北京市西城区北京第四十三中学2026届高二上数学期末学业质量监测试题含解析

北京市西城区北京第四十三中学2026届高二上数学期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．数列，，，，…，是其第（）项A.17 B.18C.19 D.202．若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（）A. B.C. D.3．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为（）A.y2＝9x B.y2＝6xC.y2＝3x D.y2＝x4．在公比为为q等比数列中，是数列的前n项和，若，则下列说法正确的是（）A. B.数列是等比数列C. D.5．方程表示的曲线是A.两条直线 B.两条射线C.两条线段 D.一条直线和一条射线6．已知半径为2的圆经过点（5，12），则其圆心到原点的距离的最小值为（）A.10 B.11C.12 D.137．与直线关于轴对称的直线的方程为（）A. B.C. D.8．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为（）A. B.C. D.9．关于实数a，b，c，下列说法正确的是（）A.如果，则，，成等差数列B.如果，则，，成等比数列C.如果，则，，成等差数列D.如果，则，，成等差数列10．函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内的极大值点有（）A.1个 B.2个C.3个 D.4个11．已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A B.C. D.12．函数的值域为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数的图像在点处的切线方程是，则＝______14．已知数列的前4项依次为，，，，则的一个通项公式为________15．已知抛物线：，若直线与抛物线C相交于M，N两点，则_______________.16．在空间四边形ABCD中，AD=2，BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=，则异面直线AD与BC所成角的大小为____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，当时，恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）已知函数（Ⅰ）若的图象在点处的切线与轴负半轴有公共点，求的取值范围；（Ⅱ）当时，求的最值19．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点F到上顶点的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线与椭圆交于A、B两点，使得点C（）在线段AB的中垂线上？若存在，求出直线l：若不存在，说明理曲.20．（12分）已知双曲线的渐近线方程为，且过点（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长21．（12分）设函数（1）求函数的单调区间；（2）若有两个零点，，求的取值范围，并证明：22．（10分）椭圆的离心率为，设为坐标原点，为椭圆的左顶点，动直线过线段的中点，且与椭圆相交于、两点．已知当直线的倾斜角为时，（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在定直线，使得直线、分别与相交于、两点，且点总在以线段为直径的圆上，若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据题意，分析归纳可得该数列可以写成，，，……，，可得该数列的通项公式，分析可得答案.【详解】解：根据题意，数列，，，，…，，可写成，，，……，，对于，即，为该数列的第20项；故选：D.【点睛】此题考查了由数列的项归纳出数列的通项公式，考查归纳能力，属于基础题.2、B【解析】根据双曲线标准方程直接判断.【详解】方程即为，由方程表示双曲线，可得，所以，，所以虚轴长为，故选：B.3、C【解析】过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，利用抛物线的定义和平行线的性质、直角三角形求解【详解】如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝|FC|＝，因此抛物线的方程为y2＝3x，故选：C.4、D【解析】根据等比数列的通项公式、前项和公式的基本量运算，即可得到答案；【详解】，，故A错误；，，显然数列不是等比数列，故B错误；，故C错误；，，故D成立；故选：D5、D【解析】由，得2x+3y−1=0或.即2x+3y−1=0(x⩾3)为一条射线，或x=4为一条直线.∴方程表示的曲线是一条直线和一条射线.故选D.点睛：在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线在求解方程时要注意变量范围.6、B【解析】由条件可得圆心的轨迹是以点为圆心，半径为2的圆，然后可得答案.【详解】因为半径为2的圆经过点（5，12），所以圆心的轨迹是以点为圆心，半径为2的圆，所以圆心到原点的距离的最小值为，故选：B7、D【解析】点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可求解.【详解】设(x，y)是与直线关于轴对称的直线上任意一点，则(x，－y)在上，故，∴与直线关于轴对称的直线的方程为.故选：D.8、B【解析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解【详解】由各路口信号灯工作相互独立，可得某人从甲地到乙地恰好遇到2次红灯的概率：故选：B9、B【解析】根据给定条件结合取特值、推理计算等方法逐一分析各个选项并判断即可作答.【详解】对于A，若，取，而，即，，不成等差数列，A不正确；对于B，若，则，即，，成等比数列，B正确；对于C，若，取，而，，，不成等差数列，C不正确；对于D，a，b，c是实数，若，显然都可以为负数或者0，此时a，b，c无对数，D不正确.故选：B10、B【解析】利用极值点的定义求解.【详解】由导函数的图象知：函数在内，与x轴有四个交点：第一个点处导数左正右负，第二个点处导数左负右正，第三个点处导数左正右正，第四个点处导数左正右负，所以函数在开区间内的极大值点有2个，故选：B11、D【解析】根据导函数大于，原函数单调递增；导函数小于，原函数单调递减；即可得出正确答案.【详解】由导函数得图象可得：时，，所以在单调递减，排除选项A、B，当时，先正后负，所以在先增后减，因选项C是先减后增再减，故排除选项C，故选：D.12、C【解析】根据基本不等式即可求出【详解】因为，当且仅当时取等号，所以函数的值域为故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】根据导数几何意义，可得的值，根据点M在切线上，可求得的值，即可得答案.【详解】由导数的几何意义可得，，又在切线上，所以，则=3，故答案为：3【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查分析理解的能力，属基础题.14、（答案不唯一）【解析】观察数列前几项，找出规律即可写出通项公式.【详解】根据数列前几项，先不考虑正负，可知，再由奇数项为负，偶数项为正，可得到一个通项公式，故答案为：（不唯一）15、8【解析】直线方程代入抛物线方程，应用韦达定理根据弦长公式求弦长【详解】设，由得，所以，，故答案为：816、【解析】由已知找到异面直线所成角的平面角，再运用余弦定理可得答案.【详解】解：设BD的中点为O，连接EO，FO，所以，则∠EOF（或其补角）就是异面直线AD，BC所成的角的平面角，又因为EO=AD=1，FO=BC=，EF=.根据余弦定理得=-，所以∠EOF=150°，异面直线AD与BC所成角的大小为30°.故答案为：30°.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）求得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；（2）利用参变量分离法可得出对任意的恒成立，构造函数，其中，利用导数求出函数在上的最小值，由此可求得实数的取值范围.【小问1详解】解：函数的定义域为，.因为，由，可得.①当时，由可得，由可得.此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；②当时，由可得，由可得，此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数单调递减区间为，单调递增区间为【小问2详解】解：当且时，由，可得，令，其中，.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，则，.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.【解析】（Ⅰ）求导数．求得切线方程，由切线与轴的交点在负半轴可得的范围；（Ⅱ）求导数，由的正负确定单调性，极值得最值【详解】命题意图本题主要考查导数在函数问题中的应用解析（Ⅰ）由题可知，，故可得的图象在点处的切线方程为令，可得由题意可得，即，解得，即的取值范围为（Ⅱ）当时，，易知在上单调递增又，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，无最大值【点睛】关键点点睛：本题考查用导数的几何意义，考查用导数求函数的的最值．解题关键是求出导函数，由的正负确定单调性，得函数的极值，从而可得最值19、（1）（2）存在，【解析】（1）由题意可得，，求得的值即可求解；（2）由（1）得，假设存在满足条件的直线：，代入椭圆方程消去可得、，由中点坐标公式可得中点的坐标，由求得的值即可求解.小问1详解】由题意可得，，，解得，，所以椭圆的方程为【小问2详解】由（1）得，假设存在满足条件的直线：，代入椭圆方程整理可得，设，，则，，可得，则线段的中点坐标为，所以，则，解得：，所以存在直线，且直线的方程为20、（1）；（2）.【解析】（1）根据双曲线渐近线斜率、双曲线过点可构造方程求得，由此可得双曲线方程；（2）由双曲线方程可得焦点坐标，由此可得方程，与双曲线方程联立后，利用弦长公式可求得结果.【小问1详解】由双曲线方程知：渐近线斜率，又渐近线方程为，；双曲线过点，；由得：，双曲线的方程为：；【小问2详解】由（1）得：双曲线的焦点坐标为；若直线过双曲线的左焦点，则，由得：；设，，则，；由双曲线对称性可知：当过双曲线右焦点时，；综上所述：.21、（1）答案见详解（2），证明见解析【解析】（1）求导得，，分类讨论参数a的范围即可判断单调区间；（2）设，，联立整理得，构造得，构造函数，结合导数判断单调性，进而得证.小问1详解】由，，可得，当时，，所以在上单调递增；当时，令，得，令，得所以在单调递减，在单调递增；【小问2详解】证明：因为函数有两个零点，由（1）得，此时的递增区间为，递减区间为，有极小值.所以，可得,所以.由（1）可得的极小值点为，则不妨设.设，，则则，即，整理得，所以，设，则，所以在上单调递减，所以，所以，即.22、（1）（2）存在，且直线的方程为或【解析】（1）分析可知，，直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可求得的值，即可得出椭圆的标准方程；（2）设点、，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出点、，由已知得出，求出的值，即可得出结论.【小问1详解】解：因为，则，，所以，椭圆的方程为，即，易知点，则点，当直线的倾斜角为时，直线的方程为，设点、，联立，可得，，由韦达定理可得，，所以，，解得，则，，因此，椭圆的标准方程为.【小问2详