2026届山东德州市高二数学第一学期期末联考试题含解析

2026届山东德州市高二数学第一学期期末联考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于2022年在北京召开，这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事.某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有（）A.120种 B.48种C.36种 D.18种2．在等比数列中，，且，则t＝（）A.-2 B.－1C.1 D.23．过点，的直线的斜率等于2，则的值为（）A.0 B.1C.3 D.44．若点P在曲线上运动，则点P到直线的距离的最大值为（）A. B.2C. D.45．某次生物实验6个小组的耗材质量（单位：千克）分别为1.71，1.58，1.63，1.43，1.85，1.67，则这组数据的中位数是（）A.1.63 B.1.67C.1.64 D.1.656．已知点，分别在双曲线的左右两支上，且关于原点对称，的左焦点为，直线与的左支相交于另一点，若，且，则的离心率为（）A B.C. D.7．设直线的倾斜角为，且，则满足A. B.C. D.8．已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（）A. B.C. D.9．在正方体中，P，Q两点分别从点B和点出发，以相同的速度在棱BA和上运动至点A和点，在运动过程中，直线PQ与平面ABCD所成角的变化范围为A. B.C. D.10．函数y=的最大值为Ae-1 B.eC.e2 D.11．已知公差不为0的等差数列中，（m，），则mn的最大值为（）A.6 B.12C.36 D.4812．直线与曲线相切于点,则()A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知椭圆的焦点分别为，A为椭圆上一点，则________14．已知函数满足：①是奇函数；②当时，．写出一个满足条件的函数________15．关于曲线，则以下结论正确的个数有______个①曲线C关于原点对称；②曲线C中，；③曲线C是不封闭图形，且它与圆无公共点；④曲线C与曲线有4个交点，这4点构成正方形16．已知圆锥的侧面积为，若其过轴的截面为正三角形，则该圆锥的母线的长为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；18．（12分）设函数（1）若，求的单调区间和极值；（2）在（1）的条件下，证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点；（3）若存在，使得，求的取值范围19．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为，.点满足.（1）求椭圆的离心率；（2）设直线与椭圆相交于，两点，若直线与圆相交于，两点，且，求椭圆的方程.20．（12分）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求B；（2）若，求的面积的最大值21．（12分）已知直线恒过抛物线的焦点F（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于A，B两点，且，求直线的方程22．（10分）如图，在四棱锥中，，，，，为中点，且平面.（1）求点到平面的距离；（2）线段上是否存在一点，使平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】先考虑最后位置必为奥运宣传广告，再将另一奥运广告插入3个商业广告之间，最后对三个商业广告全排列，即可求解.【详解】先考虑最后位置必为奥运宣传广告，有种，另一奥运广告插入3个商业广告之间，有种；再考虑3个商业广告的顺序，有种，故共有种.故选：C.2、A【解析】先求出，利用等比中项求出t.【详解】在等比数列中，，且，所以所以，即，解得：.当时，，不符合等比数列的定义，应舍去，故.故选：A.3、A【解析】利用斜率公式即求.【详解】由题可得，∴.故选：A4、A【解析】由方程确定曲线的形状，然后转化为求圆上的点到直线距离的最大值【详解】由曲线方程为知曲线关于轴成轴对称，关于原点成中心对称图形，在第一象限内，方程化为，即，在第一象限内，曲线是为圆心，为半径的圆在第一象限的圆弧（含坐标轴上的点），实际上整个曲线就是这段圆弧及其关于坐标轴．原点对称的图形加上原点，点到直线的距离为，所以所求最大值为故选：A5、D【解析】将已有数据从小到大排序，根据中位数的定义确定该组数据的中位数.【详解】由题设，将数据从小到大排序可得：，∴中位数为.故选：D.6、D【解析】根据双曲线的定义及，，应用勾股定理，可得关系，即可求解.【详解】设双曲线的右焦点为，连接,,,如图：根据双曲线的对称性及可知，四边形为矩形.设因为，所以，又，所以，,在和中，，①，②由②化简可得，③把③代入①可得：，所以，故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，双曲线的简单几何性质，勾股定理，属于难题.7、D【解析】因为，所以，，，，故选D8、B【解析】设等比数列的公比为，则，由可得，可得出，利用基本不等式可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，则，因为，则，所以，，则，当且仅当时，等号成立.故选：B.9、C【解析】先过点作于点，连接，根据题意，得到即为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，设，推出，进而可求出结果.【详解】过点作于点，连接，因为四棱柱为正方体，所以易得平面，因此即为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，设，则，，因为两点分别从点和点出发，以相同的速度在棱和上运动至点和点，所以，因此，所以，因为，所以，则，因此.故选：C.【点睛】本题主要考查求线面角的取值范围，熟记线面角的定义即可，属于常考题型.10、A【解析】,所以函数在上递增，在上递减，所以函数的最大值为时，y==故选A点睛：研究函数最值主要根据导数研究函数的单调性，找到最值，分式求导公式要记熟11、C【解析】由等差数列的性质可得，再应用基本不等式求mn的最大值，注意等号成立条件.【详解】由题设及等差数列的性质知：，又m，，所以，即，当且仅当时等号成立.所以mn的最大值为.故选：C12、A【解析】直线与曲线相切于点,可得求得的导数,可得,即可求得答案.【详解】直线与曲线相切于点将代入可得:解得:由,解得:.可得,根据在上,解得:故故选:A.【点睛】本题考查了根据切点求参数问题,解题关键是掌握函数切线的定义和导数的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】直接利用椭圆的定义即可求解.【详解】因为椭圆的焦点分别为，A为椭圆上一点，所以.故答案为：414、（答案不唯一）【解析】利用函数的奇偶性及其单调性写出函数解析式即可.【详解】结合幂函数的性质可知是奇函数，当时，，则符合上述两个条件，故答案为：（答案不唯一）.15、2【解析】根据曲线的方程，以及曲线的对称性、范围，结合每个选项进行逐一分析，即可判断.【详解】①将方程中的分别换为，方程不变，故该曲线关于原点对称，故正确；②因为，解得或，故，同理可得：，故错误；③根据②可知，该曲线不是封闭图形；联立与，可得：，将其视作关于的一元二次方程，故，所以方程无根，故曲线与没有交点；综上所述，③正确；④假设曲线C与曲线有4个交点且交点构成正方形，根据对称性，第一象限的交点必在上，联立与可得：，故交点为，而此点坐标不满足，所以这样的正方形不存在，故错误；综上所述，正确的是①③.故答案为：.【点睛】本题考察曲线与方程中利用曲线方程研究曲线性质，处理问题的关键是把握由曲线方程如何研究对称性以及范围问题，属困难题.16、【解析】利用圆锥的结构特征及侧面积公式即得.【详解】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线为l,又圆锥过轴的截面为正三角形，圆锥的侧面积为，∴，∴.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】甲、乙两人所付费用相同即为、、，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求出甲、乙两人所付费用相同的概率；【详解】两人所付费用相同，相同费用可能为0，40，80元，两人都付0元的概率为，两人都付40元的概率为，两人都付80元的概率为，故两人所付费用相同的概率为.18、（1）递减区间是，单调递增区间是，极小值（2）证明见解析（3）【解析】（1）对函数进行求导通分化简，求出解得，在列出与在区间上的表格，即可得到答案.（2）由（1）知，在区间上的最小值为，因为存在零点，所以，从而．在对进行分类讨论，再利用函数的单调性得出结论.（3）构造函数，在对进行求导，在对进行分情况讨论，即可得的得到答案.【小问1详解】函数的定义域为，，由解得与在区间上的情况如下：–↘↗所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值，无极大值【小问2详解】由（1）知，在区间上的最小值为因为存在零点，所以，从而当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点当时，在区间上单调递减，且，所以在区间上仅有一个零点综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点【小问3详解】设，①若，则，符合题意②若，则，故当时，，在上单调递增所以，存在，使得的充要条件为，解得③若，则，故当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增所以，存在，使得的充要条件为，而，所以不合题意综上，的取值范围是【点睛】本题考查求函数的单调区间和极值、证明给定区间只有一个零点问题，以及含参存在问题，属于难题.19、（1）；（2）【解析】（1）由及两点间距离公式可建立等式，消去b，即可求解出，主要两个根的的要舍去;（2）联立直线和椭圆的方程，利用弦长公式求得，再利用几何关系求得，代入，可解得c，从而得到椭圆的方程.【详解】（1）设，，因为，所以，整理得，得（舍），或，所以；（2）由（1）知，，可得椭圆方程为，直线的方程为，A，B两点的坐标满足方程组为，消去y并整理，得，解得：，，得方程组的解和,不妨设：，，所以，于是，圆心到直线的距离为，因为，所以，整理得：，得（舍），或，所以椭圆方程为：.【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率解题关键是找到关于a，b，c的等量关系，第二问的关键是联立直线与椭圆方程求出交点坐标，利用距离公式建立等量关系，求出c是求出椭圆方程的关键.20、（1）（2）【解析】（1）：根据正弦定理由边化角和三角正弦和公式即可求解；（2）：根据余弦定理和均值不等式求得最大值，利用面积公式即可求解【小问1详解】由正弦定理及，得，∵，∵，∴【小问2详解】由余弦定理，∴，∴，当且仅当时等号成立，∴的面积的最大值为21、（1）（2）或【解析】（1）把直线化为，得到抛物线的焦点为，求得，即可求得抛物线的方程；（2）联立方程组，得到，，结合，列出方程求得的值，即可求得直线的方程【小问1详解】解：将直线化为，可得直线恒过点，即抛物线的焦点为，所以，解得，所以抛物线的方程为【小问2详解】解：由题意显然,联立方程组，整理得，设，，则，，因为，所以，解得，所以或，所以直线的方程为或22、（1）（2）线段上存在一点，当时，平面.【解析】（1）设点到平面的距离为，则由，由体积