《弧度制》教学教案

《弧度制》精品教案教学目标教学目标：1、了解弧度制引入的必要性，理解弧度制定义的合理性，能正确进行弧度与角度的换算；2、了解角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，会用弧度制解决简单的实际问题；3、经历建立弧度制的探究过程，感受引入弧度制的必要性，了解数学知识发展的过程，提升数学抽象，逻辑推理的数学素养；教学重点：理解弧度的定义；正确进行弧度与角度的换算教学难点：弧度制概念的生成教学过程时间教学环节主要师生活动3分钟问题导入问题1、初中学过哪些度量角的单位？的角是如何定义的吗？度、分、秒又如何换算呢？有度、分、秒.将一个圆的圆周分成360等份，每一份的圆弧所对的圆心角叫做1度的角.这种度量角的单位制叫做角度制.问题2、你知道等于多少吗？预计：认为两个量不能相加，因为单位不同，是角度，而是实数，所以无法相加.我们知道度量不同的量要用不同的单位，对于同一种量，也可以运用不同的度量单位，比如，测量身高时，可以使用米，也可以使用尺；测量重量时，在不同的条件可以使用吨、公斤，也可以使用克等.此外还有国际公制，有中国市制，那么，度量角的单位是否只有角度制一种呢？历史背景：公元六世纪，印度数学家家阿耶波多在创新制作正弦表时,就发现了有一个问题不好解释，比如，他发现了什么问题呢？在这个等式中，单位制是不同的，左边是60进制,右边是10进制为单位，单位不统一的两个数学对象分别放在等式的左右两侧,所以阿耶波多想到了能否对角的度量采用十进制.【设计意图】引发学生的认知冲突，让学生意识到角度不是实数，产生对角的单位有必要重新认知的需要，为引入弧度制作准备.7分钟探究新知探究活动：根据角的动态定义，射线绕端点旋转到形成角.在旋转过程中，射线上点（不同于端点）的轨迹是一条圆弧.记.如果要把角的单位统一成十进制，那么就必须借助用十进制表示的量，这里很明显涉及到两个量：弧长和半径.问题3：射线上三个点旋转到点，在这个过程中，都涉及到哪些量，你能发现它们之间蕴含着哪些相等关系与不等关系？涉及到三个量：弧长、半径和圆心角，显然，弧长、半径是不等的，也不相等，但角度是相等的.【设计意图】从历史背景中引出数学问题，引导学生在熟悉的生活体验中，用数学的眼光进行观察相等关系与不等关系，为下面挖掘“弧长与半径比值为定值”这一隐含的数学现象做好铺垫.追问1、圆心角、半径、弧长这三个量之间存在什么关系呢？能否用我们以前学过的数学公式来表示他们之间的关系？在初中我们学过弧长公式.追问2、你能否用弧长公式解释在这个运动过程中，弧长和半径都发生变化，而圆心角不变吗？圆心角与弧长和半径有关，.当圆心角不变时，为定值.所以，圆心角所对的弧长与半径的比值只与角的大小有关.如图，对同一个圆心角，可得：.因此，弧长与半径的比值只与圆心角的大小有关，当圆心角确定时，也唯一确定.这就让我们想到可以用弧长与半径的关系度量圆心角.当弧长与半径相等时，是一个定值，此时圆心角等于度.我们把这时的比值1记为1个单位的角,就可以用这个1个单位的角去表示其他的角.比如当弧长时，所对圆心角为2个单位的角；当弧长时，所对圆心角为个单位的角，这里是一个实数，这样可以用来度量角的大小，解决了用实数度量角的大小问题.这就是度量角的另一种单位制——弧度制.弧度单位用符号表示，读作弧度.规定：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作.【设计意图】通过对初中所学的弧长公式的回顾与变形，不仅从代数关系上说明了与角的大小有关，而且这个比值是一个实数，有弧长的参与，学生自然体会到弧度制的合理性，同时让学生经历从观察、分析到抽象、概括的过程，培养学生的理性数学思维.6分钟理解新知弧度制的精髓是把角度和弧度的度量统一起来，极大的简化了与之有关的运算，在高等数学里，优势相当明显.问题4：你能否作出大小的角？根据定义，，即时，弧长所对圆心角为.问题5：任意角都可以用的比值表示吗？正角、负角和零角的弧度数如何规定呢？任意角都是从旋转角度定义的，当半径一定时，旋转量从弧长可以判断，符号由旋转方向决定，所以任意角都可以用表示.正角、零角、负角分别用正数、零、负数表示.规定：如果半径为的圆的圆心角所对弧长为，那么角的弧度数的绝对值是，这里，的正负由角的终边的旋转方向决定.追问:反过来任意一个实数都可以表示角吗？这种表示是唯一的吗？对于任意一个实数满足，那么，此时的绝对值大小确定，再由的旋转方向确定的正负符号，所以任意一个实数都可以表示唯一确定的角.这样就在角的集合与实数集之间建立了一一对应关系.【设计意图】帮助学生进一步理解弧度制可以度量角的大小，而且可以和实数集合建立一一对应的关系.早在18世纪，瑞士数学家欧拉，在他的名著《无穷小分析引论》中倡导使用弧度制，统一了角与长度的单位，从而使得对三角函数的研究大为简化，并提出了弧度制的思想.而弧度这个词产生于1873年，爱尔兰工程师詹姆斯·汤姆森（JamesThomson）教授在其编著的一本考试集中创造性地首先使用了“弧度”一词.他将“半径（radius）”的前四个字母与“角(angle)”的前两个字母组合在一起，构成了一个新词radian，被人们广泛接受.【设计意图】在通过介绍弧度制及其名称符号的发展历史，让学生感受数学文化丰富的历史沉淀.5分钟应用新知问题6：角度制、弧度制都是角的度量单位，它们之间应该如何换算呢？当角的终边旋转一周，所得到周角的弧度数为，而在角度制下为，即，，所以.反过来可得.例1.（1）把化成弧度（2）把化成角度（用度表示，精确到）借助前面的结论，可得用弧度表示角的大小时，只要不引起误解，“弧度”二字或“”可以省略不写．但是“°”为单位不能省.练习：填写下面特殊角的度数与弧度数的对应表度弧度【设计意图】通过实际操作，让学生明白角度制与弧度制可以度量同一个角，所以它们之间可以互换并要掌握这种互换，同时要注意规范及掌握一些特殊角的角度和弧度值.例2利用弧度制证明下列关于扇形的公式（1）；（2）；（3）.其中是圆的半径，为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积.解：从我们前面得到的弧度制公式出发，可得.下面我们证明（2）（3）初中我们学过，在角度制下，半径为，圆心角为的扇形的弧长公式和面积公式分别为，.将圆心角转化为弧度，得.所以，代入公式得到.再将代入上式即得.【设计意图】让学生体会弧度制，统一了度量弧与半径的单位，从而大大简化了有关公式及运算，通过例题进一步让学生熟悉公式，学会应用公式解决简单的实际问题.2分钟归纳小结本节课我们学习了什么？（1）在数学知识上我们学习了任意角的新度量制——弧度制.①弧度制的本质是用线段的长度度量角的大小，具体来说就是长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号表示，读作弧度；②如果半径为的圆的圆心角所对弧的长为，那么角的弧度数的绝对值是，这里，的正负由角的终边的旋转方向决定；③借助公式进行任意角的弧度制和角度制之间的互化，在今后的三角函数的学习中要熟练掌握特殊角的弧度数.（2）数学知识大多来源于现实或自然科学中出现的问题，我们通过对问题的理解、分析，学会用数学的眼光观察问题、用数学的思维思考问题、用数学的语言表达问题.在今天的学习中，我们运用了数形结合、转化与化归、特殊与一般等数学思想方法，在今后的学习中我们还要进一步熟悉和掌握这些思想方法.布置作业教科书P175-176，习题5.1第5、6、7、8题课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021潍坊高一月考)2100°化成弧度是()A.353π B.10π C.283π D.答案A解析2100°=2100×π180=35π2.若α=-3,则角α的终边在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案C解析因为-π<-3<-π2,所以α=-3的终边在第三象限3.将2025°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是()A.10π-π4 B.10π+C.12π-3π4 D.10π答案B解析2025°=5×360°+225°,又225°=5π4,故2025°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式为10π+4.(2021吉林高一期末)某市在创建全国文明城市活动中,需要在某老旧小区内建立一个扇形绿化区域.若设计该区域的半径为20米,圆心角为45°,则这块绿化区域占地平方米.

答案50π解析由题意可得圆心角为π4,则这块绿化区域占地面积为12×π4×202=505.设集合M=αα=kπ2-π5,k∈Z,N={α|-π答案-解析当k=-1,0,1,2时M中的角满足条件,故M∩N=-76.如图,以正方形ABCD中的点A为圆心、边长AB为半径作扇形EAB,若图中两块阴影部分的面积相等,则∠EAD的弧度数大小为.

答案2-π解析设AB=1,∠EAD=α,∵S扇形ADE=S阴影BCD,则由题意可得12×12×α=12-π×124,∴解得α7.已知α=-800°.(1)把α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角;(2)求γ,使γ与α的终边相同,且γ∈-π解(1)∵-800°=-3×360°+280°,280°=14π9,∴α=14π9+(-3)×2π.∵α与14π9(2)∵与α终边相同的角可写为2kπ+14π9,k∈Z的形式,而γ与α终边相同,∴γ=2kπ+14π9,k∈Z.又∴-π2<2kπ+14π9<π2,k∈∴γ=-2π+14π9=-等级考提升练8.集合αkπ+π4≤α≤kπ+π2,k∈Z中角所表示的范围(阴影部分)是()答案C解析k为偶数时,集合对应的区域为第一象限内直线y=x左上部分(包含边界),k为奇数时,集合对应的区域为第三象限内直线y=x的右下部分(包含边界).9.(2021四川成都高一期末)已知扇形的周长是8cm,当扇形面积最大时,扇形的圆心角的大小为()A.π3 B.π4 C.1 D答案D解析∵扇形的周长为8cm,扇形半径为r,弧长为l,∴2r+l=8,即l=8-2r,0<r<2,∴S=12lr=12(8-2r)r=-r2+4r=-(r-2)2+∴当半径r=2cm时,扇形的面积最大为4cm2,此时,α=lr=42=210.(2021内蒙古赤峰松山高一月考)《九章算术》中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=12×(弦×矢+矢2),弧田(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成,公式中的“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有圆心角为23π,矢为4的弧田,按照上述方法计算出其面积是(A.4+43 B.8+43C.8+83 D.8+163答案D解析如图所示:由题意可得,∵∠AOB=2π3,∴∠AOD=∵OA=8,OD=4,则AD=OA2-O即弦AB=83,矢CD=4,∴弧田的面积=12×(83×4+42)=163+8.故选D11.(多选题)下列转化结果正确的是()A.67°30'化成弧度是3B.-10π3化成角度是C.-150°化成弧度是-7D.π12答案ABD解析对于A,67°30'=67.5×π180=3对于B,-10π3=-10π3×180π°=-对于C,-150°=-150×π180=-5π6对于D,π12=π12×180π°=12.(多选题)圆的一条弦的长等于半径,则这条弦所对的圆周角的弧度数为()A.π6 B.π3 C.2π3答案AD解析设该弦所对的圆周角为α,则其圆心角为2α或2π-2α,由于弦长等于半径,所以可得2α=π3或2π-2α=π3,解得α=π6或α13.(2021天津和平区校级高一期末)已知扇形的周长是12,面积是8,则扇形的中心角的弧度是.

答案1或4解析设扇形的半径为r,弧长为l,则l+2r=12,S=12lr=解得r=2,l=8或r=4,l=4,可得α=lr=1或414.若角α的终边与角π6的终边关于直线y=x对称,且α∈(-4π,4π),则α=.答案-11π3,解析如图所示,设角π6的终边为OA,OA关于直线y=x对称的射线为OB,则以OB为终边且在0到2π之间的角为π故以OB为终边的角的集合为αα=2kπ+π3,k∈Z.∵α∈(-4π,4π),∴-4π<2kπ+π3<4π∴-136<k<11∵k∈Z,∴k=-2,-1,0,1.∴α=-11π3,-15.如图,已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求:(1)AB的长;(2)弓形(阴影部分)的面积.解(1)∵120°=120π∴lAB=6×2π3=∴AB的长为4π.(2)过点O作OD⊥AB于点D,则D为AB的中点,AB=2BD=2·OB·cos30°=2×6×32=63OD=OB·sin30°=6×12=3∵S扇形AOB=12lAB·OB=12×4π×6S△OAB=12·AB·OD=12×63×3=9∴S弓形=S扇形AOB-S△OAB=12π-93.∴弓形的面积为12π-93.新情境创新练16.单位圆上有两个动点M,N,它们同时从点P(1,0)出发,沿圆周运动,点M按逆时针方向每秒旋转π6弧度,点N按顺时针方向每秒旋转π(1)点M,N首次在点P相遇需要多长时间?(2)在1分钟内,点M,N在第二象限内相遇的次数为多少?解(1)设从点P(1,0)出发,t(t>0)秒后点M,N首次在点P相遇,设此时是