数学试卷答案与评分细则河南省南阳市2025年秋期高二期中质量评估(11.12-11.14)

2025年秋期高中二年级期中质量评估数学试题参考答案一、选择题题号12345678答案DDBACADC1.解：k=-1.α=4.故选D.2.解：选D.3.解：由题知a(a+1)=2,∴a=1或-2当a=1时，两条直线重合，不符合题意，故a=-2,故选B.4.解：设双曲线方程为C:(3√2,2)代入得λ=1,故双曲线方程为C,∴a=3,b=2,c=√13,.故选A.5.解：由题知，焦点F(0,1),准线为y=-1,:|PF|=n+1=3,∴n=2,∴m=2√2故选C6.解：由题知PO⊥1,kop=1,∴k₁=-1A7.解：A关于x轴的对称点为A₁(4,-5),关于直线l:y=2x+2的对称点为A₂(m,n)故△ABC周长的最小值为|A₁A₂|=√4²+12²=4√10,故选D.8.解：法一：连接PF₁,由题可知，在△PF₁F₂中，由余弦定理得整理得3c²+ac-2a²=0,即3e²+e-2=0,∴故选C法二：过P作PHlx于H,由题可知，所以高二数学参考答案第1页，共7页整理得3e²+e-2=0,∵(舍去)故选C二、选择题题号9答案9.解：由题知,∴a=0或4故选BD10.解：当0<k₁<k₂<k₃或k₁<k₂<k₃<0时，A正确；当k₁<0<k₂<k₃当k₁<k₂<0<k₃时B正确.故选ABC11.解：对于A,因为F₁(-a,0),F₂(a,0)关于原点对称，设点P(x,y)是双纽线上的点，那么点P关于原点对称点P'(-x,-y)到F,F₂的距离之积与P到F₁,F₂的距离之积相同.的距离之积相同，所以双纽线有对称中心和对称轴，A选项正确.对于B,设P(x,y),|PFF=√(x+a²+y²,|PF₂F√(x-a²+y².展开可得(x+a)²+y²)(x-a)²+y²)=a⁴.进一步展开(x²+2ax+a²+y²)(x²-2ax+a²+y²)=a⁴.令m=x²+y²+a²,则(m+2ax)(m-2ax)=a⁴,即m²-4a²x²=a⁴.将m=x²+y²+a²代回得(x²+y²+a²)²-4a²x²=a⁴.展开(x²+y²)²+2a²(x²+y²)+a⁴-4a²x²=a⁴.整理得(x²+y²)²=2a²(x²-y²),B选项正确.对于C,由均值不等PF|+|PF₂|的最小值为2a,C选项错误.对于D,设∠F₁PF₂=θ,根据三角形面积公式高二数学参考答案第2页，共7页因为sinθ最大值为1,所以S的最大值,D选项正确.故选；ABD.由题知P为AB中点，∴x₁+x₂=2,y₁+y₂=4,:.故则直线l的方程为即x-8y+15=0.到点(1,1)和点(1,-3)距离之和，最小值为2√5.四、解答题(本大题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.解：(1)因为所以BC边上的高所在直线的方程为y-4=-3(x-1)即3x+y-7=分(2)证明：∴AB边上的高所在直线的方程即3x+5y-17=0...7分∵kAc=-1,所以AC边上的高所在直线的方程为y+1=(x+2)即x分又点满足3x+5y-17=0.△ABC的三条高交于一点.………13分16.解：(1)当直线l过原点时，方程为y=4x,符合题意；………3分当直线I不过原点时，设方程为将A(1,4)代入得m=3此时直线l的方程为y=-2x+6………6分高二数学参考答案第3页，共7页故直线I的方程为y=-2x+6或y=4x.…………7分(2)解法一：设直线l的方程为y-4=k(x-1)(k<0)…………8分令x=0得n=4-k,令y=0得………10分(当且仅即k=-6时等号成立)…………14分此时直线1的方程为y-4=-6(x-1),即y=-6x+10…………15分解法二：设直线I的方程为将A(1,4)代入得,即4m+n=mn……….8分(当且仅当即时等号成立)此时直线1的方程即y=-6x+10.(当且仅当λ=6,即时等号成立)此时直线l的方程即y=-6x+10.17.解：(1)设圆的标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²(r>0)高二数学参考答案第4页，共7页.……14分(ii)∵AB⊥l,:所以当直线l过圆心C时四边形AMBN的面积最大，故3×2+m=1,∴m=-5.分点P的轨迹C的方程(2)解法一：设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),AB中点为M(x₀,y₀),则x₁+x₂=2x₀,y₁+y₂=2y。①②①②联立解得符合题意.得5x²+8mx+4(m²-1)=0高二数学参考答案第5页，共7页∴AB中点为由题知此时满足△>0,故存在实数符合题意.19.解：(1)∵点P是抛物线上任意一点，∴设抛物线E:x²=4y的准线l方程为y=-1.∵点P在直线l上的射影为Q,(2)由题设知直线AB的斜率一定存在，设AB:y=kx+4,设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),