河北省衡水市第十三中学2026届高三数学第一学期期末综合测试试题含解析

河北省衡水市第十三中学2026届高三数学第一学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设一个正三棱柱，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为，则为（）A． B．C． D．2．已知集合，集合，则（）.A． B．C． D．3．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：及时，如图：记为每个序列中最后一列数之和，则为（）A．147 B．294 C．882 D．17644．等比数列中，，则与的等比中项是（）A．±4 B．4 C． D．5．设，满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知函数，集合，，则（）A． B．C． D．7．已知双曲线的左，右焦点分别为，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO，分别交双曲线C的左，右支于另一点，且，则双曲线的离心率为()A． B．3 C．2 D．8．已知向量，，则与的夹角为（）A． B． C． D．9．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式有解，则的取值范围是（）A． B．C． D．10．已知等比数列满足，，则（）A． B． C． D．11．函数f(x)=lnA． B． C． D．12．定义在R上的函数y=fx满足fx≤2x-1A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知平面向量、的夹角为，且，则的最大值是_____．14．已知椭圆与双曲线（,）有相同的焦点,其左、右焦点分别为、,若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为,且,则双曲线的离心率为__________．15．已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为和，则该圆锥的体积为________16．公比为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，角所对的边分别是，且.（1）求；（2）若，求.18．（12分）已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.19．（12分）已知函数.（1）证明：函数在上存在唯一的零点；（2）若函数在区间上的最小值为1，求的值.20．（12分）已知函数（其中是自然对数的底数）（1）若在R上单调递增，求正数a的取值范围；（2）若f（x）在处导数相等，证明：；（3）当时，证明：对于任意，若，则直线与曲线有唯一公共点（注：当时，直线与曲线的交点在y轴两侧）.21．（12分）在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为、，与直线的交点为，求线段的长.22．（10分）在中，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由题意，设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为；②若上一步在下面，则第步不在上面的概率是.如果爬上来，其概率是，两种事件又是互斥的,可得，根据求数列的通项知识可得选项.【详解】由题意，设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为；②若上一步在下面，则第步不在上面的概率是.如果爬上来，其概率是，两种事件又是互斥的,∴，即，∴，∴数列是以为公比的等比数列，而，所以，∴当时，，故选：D.【点睛】本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识，得出相邻的项的关系，这是常用的方法，属于难度题.2、A【解析】

算出集合A、B及，再求补集即可.【详解】由，得，所以，又，所以，故或.故选：A.【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.3、A【解析】

根据题目所给的步骤进行计算，由此求得的值.【详解】依题意列表如下：上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故选：A【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.4、A【解析】

利用等比数列的性质可得，即可得出．【详解】设与的等比中项是．

由等比数列的性质可得，．

∴与的等比中项

故选A．【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．5、C【解析】

首先绘制出可行域，再绘制出目标函数，根据可行域范围求出目标函数中的取值范围.【详解】由题知，满足，可行域如下图所示，可知目标函数在点处取得最小值，故目标函数的最小值为，故的取值范围是.故选：D.【点睛】本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题，属于基础题.6、C【解析】

分别求解不等式得到集合,再利用集合的交集定义求解即可.【详解】,，∴．故选C．【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,难度容易.7、D【解析】

本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a与c的等式，计算离心率，即可．【详解】结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO，而，结合四边形对角线平分，可得四边形为平行四边形，结合，故对三角形运用余弦定理，得到，而结合，可得，，代入上式子中，得到，结合离心率满足，即可得出，故选D．【点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难．8、B【解析】

由已知向量的坐标，利用平面向量的夹角公式，直接可求出结果.【详解】解：由题意得，设与的夹角为，，由于向量夹角范围为：，∴.故选：B.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角，注意向量夹角的范围.9、C【解析】

先求导得（），由于函数有两个不同的极值点，，转化为方程有两个不相等的正实数根，根据，，，求出的取值范围，而有解，通过分裂参数法和构造新函数，通过利用导数研究单调性、最值，即可得出的取值范围.【详解】由题可得：（），因为函数有两个不同的极值点，，所以方程有两个不相等的正实数根，于是有解得.若不等式有解，所以因为.设，，故在上单调递增，故，所以，所以的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.10、B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=，选B.11、C【解析】因为fx=lnx2-4x+4x-23=12、D【解析】

根据y=fx+1为奇函数，得到函数关于1,0中心对称，排除AB，计算f1.5≤【详解】y=fx+1为奇函数，即fx+1=-f-x+1，函数关于f1.5≤2故选：D.【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数关于1,0中心对称是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

建立平面直角坐标系，设，可得，进而可得出，，由此将转化为以为自变量的三角函数，利用三角恒等变换思想以及正弦函数的有界性可得出结果.【详解】根据题意建立平面直角坐标系如图所示，设，，以、为邻边作平行四边形，则，设，则，，且，在中，由正弦定理，得，即，在中，由正弦定理，得，即.，，则，当时，取最大值.故答案为：.【点睛】本题考查了向量的数量积最值的计算，将问题转化为角的三角函数的最值问题是解答的关键，考查计算能力，属于难题．14、【解析】

先根据椭圆得出焦距,结合椭圆的定义求出,结合双曲线的定义求出双曲线的实半轴,最后利用离心率的公式求出离心率即可.【详解】解:因为椭圆,则焦点为,又因为椭圆与双曲线（,）有相同的焦点,椭圆与双曲线在第一象限内的交点为,且,在椭圆中:由椭圆的定义:在双曲线中:,所以双曲线的实轴长为:,实半轴为则双曲线的离心率为:.故答案为:【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的定义,考查离心率的求解,利用定义解决综合问题.15、【解析】

依据圆锥的底面积和侧面积公式，求出底面半径和母线长，再根据勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式求出体积。【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，所以有解得，故该圆锥的体积为。【点睛】本题主要考查圆锥的底面积、侧面积和体积公式的应用。16、56【解析】

根据已知条件求等比数列的首项和公比，再代入等比数列的通项公式，即可得到答案.【详解】，，.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）根据正弦定理到，得到答案.（2）计算，再利用余弦定理计算得到答案.【详解】（1）由，可得,因为，所以，所以.（2），又因为，所以.因为，所以，即.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生的计算能力.18、（1），；（2）【解析】试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列前n项和．试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意得d===1．∴an=a1+（n﹣1）d=1n设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则q1===8，∴q=2，∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1，∴bn=1n+2n﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=1n+2n﹣1，∵数列{1n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为1×=2n﹣1，∴数列{bn}的前n项和为；考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；1.数列求和．19、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明在上存在唯一的零点即可；（2）根据导函数零点，判断出的单调性，从而可确定，利用以及的单调性，可确定出之间的关系，从而的值可求.【详解】（1）证明：∵，∴.∵在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴函数在上单调递增.又，令，，则在上单调递减，，故.令，则所以函数在上存在唯一的零点.（2）解：由（1）可知存在唯一的，使得，即（*）.函数在上单调递增.∴当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴.由（*）式得.∴，显然是方程的解.又∵是单调递减函数，方程有且仅有唯一的解，把代入（*）式，得，∴，即所求实数的值为.【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到判断函数在给定区间上的零点个数以及根据函数的最值求解参数，难度较难.（1）判断函数的零点个数时，可结合函数的单调性以及零点的存在性定理进行判断；（2）函数的“隐零点”问题，可通过“设而不求”的思想进行分析.20、（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】

（1）需满足恒成立，只需即可；（2）根据的单调性，构造新函数，并令，根据的单调性即可得证；（3）将问题转化为证明有唯一实数解，对求导，判断其单调性，结合题目条件与不等式的放缩，即可得证．【详解】；令，则恒成立；，；的取值范围是；（2）证明：由（1）知，在上单调递减，在上单调递增；；令，；则；令，则；；；（3）证明：，，要证明有唯一实数解；当时，；当时，；即对于任意实数，一定有解；；当时，有两个极值点；函数在，，上单调递增，在上单调递减；又；只需，在时恒成立；只需；令，其中一个正解是；，；单调递增，，（1）；；；综上得证．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数证明不等式，考查了转化思想、不等式的放缩，属难题．21、（1）（2）【解析】

（1）首先将参数方程转化为普通方程再根据公式化为极坐标方程即可；（2）