高三下学期数学专题九 计数原理、概率与统计（解析版）

专题九计数原理、概率与统计选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2024重庆八中适应性月考，2）某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本.若样本中A型号的产品有30件，则样本容量n为（）A.150B.180C.200D.250【答案】A【分析】直接由分层抽样的定义按比例计算即可.【详解】由题意样本容量为.故选A.2.（2024安徽合肥模拟，3）已知在某竞赛中，天涯队、谛听队、洪荒队单独完成某项任务的概率分别为，，，且这3个队是否完成该任务相互独立，则恰有2个队完成该任务的概率为(

)A.B.C.D.【解析】在某竞赛中，天涯队、谛听队、洪荒队单独完成某项任务的概率分别为，，，且这3个队是否完成该任务相互独立，则恰有2个队完成该任务的概率为：故选：3.（2024重庆检测，3）已知一种服装的销售量单位：百件与第x周的一组相关数据统计如表所示，若两变量x，y的经验回归方程为，则（

）x12345y66a31A.2B.3C.4D.5【答案】C【分析】根据统计图表中的数据，求得样本中心，代入回归直线方程，即可求解.【详解】由统计图表中的数据，可得，，即样本中心为，因为两变量的经验回归方程为，则，解得故选C.4.（2024东北三省三校模拟，3）某种酸奶每罐净重X（单位：g）服从正态分布N（184，2.52）．随机抽取1罐，其净重在179g与186.5g之间的概率为（）（注：若X～N（μ，σ2），P（|X﹣μ|＜σ）＝0.6827，P（|X﹣μ|＜2σ）＝0.9545，P（|X﹣μ|＜3σ）A．0.8186B．0.84135C．0.9545D．0.6827【分析】根据正态分布的对称性，以及μ＝184，σ＝2.5，即可求得净重在179g与186.5g之间的概率．【解答】由题意可知，μ＝184，可得179＝μ﹣2σ，净重在179g与186.5g之间的概率为P（179＜X＜186.4）＝P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ），由正态分布的对称性可知，P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）＝＝5.6827+＝0.8186，所以净重在179g与186.7g之间的概率为P（179＜X＜186.5）＝0.8186．故选A．5.（2024江苏盐城模拟，2）已知随机事件A，B相互独立，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【分析】根据A，B相互独立可得，再根据计算即可.【详解】因为事件A，B相互独立，且，可得，所以=.故选B.6.（2024广东省实验中学模拟，5）将5名女老师和5名男老师分配到三个社区，每名老师只去一个社区，若每个社区都必须要有女老师，且有男老师的社区至少有2名女老师，则不同的分配方法有（

）A．1880种 B．2940种 C．3740种 D．5640种答案B【详解】5名女老师分配到三个社区，分配的方案有1:1:3型与1:2:2型，对于1:1:3型，女老师的分配情况有C53A33=60，其中只有一个社区女老师的人数超过对于1:2:2型，女老师的分配情况有C52C则将5名男老师分配去两个社区，则分配方案有0:5型、1:4型与2:3型，则分配情况有A2即总分配情况为32×90=2880；综上所述，2880+60=2940.故选：B.7.（2024河北石家庄适应性考试，7）质数(primenumber)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数：事件：这两个数不是孪生素数，则（

）A． B． C． D．答案D【分析】根据条件概率的计算方法求得正确答案.【详解】不超过的自然数有个，其中素数有共个，孪生素数有和，和，和，和，共组.所以，，所以.故选：D8.（2024广东深圳中学阶段测，6）假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【分析】根据题意，设从甲中取出2个球，其中白球个数为个为事件，从乙中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为，分别求得相应的概率，结合贝叶斯公式，即可求解.【详解】设从甲中取出2个球，其中白球的个数为个为事件，事件的概率为，从乙中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，根据题意，可得；；，根据贝叶斯公式得，从乙袋中取出2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为：.故选：C.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.（2024广东广雅中学适应性考试，9）下列说法中正确的是（）A.已知随机事件A，B满足，，则B.已知随机变量，若，则C.若样本数据，，…，的平均数为10，则数据的平均数为3D.随机变量X服从二项分布，若方差，则【答案】BC【解析】【分析】由条件概率的公式可得A错误；由正态分布的方差公式和方差的性质可得B正确；由平均数的计算公式可得C正确；由二项分布的性质可判断D错误.【详解】A：由条件概率的公式可得，所以，故A错误；B：因为随机变量，所以，又，所以，所以，故B正确；C：因为样本数据，，…，的平均数为10，所以，化简可得，所以的平均数为，故C正确；D：由题意可得，解得或，则或，故D错误；故选：BC.10.（2024江苏苏州三模，9）在某次数学练习中，高三班的男生数学平均分为120，方差为2，女生数学平均分为112，方差为1，已知该班级男女生人数分别为25、15，则下列说法正确的有（）A.该班级此次练习数学成绩的均分为118B.该班级此次练习数学成绩的方差为16.625C.利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取5名男生D.从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率为【答案】BCD【分析】利用均值、方差、分层随机抽样、古典概型等知识逐项判断即可．【详解】对于A，该班级此次练习数学成绩的均分，故A错误；对于B，该班级此次练习数学成绩的方差，故B正确；对于C，利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取的男生人数为，C正确；对于D，从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率，故D正确．故选BCD．11.（2024安徽六安一中适应性考试，9）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，则（）A．A与D相互独立B．A与B相互独立C．B与D相互独立D．A与C相互独立【分析】利用相互独立事件的定义和性质求解．【解答】一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，2；红球有两个，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，P（A）＝×+＝，P（B）＝＝，P（D）＝＝，P（AD）＝0，P（AB）＝＝＝，P（AC）＝＝，∵P（AD）≠P（A）P（D），∴A与D不是相互独立事件；P（AB）＝P（A）P（B），∴A与B是相互独立事件；P（BD）＝P（B）P（D），∴B与D是相互独立事件；P（AC）＝P（A）P（C），∴A与C是相互独立事件．故选BCD．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．12.（2024广东广州华南师大附中模拟，12）在的展开式中，x的系数为﹣5．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为1求得r值，则答案可求．【解答】展开式的通项为Tr+1＝（）3﹣r（）r＝（﹣1）r，令＝1，∴x的系数为﹣＝﹣5．13.（2024湖北四调，13）两个连续随机变量X，Y满足，且，若，则______.答案0.86解析由X+2Y=3得Y+2＞0,7−x2＞0，则x＜7，PY+2=PX＜14.（2024重庆南开中学质量检测，12）对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其经验回归方程，则在样本点处的残差为________.【答案】0.5【分析】利用样本中心在回归直线上及残差的定义即可求解.【详解】将代入，得，解得，所以，故当时，，所以残差.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（2024安徽合肥一六八中学模拟，18）五月初，某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力量，展现劳动者的风采，传递劳动之美，弘扬劳动精神．征文筛选由A、B、C三名老师负责．首先由A、B两位老师对征文进行初审，若两位老师均审核通过，则征文通过筛选；若均审核不通过，则征文落选；若只有一名老师审核通过，则由老师C进行复审，复审合格才能通过筛选．已知每篇征文通过A、B、C三位老师审核的概率分别为，且各老师的审核互不影响．（1）已知某篇征文通过筛选，求它经过了复审的概率；（2）从投稿的征文中抽出4篇，设其中通过筛选的篇数为X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出征文通过筛选概率，再利用条件概率公式计算得解.（2）求出的可能取值，利用二项分布求出求出分布列及期望.【解析】（1）设事件老师审核通过，事件老师审核通过，事件老师审核通过，事件征文通过筛选，事件征文经过复审，则，，，因此，所以它经过了复审的概率为.（2）依题意，的可能取值为，显然，则，，，所以的分布列如下：X01234数学期望为.16.（2024湖南常德模拟，16）某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表：时间（天）123456789每天普及的人数y8098129150203190258292310(1)从这9天的数据中任选4天的数据，以X表示4天中每天普及人数不少于240人的天数，求X的分布列和数学期望；(2)由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数的线性回归方程.（参考数据：附：对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：）解：(1)每天普及人数不少于240人的天数为3天，则X的所有可能取值为0,1,2,3......1分，，，.......................................................5分故X的分布列为X0123P.....................................................................7分(2)设原来数据的样本中心点为，去掉第5天的数据后样本中心点为，...............................................8分.....................................10分故................................13分，∴..................................................................................................................15分17.（2024黑龙江部分学校三模，16)为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发了《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作.为做好全省的迎检工作，某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试，并从中随机抽取了500名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计这500名学生健康指数的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；（2）由频率分布直方图知，该市学生的健康指数X近似服从正态分布N(，)，其中近似为样本平均数，近似为样本方差(=84.75).①求P(60.29≤X≤87.92)；②已知该市高三学生约有30000名，记健康指数在区间[60.29，87.92]的人数为，试求E().附：参考数据：，若随机变量X服从正态分布N(，)，则，，.【分析】（1）以组中值代替小组平均值，根据加权平均数公式计算可得；（2）①根据正态分布的性质求解即可；②根据二项分布的期望公式计算即可.【解析】（1）由题意得，平均数=50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5；（2）①由(1)可知=69.5，≈9.21，则P(60.29≤X≤87.92)=P(69.5-9.21≤X≤69.5+9.21×2)则P(60.29≤X≤87.92)=P(69.5-9.21≤X≤69.5+9.21×2)=P(≤X≤)=×0.683+×0.955=0.819；②由①可知1名学生的健康指数位于[60.29，87.92]的概率为0.819，依题意，服从二项分布，即～B(30000,0.819)，则E()=np=24570.18.（2024湖南长沙周南中学模拟，17）市教育局计划举办某知识竞赛，先在，，，四个赛区举办预赛，每位参赛选手先参加“赛区预赛”，预赛得分不低于100分就可以成功晋级决赛．赛区预赛的具体规则如下：每位选手可以在以下两种答题方式中任意选择一种答题．方式一：每轮必答2个问题，共回答6轮，每轮答题只要不是2题都错，则该轮次中参赛选手得20分，否则得0分，各轮答题的得分之和即为预赛得分；方式二：每轮必答3个问题，共回答4轮，在每一轮答题中，若答对不少于2题，则该轮次中参赛选手得30分，如果仅答对1题，则得20分，否则得0分．各轮答题的得分之和即为预赛得分．记某选手每个问题答对的概率均为．（1）若，求该选手选择方式二答题晋级的概率；（2）证明：该选手选择两种方式答题的得分期望相等．【分析】（1）先求该选手选择方式二答题，记每轮得分的可能及其概率，记预赛得分为，根据晋级所需分数求