【高中数学】解析几何压轴题（含答案解析）

一．选择题则∠APB为(),则实数λ1+λ2=()A．4．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l与双曲线C1交于A，B两点，线段AB中点M在一象限且在抛物线y2=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，则l的斜率为()A．的最小值为()交双曲线右支于点P，若=（+则双曲线的离心率为()A．7．设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为()A．l9．已知抛物线过点A（-1，0B（1，0且以圆x2+y2=4的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程()A．10．如图，已知半圆的直径|AB|=20N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为()A．A．(A．814．已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为()A．15．已知双曲线上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在抛物线y2=9x上，则实数m的值为()A．4则∠APB为().考点考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：压轴题．分析：根据题设条件推导出以AB为直径的圆与右准线相离．由此可知∠APB为锐角．解答：解：如图，设M为AB的中点，过点M作MM1垂直于准线于点M1，分别过A、B作AA1、BB1垂直于准线于A1、B1两点．∴以∴以AB为直径的圆与右准线相离．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时作出图形，数形结合，往往能收到事半功倍之效果．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．设Q、P到l设Q、P到l的距离分别为d1，d2，垂足分别为M，N，则PN∥MQ，=，又由双曲线第二定义可知解答：解：设Q、P到l的距离分别为d1，d2，垂足分别为点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时利用双曲线第二定义综合平面几何知识求解．,则实数λ1+λ2=()考点考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；压轴题．分析：设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x-c将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，将各点坐标代入得，点评：本题以向量为载体，考查直线与椭圆的位置关系，是椭圆性质的综合应用题，解题时要注意公式的合理选取和灵活运用．4．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l与双曲线C1交于A，B两点，线段AB中点M在一象限且在抛物线y2=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，则l的斜率为()考点考点：圆锥曲线的综合．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的定义，确定M的坐标，利用点差法将线段AB中点M的坐标代入，即可求得结论．解答：解：∵M在抛物线y2=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，两式相减，并将线段AB中点M的坐标代入，可得故选故选A．点评：本题考查双曲线与抛物线的综合，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．的最小值为()考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．由题意可得：椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=1和（x-3）2+y2=4的圆心，再结合椭圆的定义与圆的有关性质可得答案．点评：本题考查圆的性质及其应用，以及椭圆的定义，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．交双曲线右支于点P，若=（+则双曲线的离心率为()本题考查圆与圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件．圆与圆锥曲线的综合．综合题；压轴题．7．设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为()A．考点考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；压轴题．分析：若以FA为直径的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点，则M、N重合（设为M此时A为椭圆的右焦点，由此可知=，从而能够得到结果．解答：解：若以FA为直径的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点，则M、N重合（设为M此时A为椭圆的右焦点，则故选A．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意合理地选取特殊点．l专题：计算题；压轴题．设设P（x，y欲动点P的轨迹方程，即寻找x，y之间的关系式，利用向量间的关系求出向量、的坐标后垂直条件即得动点P的轨迹方程．y1，y2均不为零）点评：本题主要考查了轨迹方程的问题．本题解题的关键是利用了向量平行和垂直的坐标运算求得轨迹方程．考点考点：圆锥曲线的轨迹问题．专题：综合题；压轴题．B到准线的距离等于其到焦点的距离，然后两式平方后分别相加和相减，联立后，即可求得x和y的关系式．设抛物线焦点为（x，y根据抛物线定义可得∴抛物线的焦点轨迹方程为点评：本题以圆为载体，考查抛物线的定义，考查轨迹方程，解题时利用圆的切线性质，抛物线的定义是关键．10．如图，已知半圆的直径|AB|=20N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为()考点考点：圆与圆锥曲线的综合；抛物线的定义．专题：计算题；压轴题．N在以A为焦点，PT为准线的抛物线上，联立半圆方程和抛物线方程结合根与系数的关系，利用抛物线的定义即可求得答案．解答：解：以AT的中点O为坐标原点，AT的中垂线为y轴，M，N在以A为焦点，PT为准线的抛物线上；以AT的垂直平分线为y轴，TA方向为x轴建立坐标系，则M，N在以A为焦点，PT为准线的抛物线上；以AT的垂直平分线为y轴，TA方向为x轴建立坐标系，则有抛物线方程为抛物线方程为y2=8x（y≥0联立半圆方程和抛物线方程，点评：点评：本小题主要考查抛物线的定义、圆的方程、圆与圆锥曲线的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．考点考点：圆锥曲线的共同特征．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．故选故选A．点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，利用双曲线、椭圆的定义，建立方程是关键．考点考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；压轴题．从而得到实数k的取值范围．于直线y=1上方的部分（包含圆与直线y=1的交点C和D是一个半圆，如图：得故选A．点评：点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，倾斜角和斜率的关系，体现了数形结合的数学思想，判断k′＜k≤KBC，是解题的关键．考点考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；压轴题．分析：根据向量关系，用坐标进行表示，求出点A，B的坐标，再利用抛物线的定义，可求|AF|+|BF|．解得点评：本题重点考查抛物线的定义，考查向量知识的运用，解题的关键是确定点A，B的横坐标．14．已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为()A，B的中点坐标是(,),且AB与直线垂直=+m点评：点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．15．已知双曲线上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在抛物线y2=9x上，则实数m的值为()考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；压轴题．且在MN上点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查对称性，考查抛物线的标准方程，解题的关键是确定MN中点P考点：椭圆的简单性质；椭圆的应用．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．（3）利用椭圆的定义、余弦定理，及基本不等式，即可求cos∠F1QF2的最小值．解1）∵椭圆的离心率为，且经过点（3，1建立方程，求出几何量，即可故故A2Q斜率的取值范围为()…（8分）点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查基本不等式的运用，综合性曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．(Ⅰ)设P，T两点的横坐标分别为x1，x2，证明x1•x2=1；考点考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：(Ⅰ)设直线AP的方程与椭圆方程联立，确定P、T的横坐标，即可证得结论；(Ⅱ)利用•≤15，结合点P是双曲线在第一象限内的一点，可得1＜x1≤2，利用三角形的面积公式求面积，从而可得S-S的不等式，利用换元法，再利因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1＜x1≤2．由(Ⅰ)知，x1•x2=1，即．点评：本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力．,且AB⊥AF2．(Ⅰ)若过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：x-y-3=0相切，求圆C方程及椭圆D的方程；(Ⅱ)若过点T（3，0）的直线与椭圆D相交于两点M、N，设P为椭圆上一点，且满足丽+丽t丽（O为坐标直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用．压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．(Ⅰ)利用，可得F1为BF2的中点，根据AB⊥AF2，可得a，c的关系，利用过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：x-√-3=0相切，求出a，即可求出椭圆的方程与圆的方程；(Ⅱ)设直线MN方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，即可求实数t取值范围．因为AB⊥AF2，所以在RtΔABF2中，，又因为,所以F1为BF2的中点，又因为所以因为过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：：，(Ⅱ)设直线MN方程为y=k（x-3M（x1，y1N（x2，y2P（x，y则∴k2<,∵k2∵k2<点评：本题考查椭圆方程与圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查直线与椭圆的位置关系，难度大19．已知F1、F2为椭圆C：的左，右焦点，M为椭圆上的动点，且•的最大值为（2）过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点．试判断∠MAN是否为直角，并说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．（2）设直线MN的方程为x=ky-6并与椭圆联立，利用韦达定理求•的值，从而说明是直角．解答：解1）设M（x'，y'故椭圆的方程为．所以∠所以∠MAN为直角．点评：本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系应用，同时考查了向量的应用，属于难题．考点考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．由此能求出由此能求出ΔPBC面积的最小值．点评：点评：本昰考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到抛物线的性质、抛物线和直线的位置关系、圆的简单性质、均值定理等基本知识，综合性强，难度大，对数学思想的要求较高，解题时要注意等价转化思想的合理运用．(Ⅰ)求圆心M的轨迹方程M；圆与圆锥曲线的综合；直线与圆相交的性质．综合题；压轴题．(Ⅱ)设直线y=kx+10与方程M的曲线相交于A，B两点．如果抛物y2=-2x上存在点N使得|NA|=|NB圆与圆锥曲线的综合；直线与圆相交的性质．综合题；压轴题．由此能求出圆心M的轨迹方程．(Ⅱ)设A（x1，y1B（x2，y2由，∵①有相异二解的条件为，点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．（1）求直线l1和l2交点的轨迹，说明轨迹是什么曲线，若是二次曲线，试求出焦点坐标和离心率．考点考点：圆锥曲线的轨迹问题．专题：综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．a＜-1说明轨迹曲线，利用二次曲线判断形状，直接求出焦点坐标和离心率．（2）通过a＞0，y≥1时，说明轨迹的图形，求出轨迹上的点P（x，y）到点A（0，b）距离的表达式，通点评：本题考查知识点比较多，涉及参数方程，双曲线方程椭圆方程，圆的方程，两点的距离公式等等，涉及分①当a＞0时，轨迹是双曲线，焦点为，离心率类讨论思想二次函数的最值，是难度比较大，容易出错的题目，考试常靠题型，多以压轴题为主．类讨论思想二次函数的最值，是难度比较大，容易出错的题目，考试常靠题型，多以压轴题为主．23．如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B'；折痕与AB交于点E，以EB和EB’为邻边作平行四边形EB’MB．若以B为原）：考点考点：圆锥曲线的轨迹问题；向量在几何中的应用．专题：计算题；压轴题．分析1）设出M的坐标，根据两点关于直线对称时两点连线与对称轴垂直，且两点的中点在对称轴上，再根据平行四边形的对角线对应的向量等于两邻边对应向量的和得到点M的轨迹方程；（2）利用函数在切点处的导数值为曲线的切线斜率，求出腰A1B1的方程，分别令y=0和y=1求出与两底的交点横坐标，利用梯形的面积公式表示出梯形A1B1C1D1面积，利用基本不等式求出其最小值．显然直线l的斜率存在，故不妨设直线l的方程为y=kx+b，则对于有，，，，所以点评：本题考查两点关于一条直线对称的充要条件；向量运算的几何意义；曲线在切点处的导数值为曲线的切线斜率；利用基本不等式求函数的最值．属于一道难题．（2）已知直线l与平面α成φ,平面α外的点A在直线l上，点B在平面α上，且AB与直线l成θ,②若任意给定φ和θ,研究点B的轨迹，写出你的结论，并说明理由．考点考点：圆锥曲线的轨迹问题；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：综合题；压轴题．理可知底面半径为2，由圆周公式2πR可算出底面周长．平方整理得，由此知点B的轨迹．<φ<φ<时，点B的轨迹为椭圆；当θ=φ<时，点B的轨迹为抛物线；当θ>φ时，点B的轨迹为双曲线．高和底面半径与母线构成一个等腰直角三角形，即高和底面半径长度一样，则由勾股定理可知底面半径为则由勾股定理可知底面半径为2，则由圆周公式2πR可算出底面周长4π;（2分）（2）①设l∩α=C，点A在平面α上的射影为点O．如图建立空间直角坐标系，∴屈·=-ac．②设l∩α=C，点A在平面α上的射影为点O．如图建立空间直角坐标系，>0，即θ<φ时，上式为椭圆方程；<0，即θ>φ时，上式为双曲线方程14分）当θ<φ<时，点B的轨迹为椭圆；当θ>φ时，点B的轨迹为双曲线16分）点评：点评：第（1）题考查圆锥的性质和应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．第（2）题考查圆锥曲线的轨迹的求法和判断，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．25．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(0,√区)，且长轴长与短轴长的比是√区:1．于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；（3）求ΔPAB面积的最大值．考点考点：椭圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：压轴题．分析1）待定系数法求椭圆的方程．（2）设出A、B坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，求出A、B横坐标之差，纵坐标之差，从而求（3）设出AB直线方程，与椭圆方程联立，运用根与系数的关系求AB长度，计算P到AB的距离，计算使用基本不等式求最大值．解：(Ⅰ)设椭圆解：(Ⅰ)设椭圆C的方程为．(Ⅱ)由题意知，两直线(Ⅱ)由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k，所以直线AB的斜率为定值．(Ⅲ)设AB的直线方程为，由得4x2+2,Enxtn2-4=0．由A=(2,En)2-16(n2-4)>0，得m2＜8．此时，由两点间的距离公式可得),根据点到直线的距离公式可得P到AB的距离为，因为因为m2=4使判别式大于零，所以当且仅当m=±2时取等号，所以ΔPAB面积的最大值为点评：点评：直线与圆锥曲线的综合问题，注意应用一元二次方程根与系数的关系，式子的化简变形，是解题的难点和（II）ΔABC能否为等腰三角形？若能，这样的三角形有几个？考点考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线中的最值与范围问题．（II）当等腰直角三角形ABC的两条腰AB与BC不关于y轴对称时，设出AB的方程为y=kx+1（k＞0BC的方程为y=（II）当等腰直角三角形ABC的两条腰AB与BC不关于y轴对称时，设出AB的方程为y=kx+1（k＞0BC的方程为y=-x+1，利用直线与方程与椭圆方程联立，利用等腰直角三角形ABC中借助基本不等式即可求得a的取值范围；同理可求两条腰AB与BC关于y轴对称时a的取值范围．（II）当等腰直角三角形ABC的两条腰AB与BC不关于y轴对称时，作图如右，又不关于y轴对称的还有另一个，关于y轴对称的必有一个，因此，当a＞时，以B为直角顶点的等腰三角ABC共三个．当1＜a≤时，以B为直角顶点的等腰三角ABC只有一个，此时两腰关于y轴对称．点评：本题考查椭圆的性质，着重考查椭圆的参数方程的应用，考查直线的点斜式、截距的综合应用，突出考查点评：本题考查椭圆的性质，着重考查椭圆的参数方程的应用，考查直线的点斜式、截距的综合应用，突出考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查转化思想、方程思想、分类讨论思想的综合应用，考查逻辑思维、创新思维、综合运算能力，属于难题．②求的取值范围．考点考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；压轴题．分析1）由抛物线的方程求出抛物线的焦点，写出过焦点的直线l的方程，和抛物线方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求出P，Q的横坐标的和，借助于抛物线的定义把弦长|PQ|转化为两点横直线在y轴上的截距与点的纵坐标的比，从而得到要证得结论；结合基本不等式代入①后得到结论，或利用分类讨论的方法求解的取值范围．解答1）解：∵F为抛物线的焦点，∴设直线，由(﹡)得由(﹡)得x1+x2=2k，带入上式得|PQ|=2k2+2≥2，当仅当k=0时|PQ|的最小值为2；由(﹟)式△>0得k2+2b＞0即k2＞-2b综上，的取值范围为（2，+∞).点评：点评：本题考查了直线与圆锥曲线的综合题，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，直线与圆锥曲线关系问题，常采用直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，这是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是难题．（1）若抛物线在点B处的切线恰好与圆C