2026届北京市人大学附属中学高二上数学期末综合测试试题含解析

2026届北京市人大学附属中学高二上数学期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，若且，则抛物线的方程为（）A.B.C.D.2．已知长方体中，，，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（）A. B.C. D.3．总体由编号为的30个个体组成.利用所给的随机数表选取6个个体，选取的方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始，由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A.20 B.26C.17 D.034．为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为50的样本，则分段的间隔为（）A.20 B.25C.40 D.505．设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.若，则的最小值为（）A. B.C.4 D.56．已知正方体中，分别为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为()A. B.C. D.7．已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，为轴上一点，点是直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.8．已知随机变量服从正态分布，若，则（）A.0.2 B.0.24C.0.28 D.0.329．“且”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件10．已知函数，则的值为（）A. B.C. D.11．已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为A.2 B.3C.4 D.512．在条件下，目标函数的最大值为2，则的最小值是（）A.20 B.40C.60 D.80二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线的焦点，过F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的方程为_________14．已知曲线，则曲线在点处的切线方程为____________.15．用组成所有没有重复数字的五位数中，满足与相邻并且与不相邻的五位数共有____________个.(结果用数值表示)16．在正项等比数列{an}中，若，与的等差中项为12，则等于_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在等差数列中，，.（1）求数列通项公式；（2）若，求数列的前项和.18．（12分）如图所示，圆锥的高，底面圆的半径为，延长直径到点，使得，分别过点、作底面圆的切线，两切线相交于点，点是切线与圆的切点（1）证明：平面；（2）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求该圆锥的体积19．（12分）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且（1）求抛物线的方程；（2）若，是抛物线上一点，过点的直线与抛物线交于，两点（均与点不重合），设直线，的斜率分别为，，求证：为定值20．（12分）命题：函数有意义；命题：实数满足.（1）当且为真时，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.21．（12分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知，S2=-3.（1）求{an}的通项公式；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn.22．（10分）△ABC的三个顶点分别为（1）求△ABC的外接圆M的方程；（2）设直线与圆M交于两点，求|PQ|的值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】如图根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得，则抛物线方程可得.【详解】如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，设，则由已知得：，由定义得：，故在直角三角形中，，，，从而得，，求得，所以抛物线的方程为故选：D2、A【解析】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，由求解.【详解】建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，易知平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，故选：A3、D【解析】根据题目要求选取数字，在30以内的正整数符合要求，不在30以内的不合要求，舍去，与已经选取过重复的舍去，找到第5个个体的编号.【详解】已知选取方法为从第一行的第3列和第4列数字开始，由左到右一次选取两个数字，所以选取出来的数字分别为12（符合要求），13（符合要求），40（不合要求），33（不合要求），20（符合要求），38（不合要求），26（符合要求），13（与前面重复，不合要求），89（不合要求），51（不合要求），03（符合要求），故选出来的第5个个体的编号为03.故选：D4、A【解析】根据系统抽样定义可求得结果【详解】分段的间隔为故选：A5、C【解析】作出图形，过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，从而得出，再由、、三点共线时，取最小值得解.【详解】，所以在抛物线的内部，过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，，当且仅当、、三点共线时，等号成立，因此，的最小值为.故选：C.6、D【解析】以D为原点建立空间直角坐标系，求出E,F,B,D1点的坐标，利用直线夹角的向量求法求解【详解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则，,，,,直线与所成角的余弦值为：.故选D【点睛】本题主要考查了空间向量的应用及向量夹角的坐标运算，属于基础题7、D【解析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可知，则，所以，即可得到的关系，利用椭圆的定义进而求得离心率.【详解】设椭圆的左焦点为，连接，因为，所以，如图所示，所以，设，，则，所以，故选：D.8、C【解析】依据正态曲线的对称性即可求得【详解】由随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴为直线由，可得则，故故选：C9、A【解析】按照充分必要条件的判断方法判断，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判断得到正确答案，【详解】当且时，成立，反过来，当时，例：，不能推出且.所以“且”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，重点考查基本判断方法，属于基础题型.10、C【解析】利用导数公式及运算法则求得，再求解【详解】因为，所以，所以故选：C11、D【解析】抛物线焦点在轴上，开口向上，所以焦点坐标为，准线方程为，因为点A的纵坐标为4，所以点A到抛物线准线的距离为，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.12、C【解析】首先画出可行域，找到最优解，得到关系式作为条件，再去求的最小值.【详解】画出的可行域，如下图：由得由得；由得；目标函数取最大值时必过N点，则则（当且仅当时等号成立）故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据直线与双曲线只有一个交点可知直线与双曲线平行，由渐近线斜率可列出的齐次方程，利用齐次方程求解.【详解】直线与双曲线有且只有一个交点，且焦点，直线与双曲线渐近线平行，，即，，即，.则双曲线的方程为故答案为：14、【解析】求解导函数，然后根据导数的几何意义求出切线斜率，并计算，利用点斜式写出切线方程.【详解】，由题意，切线的斜率为，，所以曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：15、【解析】由题意，先利用捆绑法排列和，再利用插空法排列和，即可得答案.【详解】因为满足与相邻并且与不相邻，则将捆绑，内部排序得，再对和全排列得，利用插空法将和插空得，所以满足题意得五位数有.故答案为：16、128【解析】先根据条件利用等比数列的通项公式列方程组求出首项和公差，进而可得.【详解】设正项等比数列{an}的公比为，由已知，得，①，又，②，由①②得，故答案为：128.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差数列的基本量，根据题意，列出方程，即可求得公差以及通项公式；（2）根据（1）中所求，结合等差数列的前项和的公式，求得，以及，再利用等比数列的前项和公式求得.【小问1详解】因为，所以，故可得，所以.【小问2详解】因为，所以.于是，令，则.显然数列是等比数列，且，公比，所以数列的前n项和.18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由线面垂直、切线的性质可得、，再根据线面垂直的判定即可证结论.（2）若，构建为原点，、、为x、y、z轴的空间直角坐标系，求面、面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示及其对应的余弦值求R，最后由圆锥的体积公式求体积.【小问1详解】由题设，底面圆，又是切线与圆的切点，∴底面圆，则，且，而，∴平面.【小问2详解】由题设，若，可构建为原点，、、为x、y、z轴的空间直角坐标系，又，可得，∴，，，有，，若是面的一个法向量，则，令，则，又面的一个法向量为，∴，可得，∴该圆锥的体积19、（1）（2）证明见解析【解析】(1)联立直线和抛物线方程，根据抛物线定义和焦半径公式得到，根据韦达定理可得到最终结果；（2）代入点坐标可得到参数的值，设直线的方程为，联立该直线和抛物线方程，，代入韦达定理可得到最终结果.【小问1详解】设点，，点，，联立，整理得，，由抛物线的定义知，解得，抛物线的方程为【小问2详解】，为抛物线上一点，，即，设，，，，直线的方程为，由，消去得，，，，即为定值20、(1)；(2)【解析】(1)首先将命题，化简，然后由为真可得，均为真，取交集即可求出实数的取值范围；(2)将是的充分不必要条件转化为是的必要不充分条件，进而将问题转化为，从而求出实数的取值范围【详解】(1)若命题为真，则，解得，当时，命题，若命题为真，则，解得，所以，因为为真，所以，均为真，所以，所以，所以实数的取值范围为(2)因为是的充分不必要条件，所以是的必要不充分条件，所以，所以或，所以，所以实数的取值范围是【点睛】本题主要考查根据真值表判断复合命题中的单个命题的真假，根据充分不必要条件求参数的取值范围，同时考查一元二次不等式的解法，分式不等式的解法．第(2)问关键是将问题等价转化为两个集合间的真包含关系21、（1）；（2）【解析】（1）根据所给条件列出方程组，求得，即可求得答案；