数学试卷答案山西省三晋卓越联盟2025-2026学年高三12月质量检测卷(284C)12.4-12.5

参考答案、提示及评分细则1.B依题意，得U={0,1,2,3,4,5,6},而A={2,3,6},所以CuA={0,1,4,5}.故选B.2.D由题意知(2+3i)(1—2i)=2—4i+3i—6i²=8—i,所以复数(2+3i)(1—2i)在复平面内对应的点为(8,-1),位于第四象限.故选D.3.A因为a=(一1,2),b=(m,4),且a//b,所以—1×4—2m=0,解得m=—2.故选A.4.C依题意，9层塔从上层到下层挂灯盏数依次排成一列可得等差数列{a},k∈N*,k≤9,所以×3=126,解得a₁=2,所以ag=2+(9—1)×3=26,即塔的底层共有灯26盏.故选C.故选A.6.D由函数性质可得,故选D.7.B设四面体ABCD的外接球的球心为E(x,y,z),半径为r,又A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,√2),r,解得,所以该四面体外接球的表面积为4π.故选B.,所以b为y=logsx和图象交点的横坐标，c为y=log₇x交点的横坐标，在同一个平面直角坐标系中作出y=logsx,y=log₇x和图象和的9.BD因为,所以,所以an+4=an,所以as=a₄=2,又a1a2a₃aa=1,所以,故A,C错误，B,D正确.故选BD.10.BC令,可得,所以4不是的最小值，故A错误；因为2>0,2²->0,则2+22-x≥2√2*·2²-x=4,当且仅当2ᵗ=22-x,即x=1时，等号成立，所以2+2²-x且仅当x²=64时等号成立，又√8+x+√8-x≥0,所以y=√8+x4,当且仅当2,即x²+2=1时等号成立，但x²≠-1,所以的最小值不为4,故D错误.故选BC.11.ACD由题意知令f(x)=0可得,解得2kπ(k∈N),所以,显然a₂—a₁≠a₃—a2,则数列{an}不是等差数列，故【高三12月质量检测卷·数学参考答案第1页(共4页)】错误；由正弦函数的对称性可知，点关于直线对称，则a₂点所在在或,故C正确；当x≥π所在在或上单调递增上单调递减，在上单调递增，又恰有2个零点，故D正确.故选ACD.13.(一1,3)由f(一x)=x²+e⁻+e-3=f(x)知f(x)是偶函数，又f(x)的定义域为R,x≥0时，f(x)=2x+e-e⁻≥0,所以f(x)在(一∞.0)上单调递减，在[0,十∞)上单调递增，所以f(a²)<f(2a+3)可化数a不成立.综上，a的取值范围是(-1,3).在梯形BDD₁B₁中，BD=√2a,B₁D₁=3√2a,BB₁=2a,过B作BF与BD垂直，交B₁D₁于点F,交B₂D₂于点G,所以BF=√2a,且BG=B₂G.令正方形A₂B₂C₂D2的边长为x,则B₂D₂=√2x,BG=B₂G=,所以水的体积,B₂G,设BD中点为O,B.D₂中点为H,易知,∠OAH是平面AB₂D₂与平面ABCD所成的锐二面角的平面角，15.解：(1)由a²=b²+c²—bc,得bc=b²+c²—a²,………………2分故,……………4分由于A∈(0,π),故.…………………6分(2)由,故bc=2,………9分又bc=b²+c²—a²,所以bc=(b+c)²—2bc—a²,故a²=(b+c)²—3bc=16—6=10,解得a=√10.……13分16.解：(1)由题意知,………………2分……………3分数学参考答案第2页(共4页)】解得,k∈Z,即f(x)的单调递增区间为(k∈Z)..……………7分……11分,即g(x)在区间上的值域为………15分当n≥2时,……………………3分又{a,}是等比数列，所以,………………4分解得m=1,……………………·5分所以{an}的通项公式为.……………6分(2)证明：由(1)知,……………7分所以………………………13分,所以T,<3.…………………15分18.(1)证明：取A₁B₁的中点P,连接NP,C₁P,则NP//AA₁,………………1分又在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=CC₁,AA₁//CC,所以NP//CC₁,……………………2分因为M为CC₁的中点，所以NP//MC₁,NP=MC₁,所以四边形MNPC₁为平行四边形，所以MN//PC.…………3分又MNC平面A₁B₁C₁,PC₁C平面A₁B₁C₁,所以MN//平面A₁B₁C₁.………5分(2)证明：因为BB₁⊥平面ABC,ABC平面ABC,所以BB₁LAB.因为AB⊥BC,BB₁∩BC=B,BB₁,BCC平面BCC₁B₁,所以AB⊥平面BCC₁B1.………7分因为BB₁//CC₁,M为CC₁上一点，所以△BB₁M的面积为定值，即…………9分所以为定值.………10分(3)解：由题知B₁C,B₁B,B₁A₁两两垂直，以B₁为坐标原点，以B₁C₁,B₁B,B₁A₁所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐则B₁(0,0,0),A(0,2,2),C(2,2,0),N(0,1,1),B₁A=(0,2,2),B₁C=(2,2,0).…………………11分设平面AB₁C的一个法向量为a=(x,y,z),则取x=1,则y=-1,z=1,所以a=(1,-1,1).……………13分【高三12月质量检测卷·数学参考答案第3页(共4页)】设M(2,m,0)(0<m<2),直线MN与平面AB₁C所成角为θ,则MN=(-2,1-m,1),……15分解得(舍去),所以即直线MN与平面AB₁C所成角的正弦值时，CM的长为…………………17分f(x)=e-x²—x,f(x)=e—2x—1,………………1分所以f(O)=1,f'(0)=0,……………………2分所以曲线y=f(x)在点(0,f(O))处的切线方程为y=1.…………………3分(2)解：函数y=f(x)十x的零点的个数即为方程ae²=x²根的个数.由ae=x²得…………………………4分时，x<0或x>2;所以g(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(一∞,0),(2,+∞),g(x)的极小值为g(0)=0,极大值为所以函数y=f(x)+x的零点的个数，讨论如下：时，有3个零点.……………9分(3)证明：由已知f(x)=ae—x²—x,所以f(x)=ae—2x-1,因为f(x)有两个极值点，所以f'(x)=ae-2x—1=0有两个不相等的实数根，………10分由ae—2x—1=0得,令,则直线y=a与曲线y=h(x)恰有两个交点，h'(x)=,由h'(x)>0得.,由h'(x)<0得所以h(x)的单调递增区间为,单调递减区间为………………11分因为f(x)恰有两个极值点x₁,x₂(x₁<x₂),所以……………12分因为x₁,x2是函数f(x)的两个极值点(不妨设x₁<x2),所以f'(x₁)=0,f'(x₂)=0,即ae'1—2x₁-1=0,ae2—2x₂—1=0.两式相减化得………