2025年初中数学北师大版单元测试第五章 分式与分式方程（B卷·能力提升练）（解析版）

班级姓名学号分数第五章分式与分式方程（B卷·能力提升练）（时间：120分钟，满分：120分）一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案中是正确的，每小题2分，共20分）下列式子是分式的是A． B． C． D．【分析】根据分式的定义解答即可，一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．【解答】解：、是单项式，是整式，故不符合题意；、是单项式，是整式，故不符合题意；、不是整式，也不是分式，当时，是二次根式，故不符合题意；、是分式，故符合题意．故选：．下列式子是分式的是A． B． C． D．【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：、，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．的分母中含有字母，因此是分式．故选：．下列各式：，，，中，是分式的共有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：，，的分母中含有字母，因此是分式；的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．故分式有3个．故选：．把分式约分的结果是A．1 B． C． D．【分析】根据分式的基本性质，把分解因式，然后约分化简后选出答案．【解答】解：．故选：．下列各式是最简分式的是A． B． C． D．【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【解答】解：、该分式的分子、分母中含有公因式，则它不是最简分式，故本选项不符合题意；、该分式的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式，故本选项符合题意；、该分式的分子、分母中含有公因式，则它不是最简分式，故本选项不符合题意；、该分式的分子、分母中含有公因式，则它不是最简分式，故本选项不符合题意；故选：．下列说法错误的是A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为正数 C．当分式时， D．分式与的最简公分母是【分析】根据分式无意义的条件判断；根据分式值为正数的条件判断；根据分式的值为0的条件判断；根据确定最简公分母的方法判断．【解答】解：、当时，分式无意义，故本选项说法正确，不符合题意；、当时，分式的值为正数，故本选项说法正确，不符合题意；、当分式时，，故本选项说法错误，符合题意；、分式与的最简公分母是，故本选项说法正确，不符合题意；故选：．一块麦田亩，甲收割完这块麦田需小时，乙比甲少用0.5小时就能收割完这块麦田，两人一起收割完这块麦田需要的时间是A． B． C． D．【分析】先得到乙收割完这块麦田需要的时间，根据工作总量工作时间工作效率，分别求出甲、乙的工作效率，再用工作总量甲、乙的工作效率和求出两人一起收割完这块麦田需要的工作时间．【解答】解：乙收割完这块麦田需要的时间是，甲的工作效率是，乙的工作效率是，故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为．故选：．要使分式有意义，则的值是A． B． C． D．【分析】直接利用分式有意义则分母不等于零，进而得出答案．【解答】解：分式有意义，．解得．故选：．若分式的值为零，则的值为A． B．5 C．0 D．【分析】根据分式值为0的条件列出方程，求出未知数的值即可．【解答】解：分式的值为零，，，故选：．已知，则的值是A． B． C． D．【分析】先利用倒数关系求出的值，进而得出答案．【解答】解：，的值为，故选：．二、填空题（每小题3分，共18分）在式子①；②；③；④；⑤；⑥中，分式有个．【分析】根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有未知数的式子叫分式．【解答】解：在式子①；②；④；⑤的分母中含有字母，都是分式，共有4个．故答案是：4．已知一组按规律排列的分式：，，，第个式子是．【分析】根据分子的变化得出分子变化的规律，根据分母得变化得出分母变化的规律，根据分数符号的变化规律得出分数符号的边化规律，即可得到该组式子的变化规律，进而可得出结论．【解答】解：分子底数为，其指数为1，3，5，，其规律为，分母底数为，其指数为1，2，3，4，，其规律为，分数符号为，，，，故第个式子是．故答案是：．请你写出一个值恒为正数的分式．【分析】根据题意列出代数式即可．注意答案不唯一．【解答】解：此题是一个开放性试题，答案不唯一．如，故答案为：．约分：．【分析】分子、分母的公因式是，通过约分进行化简．【解答】解：．故答案为：．有分别写有，，的三张卡片，若从中任选一个作为分式的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有的卡片．【分析】直接利用分式的基本性质以及最简分式的定义分析得出答案．【解答】解：，，，都不是最简分式，无法化简，是最简分式，故使得分式为最简分式，则应选择写有的卡片．故答案为：．分式和的最简公分母是．【分析】根据找最简公分母的方法找出即可．【解答】解：分式和的最简公分母是，故答案为：．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）约分：（1）；（2）．【分析】（1）将找到分子、分母的公因式，再约分即可得；（2）先将分子、分母因式分解，再约去公因式即可得．【解答】解：（1）原式；（2）原式．已知：代数式．（1）当为何值时，该式无意义？（2）当为何整数时，该式的值为正整数？【分析】（1）利用分式无意义的条件，再解即可；（2）根据题意可得或，再解即可．【解答】解：（1）由题意得：，解得：；（2）代数式的值为正整数，或，解得：或0．已知分式，，是这两个分式中分母的公因式，是这两个分式的最简公分母，且，试求这两个分式的值．【分析】找出两分式中分母的公因式确定出，找出最简公分母确定出．【解答】解：两分式分母的公因式为，最简公分母为，，即则．．四、解答题：（第20题10分，第21题12分，共22分）下列分式，，，，，其中，均不为0．（1）将任意一个分式除以后一个分式，请写出你发现的结论；（2）请写出该列分式的第六个分式；（3）若为正整数，请写出第个分式，并验证（1）中得到的结论．【分析】找规律后计算求解．【解答】解：（1）．发现：将任意一个分式除以后一个分式所得结果均为：（2）根据题意，第六个分式为：．（3）该列分式，奇数项为正，偶数项为负，分子是，分母是．第个分式为：．．自学下面材料后，解答问题分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式，如：；等．那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：（1）若，，则；若，，则（2）若，，则；若，，则反之：（1）若，则或（2）若，则或．根据上述规律（1）求不等式的解集．（2）直接写出一个解集为或的最简分式不等式．【分析】根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，解决问题．【解答】解：（2）两数相除，同号得正，异号得负，，或故答案为：，（1）由题意得：或第一个的解集为，第二个不等式组无解，则原分式不等式的解集为．（2）解集为或，（不唯一）．五、解答题：（本题12分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”．（1）下列各式中，属于“和谐分式”的是：（填序号）；①；②；③；④（2）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：．（3）应用：已知方程组有正整数解，求整数的值．【分析】（1）根据“和谐分式”的定义可判定求解；（2）根据分式的性质，结合“和谐分式”的定义进行化简求解；（3）先解方程组，再根据方程组的解为正整数可求解．【解答】解：（1）①，故是和谐分式；②，故不是和谐分式；③，故是和谐分式；④，故是和谐分式；故答案为①③④；（2），故答案为；（3）解方程组得，方程组有正整数解，即且能被5整除，解得或．六、解答题：（本题12分）阅读理解材料1：为了研究分式与分母的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：01234无意义10.50.25从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小．材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：．根据上述材料完成下列问题：（1）当时，随着的增大，的值减小（增大或减小）；当时，随着的增大，的值（增大或减小）；（2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；（3）当时，求代数式值的范围．【分析】（1）由，的变化情况，判断，的变化情况即可；（2）由，即可求解；（3）由，再结合的取值范围即可求解．【解答】解：（1）当时，随着的增大而减小，随着的增大，的值减小；当时，随着的增大而减小，，随着的增大，的值减小，故答案为：减小，减小；（2），当时，的值无限接近0，的值无限接近2；（3），又，，．故答案为：．七、解答题：(本题12分)已知，两港之间的距离为150千米，水流速度为5千米时．（1）若一轮船从港顺流航行到港所用的时间是从港逆流航行到港所用时间的，求该轮船在静水中的航行速度；（2）记某船从港顺流航行到港，再从港逆流航行返回到港所用的时间为；若该船从港航行到港再返回到港均为静水航行，所用时间为，请比较与的大小，并说