【《三维网格模型变换中图信号的傅里叶变换及采样重构分析案例》1800字】

三维网格模型变换中图信号的傅里叶变换及采样重构分析案例 一个三维网格模型通常由两组向量表示，即M=V,F；其中V=v1,v2,…,v 我们可以把三维网格模型看作一无向图，把网格信息当作是一个图信号来处理。一维信号的离散傅里叶变换(DiscreteFourierTransform)将离散周期函数映射到一组正交基，这组正交基由固定周期的三角函数构成。DFT基函数表达式：CS(2-1) 所以这个一维信号可以表示成在这一组正交基上的坐标值和：f(2-2)图2-1一维信号的傅里叶变换同样的，图信号的傅里叶变换（GraphFourierTransform）也是将图信号线性映射到一组正交基上，不过这组正交基不是由三角函数构成。图信号的傅里叶变换的基取决于图的结构。但是与离散傅里叶变换一样，GFT的通过线性映射之和得到的也是包含不同频率的成分。在三角函数中，频率的定义是三角函数周期的倒数，也就是说频率越高周期越短，在单位时间内震荡变化越快。一维信号的短时傅里叶变换能够将其分解为不同频率的正弦波的累加和。所以我们可以通过傅里叶变换对一维信号的不同频率进行分离，从而对其进行研究或编辑。我们把频率的概念扩展到图信号中去，把图信号的“频率”定义为图节点的变化程度。那么这个变化程度可以表示为当前节点的信号值与邻接节点的信号值之差的加权和，即:z(2-3)其中Ni为节点i而整个图的变化量可以定义为所有节点的“频率”的加权和：Δ=(2-4) 不难看出上式其实就是xTLx，其中L是图的拉普拉斯矩阵。λ=uTLu表示的是图信号在向量u上的震荡程度，也就是在基Λ=(2-5)如果我们认为U是一组标准正交基，也就是每个基的为单位长度的向量，那么U作为一个正交矩阵:UTΛ=(2-6)L=(2-7)我们可以发现这一组标准正交基实际上就是图信号的单位化特征向量。而每一个标准正交基上的震荡幅度就是这个特征向量对应的特征值。所以我们已经证明了如果把一个图信号映射到以这个图的单位化特征向量为基的一组标准正交基上，我们就可以将这个图信号分解为不同频率的信号，而这个图信号在该频率下的震荡幅度就是这个特征值对应的特征向量。也就是说如果我们把这一组特征向量按照其对应的特征值的大小进行由小到大排列：0=我们把这组按照递增顺序排列的特征值叫做拉普拉斯矩阵的谱，较小的特征值表示震荡幅度小，对应的特征值是网格上变化平缓的基函数，较大的特征值编码的则是图信号的高频部分。所以我们可以图信号的傅里叶变换：对于一个无向图G上的信号x，其傅里叶变换为：a(2-8) ak表示图信号x在第k个特征向量，也就是第kx(2-9) 这一步叫做图的傅里叶逆变换，也就是图信号重构的过程。 我们将图信号进行傅里叶变换的目的是为了将图信号分解为不同频率的信号。从而舍弃图信号中变化比较剧烈的部分，也就是高频部分，只保留低频部分，达到将图信号细节剥离的目的。 如果我们只对低频部分进行采样，也就是采用第k,A(2-10)重构的过程与是采样的一个逆过程：x(2-11) 我们把三维网格模型的点的坐标作为图信号的信号值，那么网格顶点的可以表示为：V其中：(2-12)如果我们只对网格的低频