是否落入盒子互不影响，则

甲、乙两球都落入盒子的概率为;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率

为.

中2

解析:甲、乙两球都落入盒子的概率为:=g设事件A二“甲、乙两球至少一个落入盒

Z56

子”，则对立事件展“甲、乙两球都未落入盒子”,P（Z）=（1-乡X（1-§="X|=",

则P（A）=l-P（A）=l

14.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛,现采用抽签法决定演讲顺序，在

“学生甲不是第一个出场,学生乙不是最后一个出场''的前提下，学生丙第一个出场的概率

为.

答案噌

解析:设事件A为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”,事件3为“学生丙

第一个出场''，则尸（A尸业瞥18fijpzz*iAx"(/*»)-18—3

',5

15.(2021天津一模)袋子中有5个大小、质地完全相同的小球，其中有3个红球,2个黄球,

从袋中一次性随机取出3个小球后,再将小球放回，则“取出的3个小球中有2个红球,1

个黄球”的概率为，记“取出的3个小球中有2个红球』个黄球”发生的次数

为X,若重复5次这样的实验，则X的数学期望为.

答案：|3

解析:设事件A为“取出3个球中有2个红球,1个黄球”,则尸(A)=雪

C55

由题意可得，重复5次这样的实脸，事件A发生的次数X服从二项分布，即X〜8(5,式

则EX=5x-=3.

5

16.(2021江苏淮安二模改编)为了解目前某市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进

行了体能抽测，得到学生的体育成绩CM70』()0),其中60分及以上为及格,9()分及以.上

为优秀.则下列说法正确的是.

参考数据:随机变量CM4。2),则P(//-<7<c<//+a)=0.683,P(//-2(7<^<;/+2a)=0.954,P(//-

3Y<〃+3㈤=0.997.

①该校学生体育成绩的方差为10

②该校学生体育成绩的均值为70

③该校学生体育成绩的及格率不到85%

④该校学生体肓成绩不及格的人数和优秀的人数相当

答案:②③

解析:由题意，因为3M70,100),所以均值为〃=70,方差为『二100,所以①错误，②正确;因

为「e260)=0.5+孑@5<*〃+。)=0.5+0.3415=0.8415<85%,故③正确；因为

P(C<60)=l(l-P(//-f7<f<//+fj))=1x(l-0.683)=0.1585,Pg90)=i(l-P(/z-

jv〃+2o))=gx(1-0.954)=0.023,所以④错误.

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)(2021湖北武汉一模)有关研究表明，正确佩戴安全头盔，规范使用安全带能够将

交通事故死亡风险大幅降低，对保护群众生命安全具有重要作用.2020年4月，“一盔一

带''安全守护行动在全国各地开展.行动期间，公安交管部门将加强执法管理，依法查纠摩

托车和电动自行车骑乘人员不佩戴安全头盔，汽车驾乘人员不使用安全带的行为,助推养

成安全习惯.该行动开展一段时间后，某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问

题进行调查,在随机调查的1000名骑行人员中，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，得到如

图的统计图表：

AM

0.040

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

0

□未佩戴头盔

口佩戴头盔

于40岁于40岁

(1)估算该市电动自行车骑乘人员的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代

表).

(2)根据所给的数据,完成下面的列联表:

年龄佩戴头盔没有佩戴头盔

120,40)

[40,70]

⑶根据⑵中的列联表，判断是否有95%的把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关?

2

附：/=n(ud-bc)

(Q+b)(c+d)(Q+c)(b+d)'

0.100.050.01

k2.7063.8416.635

解：(1)该市电动自行车骑乘人员的平均年龄为

25xO.25+35x0.35+45xO.2+55xO.l5+65xO.O5=39.

(2)2x2列联表如下:

年龄佩戴头盔没有佩戴头盔

[20,40)5406()

[40,70]34060

八、，1000x(60x540-60x340)2125cOAI

⑶丫二600X400X880X12。=F十.682>3.841,

所以有95%的把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关.

18.(12分)(2021北京,18)为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“合1检测法”，即将

k个人的拭子样本合并检测，若为阴性,则可以确定所有样本都是阴性的;若为阳性，则还

需要对本组的每个人再做检测.现有100人，已知其中2人感染病毒.

⑴①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；

②已知1()人分成一组，分1()组，两名感染患者在同一组的概率为今,定义随机变量X为总

检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望EX;

⑵若采用“5合1检测法”，检测次数丫的数学期望为EK试比较EX和EY的大小(直接写

出结果).

解：(1)①对每组进行检测，需要10次;再对结果为阳性组的每个人进行检测，需要10次；

所以总检测次数为20次.

②由题意,X可以取20,30,

P(X=20)=9，P(X=30)=1-=与

则X的分布列为

X2030

110

P

11TT

所以EX=20x-+30x.

1111it

⑵由题意,丫可以取25,3(),

两名感染者在同一组的概率为p=哗盘=白不在同一组的概率为P产言,

C1009999

则EX=25x-+30x-=—>EX.

999999

19.(12分)(2021四川成都双流中学三模)从某市的中学生中随机调查了部分男生,获得了

他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图.

0.04

(1)求。的值并估计该市中学全体男生的平均身高(假设同一组中的数据用该组区间的中

点值代替)；

(2)从该市中学的男生中随机抽取一名学生，根据直方图中的信息,估计其身高在180cm

以上的概率.若从全市中学的男生(人数众多)中随机抽取3人，用X表示身高在180cm以

上的男生人数，求随机变量X的分布列和数学期望EX.

解：(1)根据题意得(0.005x2+a+0.02X2+0.04)x10=1,解得<7=0.010,

设样本中男生身高的平均芍为五

x=I45x().05+155x().1+165x().2+175x().4+185x0.2+195x0.()5=172.5(cm),

所以估计该市中学全体男生的平均身高为172.5cm.

(2)从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在180cm以上的概率约为

由已知得

所以P(X-0)-C§(1)°-(I)3=乳£)2=泵

呼=2)式徜飞)匕箭的3)泻④飞)。..

随机变量X的分布列为

X0123

272791

P

64646464

所以EX=3X2=±

44

20.(12分)(2021山西孝义模拟)张先生到一家公司参加面试，面试的规则是:面试官最多向

他提出五个问题，只要正确回答出三个问题即终止提问.通过以往面试经验，张先竺能够

正确回答面试官提出的任何一个问题的概率为:，假设回答各个问题正确与否互不干扰.

(1)求张先生通过面试的概率；

(2)记本次面试张先生回答问题的个数为X,求X的分布列及数学期望.

解:⑴记张先生第，次答对面试官提出的问题为事件Ai(i=1,2,345),则P(4)［张先生前

三个问题均回答正确为事件氏前三个问题回答正确两个且第四个又回答正确为事件C,

前四个问题回答正确两个且第五个又回答正确为事件D张先生通过面试为事件M.则

M=BUCUD,

222

根据题意，得尸(8)=育=l,P(C)=CiX@xlx|=盘,尸(0北X(|)X(l)x|=||.

因为事件B,C,D两两互斥，所以P(M)=P(B)+P(O+P(/))=4+^+界=答，

乙/L/olo1

即张先生能够通过面试的初率为普.

ol

(2)根据题意,X=3,4,5.

X=3表示前面三个问题均回答错误(淘汰)或均回答正确(通过),

所以。('-犷④？+管)3.

X=4表示前面三个问题中有两个回答错误且第四个问题又回答错误(淘汰),

或者前面三个问题中有两个回答正确且第四个问题回答正确(通过)，

所以。(乂二旬二点乂打④鼠抖越父传了乂兴尹瑞,

X=5表示前面四个问题中有两个回答错误、两个回答正确,

所以~X=5)=C»售)2乂(如=探

所以X的分布列为

X345

1108

P

32727

mL”r1«10U8107

故EX=3x-+4x—+5x—=——

3272727

21.(12分)(2021江苏七市第三次调研)面对新一轮科技和产业革命带来的创新机遇，某企

业对现有机床进行更新换弋，购进一批新机床.设机床生产的零件的直径为X(单位:mm).

⑴现有旧机床生产的零件10个淇中直径大于124mm的有3个.若从中随机抽取4个,

记^表示取出的零件中直径大于124mm的零件的个数，求&勺分布列及数学期望拶；

(2)若新机床生产的零件直径X~M120,4),从生产的零件中随机取出1()个,求至少有一个

零件直径大于124mm的概率.

参考数据:若贝IjP(//-6r<X<Z/+rr)=0.683,P(/z-2^<X<//+2^)=0.954,P(//-

3〃<X<〃+3o)=0.997,0.9771彩0.7924,().9541ko.6244.

解：(1)由题知，的可能取值为0,1,2,3.

"看°尸警=杷(门)二署=杷斤2)=鬻=条P("3)=鬻=5，

所以^的分布列为

J0123

1131

p

62To30

所以j的数学期望Ef=0xi+lx|+2x^+3x2=1.2.

(2)记“至少有一个零件直径大于124mm”为事件A,

因为*~可(120,4),所以〃=120,"2,

所以P(X>124)=1孑52。?q+2。)=kp产=()()23.

所以P(X^124)=1-0.023=0.977,

所以P(A)=1-0.977坛1-0.7924=0.2076.所以至少有一个零件直径大于124mm的概率

为0.2076.

22.(12分)棋盘上标有第0』,2,…,100站，棋子开始位于第0站,棋手抛掷均匀硬币走跳棋

游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站;若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第9