陕西省咸阳市实验中学2025-2026学年高二上学期第二次质量检测数学试卷（解析版）

咸阳市实验中学2025—2026学年度第一学期第二次质量检测高二数学注意事项：1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效.4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效.5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平面的位置关系可得法向量关系，根据坐标运算可求结果.【详解】因为，所以，所以，所以，故选：D.2.若直线与直线平行，则与之间的距离是（）A.3 B.1 C. D.4【答案】A【解析】【分析】先利用平行直线的判定可求出，再利用平行直线间的距离公式可得答案.【详解】对于

：斜率

，对于

：，斜率

，因为，所以，即：，因此，

的方程为：，即，两条平行直线之间的距离为：.故选：A3.已知定点，，动点满足，则动点的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】题目条件符合椭圆的定义，求出即可写出轨迹方程【详解】结合椭圆定义可知，动点的轨迹为以，为焦点且长轴长为6的椭圆，，，所以，动点的轨迹方程为.故选：B4.如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地针式回转缆悬索桥.大桥主跨长约500米，主塔高约100米，缆悬索是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔端点到焦点的距离约为（）A.1350米 B.758米 C.725米 D.558米【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，建立直角坐标系，求出其准线方程，结合抛物线的定义即可求解.【详解】以为原点，直线为轴，过且与主塔平行的直线为轴，建立平面直角坐标系，连接，，则，设抛物线的方程为，则，解得，因此抛物线的焦点为，准线方程为，利用抛物线的定义得：.故选：C5.在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线的方程为，经过点且一个法向量为的平面的方程为.现给出平面的方程为，经过点的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出直线的一个方向向量和平面的一个法向量，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】直线的方程可化为，所以直线的一个方向向量为，易知平面的一个法向量为，所以.因此，直线与平面所成角的正弦值为.故选：B.6.已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由双曲线的定义得出，即得出的周长为，由点为线段与双曲线的交点时，周长取最小值，即可求解.【详解】如下图所示：在双曲线中，，，则，则、，由双曲线的定义可得，所以，所以的周长为，当且仅当点为线段与双曲线的交点时，等号成立，故周长的最小值为.故选：C.7.已知圆上到直线的距离等于1的点恰有两个，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断圆心到直线的距离，利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围.【详解】圆的圆心是，半径，而圆上恰有两个点到直线的距离等于1，所以圆心到直线的距离，满足，即，解得或.故选：D.8.已知椭圆的右顶点，上顶点和上焦点分别是，若轴恰与过三点的圆相切，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用过三点的圆恰与轴相切，求出圆的标准方程，再利用点在圆上，坐标适合方程即可求解．【详解】由已知可得：，，，线段的垂直平分线方程为，过三点的圆恰与轴相切，所以圆心坐标为，圆的半径为，所以经过三点的圆的方程为，在圆上，所以，整理得：，所以，所以，化为：，由，解得．故选：B．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.已知向量，则任意向量都不能与构成空间的一个基底B.若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则C.“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件D.已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心【答案】ACD【解析】【分析】A：根据空间的基底的概念作出判断；B：根据直线在平面内和不在平面内讨论；C：根据互相推出关系作出判断；D：先化简得到证明点在面内，再根据重心是中线的交点作出判断.【详解】对于A：因为，所以共线，所以任意向量与都共面，所以任意向量都不能与构成空间的一个基底，故A正确；对于B：因为，所以，所以，此时或，所以不一定成立，故B错误；对于C：“存在实数，使”可以推出“与共面”，但“与共面”不一定能推出“存在实数，使”，例如：当共线但与不共线时，与共面，但不存实数，使，所以“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件，故C正确；对于D：因为，所以，所以，所以，所以共面且有公共点，所以点在平面内；取中点，则有，同理取中点，则有，所以为的重心，故D正确；故选：ACD.10.已知圆，则下列结论正确的有（）A.的取值范围为B.若，则点在圆内C.若，则直线与圆相离D.若，圆关于直线对称的圆的方程为【答案】ABD【解析】【分析】A：化简得到圆的标准方程，根据半径大于求解结果；B：根据与半径的大小关系作出判断；C：根据圆心到直线的距离与半径的关系作出判断；D：先判断点的位置，然后可求圆的方程.【详解】，圆心，半径，对于A：因为，所以，故正确；对于B：因为，，所以，所以点在圆内，故正确；对于C：当时，，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切，故错误；对于D：因为在直线上，所以圆关于的对称圆即为圆，所以圆的方程为，故正确；故选：ABD.11.已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（）A.直线的斜率为 B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知双曲线的离心率是，则双曲线的实轴长为__________.【答案】【解析】【分析】根据离心率的公式以及可求解出的值，则结果可知.【详解】因为，解得，所以实轴长为，故答案为：.13.已知两点分别在圆和圆上，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】判断出两圆外离，根据求解即可.【详解】因为，，所以，所以圆与圆外离，所以.故答案为：14.已知正方体棱长为，点是正方体外接球的球面上一点，为正方体内切球的球面上的两点，若，则__________.【答案】【解析】【分析】根据的长度判断出其为内切球的直径，然后通过化简可得，代入外接球和内切球的半径可计算出结果.【详解】因为正方体棱长为，所以外接球的半径为，内切球的半径，因为，所以是内切球的直径，如图所示，设两个球心均为，所以，所以，故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知的三个顶点的坐标分别为.（1）求边上的高所在直线的一般式方程；（2）求的平分线所在直线的斜截式方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出直线的斜率，可得出边上的高所在直线的斜率，可得出边上的高所在直线的点斜式方程，化为一般式方程即可；（2）由图可知，所以的平分线所在直线的斜率为，可得到的平分线所在直线的点斜式方程，化为斜截式方程即可.【小问1详解】因为点、，则，所以，边上的高所在直线的斜率为，又，所以边上的高所在直线的方程为，即，即边上的高所在直线的一般式方程为.【小问2详解】如图，可得，所以的平分线所在直线的倾斜角为，斜率为，又，所以的平分线所在直线的方程为，即，即的平分线所在直线的斜截式方程为.16.已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为.（1）求双曲线的方程；（2）若过点的直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，进而求解即可；（2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可.【小问1详解】由题意知，，解得，故双曲线的方程为.【小问2详解】①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点，则点必在轴上，这与矛盾；②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为，设，因为点为线段的中点，所以，因为在双曲线上，所以，则，所以，则所求直线方程为，即.经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意.17.已知圆的方程为，其中.（1）若圆和圆的公共弦长为，求的值；（2）若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）将两圆方程作差可得相交弦所在直线的方程，求出圆心到相交弦所在直线的距离，再利用勾股定理可得出关于的等式，解之即可；（2）记点、，分析可知圆心为直线和线段垂直平分线的交点，联立这两条直线的方程，可得出圆心的坐标，进而可得出圆的半径，即可得出圆的方程.【小问1详解】因为圆的方程为，则，解得，将两圆方程作差可得，即为两圆相交弦所在直线的方程，圆的圆心为，半径为，由勾股定理可知，圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得，解得或.【小问2详解】由题意可知，点在圆上，则，解得，故圆的方程为，其标准方程为，记点、，由圆的几何性质可知，圆心在直线上，且，所以直线的方程为，即，因为圆过点、两点，所以圆心在线段的垂直平分线上，线段的中点为，，故线段的垂直平分线的方程为，即，联立，解得，即圆心，所以，圆的半径为，故圆的方程为.18.如图1，在等腰直角中，分别为的中点.将沿向平面上方翻折，得到如图2所示的四棱锥，且.记的中点为，动点在线段上运动.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值；（3）求动点到直线的距离的取值范围.【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角；（3）根据向量共线求出，利用空间向量表示出点到直线距离，利用二次函数性质求范围即可．【小问1详解】因为折叠前为中点，，所以，折叠后，，所以，所以，在折叠前分别为中点，所以，又因为折叠前，所以，所以在折叠后，，；以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，为中点，所以，，设平面的法向量为，又，，所以，即，令，则，，所以，所以，则，所以平面；小问2详解】设，由（1）知，，因为动点Q在线段上，且，所以，所以，所以，，，所以，，，设平面的法向量为，，即，令，则，，所以，设平面的法向量为，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为；【小问3详解】设，，，动点Q在线段上，所以，，即，即，所以，，，设点Q到线段距离为，，，，，，令，，则，，根据二次函数的性质可知，所以，由此可知动点Q到线段的距离的取值范围为．19.已知椭圆上的点到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，过点作直线的垂线为垂足.求：①已知直线过定点，求定点的坐标；②点为坐标原点，求面积的最大值.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）根据题意，利用椭圆的几何性质，得到，结合，求得的值，即可求得椭圆的标准方程；（2）①设直线为，联立方程组，求得，求得直线的方程为，令，得到，即可得到直线过定点；.②利用韦达定理求得，得到，令，转化为，结合的单调性，即可求解.【小问1详解】解：由椭圆上的点到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1，由椭圆的几何性质，可得，解得，则，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】解：①由题意，根据椭圆的对称性可得，点必在上，且，设直线的方程为，且，联立方程组，整理得，所以，可得，又由，所以直线的方程为，令，则，所以直线过定点.②由①知：，可得，所以，令，则，所以，因为函数在上为单调递增函数，所以在上为单调递减函数，故当时，面积取得最大值