安徽省安庆市太湖县部分校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

太湖部分学校联考2025-2026学年上学期九年级12月月考试卷数学一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列函数中，是二次函数的是（）A. B. C. D.2.已知二次函数的图像如图所示，有下列个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）其中正确的结论有（）A.个 B.个 C.个 D.个3.已知抛物线，其中，若是方程的两根，且，则当时，的值（）A.小于零 B.等于零 C.大于零 D.与零的大小关系无法确定4.某拱桥呈抛物线形，水面宽度为8米时，拱顶离水面4米．当水面上升2米后，宽度变为（）．A.4米 B.米 C.米 D.6米5.如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别，，于点，，，若，，则的值等于（）A. B. C. D.6.已知的三边长分别为、、，的两边长分别是和，如果与相似，那么的第三边长应该是（）A. B. C. D.7.图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，其中物距，像距．若像的高度是m，则物体的高度AB为（）A. B. C. D.8.如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形顶点的位置上，连接、相交于点P，根据图中提示添加的辅助线，可以得到的值等于（）A. B. C. D.9.若二次函数与x轴只有1个公共点，则锐角等于（）A. B. C. D.10.如图，在中，，，垂足为，若，，则的长为（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．11.若函数是二次函数，则的值为________．12.已知反比例函数的图像在每一个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是_____．13.如图，在边长为1的正方形网格中，点都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是________．14.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，连接，以为边向上作等边三角形，则线段所在直线的函数表达式为______．三、计算题：本大题共2小题，共16分15.已知关于的二次函数与，这两个二次函数图象中只有一个图象与轴交于，两个不同的点．（1）试判断哪个二次函数图象经过，两点；（2）若点坐标为，试求该二次函数的对称轴．16计算：．四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17已知二次函数抛物线经过，．（1）求抛物线的表达式，并画出这个函数的图像；（2）根据图像，直接写出：①当函数值时，自变量的取值范围；②当时，函数值的取值范围．18.某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．（1）若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？19.如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：________，________；（2）判断与是否相似？并说明理由．20.如图．在中，，点D、B、C、E在同一条直线上，且．（1）求证：；（2）若，．求BD的长度．21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；（2）直接写出当时，的取值范围；（3）在轴上找一点，使值最大，求的最大值及点的坐标．22.如图，，平分，过点作交于，连接交于．（1）求证：．（2）若，，求的长．23.【综合与实践】烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动．如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：位置信息码头A在灯塔B北偏西方向14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处天气预警受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范．请根据以上信息，解答下列问题：（1）求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离；（2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）．

太湖部分学校联考2025-2026学年上学期九年级12月月考试卷数学一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列函数中，是二次函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数的识别．根据二次函数的定义：“形如，这样的函数叫做二次函数”，进行判断即可．【详解】解：A、，不是二次函数，不符合题意；B、，整理，得：，是一次函数，不符合题意；C、，是二次函数，符合题意；D、，不是二次函数，不符合题意；故选C．2.已知二次函数的图像如图所示，有下列个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）其中正确的结论有（）A.个 B.个 C.个 D.个【答案】A【解析】【分析】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换的熟练运用．由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：∵图像开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为，∴，，，∴①错误；当时，由图像知，把代入解析式得：，，∴②错误；∵，，，∴③正确；由①②知且，∴，即，∴，④正确；∵时，（最大值），时，，∵的实数，，，∴⑤错误．故正确的是③④，共2个，故选：A．3.已知抛物线，其中，若是方程的两根，且，则当时，的值（）A.小于零 B.等于零 C.大于零 D.与零的大小关系无法确定【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象和性质，根据题意得出抛物线与x轴交点坐标为，方程的两根可看做抛物线与直线的两个交点横坐标，两交点坐标为，画出图象进行分类讨论是解题的关键．①当都在x轴正半轴时，，②当在y轴两侧时，，③当在y轴两侧时，．【详解】解：把代入抛物线，解得：，∴抛物线与x轴交点坐标为，设，则方程的两根可看做抛物线与直线的两个交点横坐标，∴两交点坐标为，①当都在x轴正半轴时，由图可知，在下方，∴，∴，不符合题意；②当在y轴两侧时，，由图可知，，∴，符合题意；∴；③当在y轴左侧时，，由图可知，，∴，不符合题意；综上：当时，，故选：A．4.某拱桥呈抛物线形，水面宽度为8米时，拱顶离水面4米．当水面上升2米后，宽度变为（）．A.4米 B.米 C.米 D.6米【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，以点C为原点，以过点C且平行于水面的直线为x轴，以过点C且垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，由题意得，，利用待定系数法可得到，再求出时，x的值即可得到答案．【详解】解：如图所示，以点C为原点，以过点C且平行于水面的直线为x轴，以过点C且垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，由题意得，，把代入到中得：，解得，∴抛物线解析式为，当时，解得，∵，∴当水面上升2米后，宽度变为米，故选：B．5.如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别，，于点，，，若，，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】根据平行线分线段成比列得到，代入数值即可求解．【详解】直线，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查平行线线段成正比例，解题的关键是明确题意，找出问题所求的关键．6.已知的三边长分别为、、，的两边长分别是和，如果与相似，那么的第三边长应该是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．结合选项的数值进行分析，判断是否符合三边成比例，如果符合三边成比例，那么与相似，否则与不相似，即可作答．【详解】解：A、，，此时，故这两个三角形的三边成比例，符合与相似，故该选项符合题意；B、，，此时，∵，故这两个三角形的三边不成比例，不符合与相似，故该选项不符合题意；C、，，此时，∵，故这两个三角形的三边不成比例，不符合与相似，故该选项不符合题意；D、，，此时，∵，故这两个三角形的三边不成比例，不符合与相似，故该选项不符合题意；故选：A．7.图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，其中物距，像距．若像的高度是m，则物体的高度AB为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出进而根据列出比例式，代入数据，即可求解．【详解】解：由题意得：，∴，∴，∵，．，∴，∴物体的高度为．故选：C．8.如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形顶点的位置上，连接、相交于点P，根据图中提示添加的辅助线，可以得到的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，过点B作于H，先证明，进而解直角三角形得到，，再证明得到，则，利用勾股定理求出，再利用正切的定义求解即可．【详解】解：如图所示，过点B作于H，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即，故选：B．9.若二次函数与x轴只有1个公共点，则锐角等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数（a，b，c是常数，）的交点与一元二次方程根之间的关系及特殊角的三角函数值．二次函数的图象与轴只有一个公共点，则，据此即可求得．【详解】解：∵，，，根据题意得：，解得：，锐角等于，故选：D．10.如图，在中，，，垂足为，若，，则的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，同角的余角相等，由同角的余角相等得，则，设，则，然后通过勾股定理求出的值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，设，则，∵，∴由勾股定理得：，∴，解得：，∴，故选：．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．11.若函数是二次函数，则值为________．【答案】2【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义解答即可．一般地，形如是二次函数．【详解】∵是二次函数，∴，且，解得．故答案为：2．12.已知反比例函数的图像在每一个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是_____．【答案】##【解析】【分析】先根据反比例函数的图像在每一个象限内，随的增大而增大得出关于的不等式，求出的取值范围即可．【详解】解：∵反比例函数的图像在每一个象限内，随的增大而增大，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与性质、解不等式等知识，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．13.如图，在边长为1的正方形网格中，点都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是________．【答案】【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定，利用两边成比例夹角相等，证明三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．【详解】解：观察图象可知，．故答案为：．14.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，连接，以为边向上作等边三角形，则线段所在直线的函数表达式为______．【答案】【解析】【分析】过点B作轴于H，根据点A、B的坐标，得出，，进而得出，再根据勾股定理，得出，再根据正弦的定义，得出，再根据等边三角形的性质，得出，再结合角之间的数量关系，得出轴，再根据的长，得出点的纵坐标，进而得出点的坐标，然后利用待定系数法求解即可．【详解】解：如图，过点B作轴于H，∵点A，B的坐标分别为，，∴，，∴，∴，∴，∴，∵为等边三角形，∴，∴，∴轴，∴点的纵坐标为2，∴点C的坐标为，设线段所在直线的函数表达式为，把,代入解析式，可得：，解得：，∴线段所在直线的函数表达式为．故答案为：．【点睛】本题考查了坐标与图形、勾股定理、等边三角形的性质、锐角三角函数、待定系数法求一次函数表达式，解本题的关键是正确得出点的坐标．三、计算题：本大题共2小题，共16分15.已知关于的二次函数与，这两个二次函数图象中只有一个图象与轴交于，两个不同的点．（1）试判断哪个二次函数的图象经过，两点；（2）若点坐标为，试求该二次函数对称轴．【答案】（1）（2）当时，对称轴为直线当时，对称轴为直线【解析】【分析】本题考查了二次函数与横轴的交点坐标问题，根据二次函数与一元二次方程间的关系利用其根的判别式判断函数图象与横轴的交点问题．（1）首先计算两个函数的，大于零则与x轴有两个不同的交点，否则有一个或没有交点；（2）把已知点的坐标代入解析式，求得未知数的值后求对称轴即可．【小问1详解】解：对于关于的二次函数，由于，所以此函数的图象与轴没有交点．对于关于的二次函数，由于，所以此函数的图象与轴有两个不同的交点．故图象经过，两点的二次函数为；【小问2详解】解：将代入，得，整理，得，解得或，当时，对称轴为直线，当时，对称轴为直线．16.计算：．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了三角函数特殊值的运用以及四则运算的顺序．关键在于牢记三角函数特殊值．先明确三角函数的特殊值：，，，，．然后按照先算乘方、再算乘除、最后算加减的顺序计算即可．【详解】解：原式．四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知二次函数抛物线经过，．（1）求抛物线的表达式，并画出这个函数的图像；（2）根据图像，直接写出：①当函数值时，自变量的取值范围；②当时，函数值的取值范围．【答案】（1），见解析（2）①②【解析】【分析】(1)把坐标代入解析式转化方程组计算即可．(2)①计算抛物线与轴的交点坐标，根据题意计算即可．②利用数形结合思想计算即可．熟练掌握抛物线的性质，待定系数法是解题的关键．【小问1详解】∵二次函数抛物线经过，．∴解得，故抛物线的解析式为．画图像如下：．【小问2详解】①根据题意，得，解得，当函数值时，自变量的取值范围是．②∵，∴对称轴为直线，∴在自变量范围内，∴函数值的最大值为；∵抛物线开口向下，∴距离对称轴越近，函数值越大，∵，∴，函数值最小，，故函数值的取值范围是．【点睛】本题考查了待定系数法，函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．18.某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．（1）若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【答案】（1）x的值为2m；（2）当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2【解析】【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36，列一元二次方程，解方程即可求解；（2）设矩形养殖场总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．【小问1详解】解：∵BC=x，矩形CDEF面积是矩形BCFA面积的2倍，∴CD=2x，∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，依题意得：3x(8-x)=36，解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，此时x的值为2m；；【小问2详解】解：设矩形养殖场的总面积为S，由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，∵墙的长度为10，∴0＜3x≤0，∴0＜x≤，∵-3<0，∴x＜4时，S随着x的增大而增大，∴当x=时，S有最大值，最大值为，即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．19.如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：________，________；（2）判断与是否相似？并说明理由．【答案】（1）；（2）相似，理由见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出的度数，根据和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段的长度．（2）根据相似三角形的判定定理：对应边成比例，夹角相等，即可证明与相似．【小问1详解】，；故答案为：；．【小问2详解】相似，理由如下:，又，．【点睛】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定，掌握相似三角形判定定理并根据图形得到两个三角形的边与边、角与角的关系是解题关键．20.如图．在中，，点D、B、C、E在同一条直线上，且．（1）求证：；（2）若，．求BD的长度．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键．（1）等边对等角结合平角的定义，得到，结合，即可得证；（2）根据相似三角形的性质，进行求解即可．【小问1详解】证明：∵，∴，∴，∴，又∵，∴；【小问2详解】解：∵，∴，∵，，∴，∴．21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；（2）直接写出当时，的取值范围；（3）在轴上找一点，使的值最大，求的最大值及点的坐标．【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为（2）的取值范围为或（3）的最大值为，点的坐标为【解析】【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据点的坐标求线段长，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据两点的横坐标及直线与双曲线的位置关系求x的取值范围；（3）根据一次函数，求得与y轴的交点P，此交点即为所求．【小问1详解】解：把点的坐标代入，可得，反比例函数的表达式为，把点的坐标代入，可得，，把，的坐标代入，可得，解得，一次函数的表达式为．【小问2详解】解：∵，，结合图象可得，当时，的取值范围为或．【小问3详解】解：在中，令，则，一次函数图象与轴的交点为，该点即为所要求的点，此时，的值最大，为的长．令，则，，，的最大值为，点的坐标为．22.如图，，平分，过点作交于，连接交于．（1）求证：．（2）若，，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由平分得到，则可判断，再利用相似三角形的性质即可得到结论；（2）先证明得到，再证明得到，则，接着利