（人教版）必修第一册高一物理第二章 匀变速直线运动的研究单元复习与检测（讲）（解析版）

第二章匀变速直线运动的研究单元复习与检测【讲】一．单元知识体系构建二．核心主干知识总结【主题一】匀变速直线运动的解题方法1.匀变速直线运动的解题方法(1)基本公式法。(2)逆向思维法。(3)图像法。(4)比例法。(5)中间时刻速度法。2．匀变速直线运动问题的解题模型3．匀变速直线运动的关键词转化【例题】．物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面，到达斜面最高点C时速度恰好为零，如图所示，已知物体运动到斜面长度eq\f(3,4)处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间。【答案】t【解析】法一：逆向思维法物体向上匀减速冲上斜面相当于向下匀加速滑下斜面故xBC＝eq\f(ateq\o\al(2,BC),2)，xAC＝eq\f(a（t＋tBC）2,2)，又xBC＝eq\f(xAC,4)由以上三式解得tBC＝t.法二：基本公式法因为物体沿斜面向上做匀减速运动，设物体从B滑到C所用的时间为tBC，由匀变速直线运动的规律可得veq\o\al(2,0)＝2axAC ①veq\o\al(2,B)＝veq\o\al(2,0)－2axAB ②xAB＝eq\f(3,4)xAC ③由①②③式解得vB＝eq\f(v0,2) ④又vB＝v0－at ⑤vB＝atBC⑥由④⑤⑥式解得tBC＝t.法三：比例法对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)因为xCB∶xBA＝eq\f(xAC,4)∶eq\f(3xAC,4)＝1∶3，而通过xBA的时间为t，所以通过xBC的时间tBC＝t.法四：中间时刻速度法利用推论：中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度，eq\o(v,\s\up6(－))AC＝eq\f(v0＋v,2)＝eq\f(v0,2)，又veq\o\al(2,0)＝2axAC，veq\o\al(2,B)＝2axBC，xBC＝eq\f(xAC,4).由以上三式解得vB＝eq\f(v0,2).可以看成vB正好等于AC段的平均速度，因此B点是这段位移的中间时刻，因此有tBC＝t.法五：图象法根据匀变速直线运动的规律，作出v－t图象，如图所示利用相似三角形的规律，面积之比等于对应边平方比，得eq\f(S△AOC,S△BDC)＝eq\f(CO2,CD2)，且eq\f(S△AOC,S△BDC)＝eq\f(4,1)，OD＝t，OC＝t＋tBC.所以eq\f(4,1)＝eq\f(（t＋tBC）2,teq\o\al(2,BC))，解得tBC＝t.法六：时间比例法对于初速度为零的匀加速直线运动，通过连续相等的各段位移所用的时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))∶…∶(eq\r(n)－eq\r(n－1))．现将整个斜面分成相等的四段，如图所示设通过BC段的时间为tx，那么通过BD、DE、EA的时间分别为tBD＝(eq\r(2)－1)tx，tDE＝(eq\r(3)－eq\r(2))tx，tEA＝(2－eq\r(3))tx，又tBD＋tDE＋tEA＝t，解得tx＝t.【素养提升】匀变速直线运动问题的解题步骤(1)分析题意，确定研究对象，判断物体的运动情况，分析加速度的方向和位移方向．(2)选取正方向，并根据题意画出运动示意图．(3)由已知条件及待求量，选定公式列出方程．(4)统一单位，解方程求未知量．(5)验证结果，并注意对结果进行必要的讨论．【变式训练】甲、乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变，在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半。求甲、乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。【答案】5∶7【解析】解法一：基本公式法设汽车甲在第一段时间间隔末(时刻t0)的速度为v，第一段时间间隔内行驶的路程为s1，加速度为a；在第二段时间间隔内行驶的路程为s2。由运动学公式得v＝at0，s1＝eq\f(1,2)ateq\o\al(2,0)，s2＝vt0＋eq\f(1,2)(2a)teq\o\al(2,0)。设汽车乙在时刻t0的速度为v′，在第一、二段时间间隔内行驶的路程分别为s1′、s2′，同样有v＝(2a)t0，s1′＝eq\f(1,2)(2a)teq\o\al(2,0)，s2′＝v′t0＋eq\f(1,2)ateq\o\al(2,0)，设甲、乙两车行驶的总路程分别为s、s′，则有s＝s1＋s2，s′＝s1′＋s2′。联立以上各式解得，甲、乙两车各自行驶的总路程之比为s∶s′＝5∶7。解法二：图像法由题意知，甲在t0时刻的速度v甲1＝at0,2t0时刻的速度v甲2＝v甲1＋2at0＝3at0；同理，乙车在t0时刻的速度v乙1＝2at0,2t0时刻的速度v乙2＝v乙1＋at0＝3at0。作出甲、乙两车的v­t图像如图所示，由图线与t轴所围的面积知s甲＝eq\f(5,2)ateq\o\al(2,0)，s乙＝eq\f(7,2)ateq\o\al(2,0)所以，两车各自行驶的总路程之比s甲∶s乙＝5∶7。【主题二】匀变速直线运动的图像1.x­t图像和v­t图像的比较x­t图像v­t图像典型图像其中④为抛物线其中④为抛物线物理意义反映的是位移随时间的变化规律反映的是速度随时间的变化规律点对应某一时刻物体所处的位置对应某一时刻物体的速度斜率斜率的大小表示速度的大小斜率的正负表示速度的方向斜率的大小表示加速度的大小斜率的正负表示加速度的方向截距直线与纵轴截距表示物体在t＝0时刻距离原点的位移，即物体的出发点；在t轴上的截距表示物体回到原点的时间直线与纵轴的截距表示物体在t＝0时刻的初速度；在t轴上的截距表示物体速度为0的时刻两图线的交点同一时刻各物体处于同一位置同一时刻各物体运动的速度相同2.应用x­t、v­t图像的“六看”(1)看“轴”：纵、横轴所表示的物理量，特别要注意纵轴是x还是v。(2)看“线”：线反映运动性质，如x­t图像为倾斜直线表示匀速运动，v­t图像为倾斜直线表示匀变速运动。(3)看“斜率”：x­t图像斜率表示速度；v­t图像斜率表示加速度。(4)看“面”，即“面积”：主要看纵、横轴物理量的乘积有无意义。(5)看“截距”：初始条件、初始位置x0或初速度v0。(6)看“特殊值”：如交点，x­t图像交点表示相遇，v­t图像交点表示速度相等(往往是距离变化的临界点)。3．x­t、v­t图像的关键词转化【例题】(2021·武侯校级模拟)A、B两物体从同一位置向同一方向同时运动，甲图是A物体的位移时间图象，乙图是B物体的速度时间图象，根据图象，下列说法正确的是()A．运动过程中，A、B两物体相遇一次B．运动过程中，A、B两物体相遇两次C．A、B两物体最远距离是20mD．6s内，A物体的平均速度是B物体的平均速度的两倍【答案】A.【解析】：在0～2s内，A的位移为：xA1＝40m，B的位移为：xB1＝eq\f(10×2,2)m＝10m，知B没有追上A.在2～4s内，A静止，B继续沿原方向运动，通过的位移为：xB2＝10×2m＝20m，t＝4s末B还没有追上A.在4～6s内，A返回，位移为：xA2＝－40m，t＝6s返回原出发点．B的位移为：xB3＝eq\f(10×2,2)m＝10m，则在0～6s内B的总位移为：xB＝40m，可知，A、B两物体在4～6s内相遇一次，故A正确，B错误；t＝2s时，A、B两物体相距最远，最远距离为：s＝xA1－xB1＝30m，故C错误；6s内，A物体的位移为0，平均速度为0，B物体的平均速度为：eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(x,t)＝eq\f(40,6)m/s＝eq\f(20,3)m/s，故D错误．【技巧总结】运用运动图象解题的技巧【变式训练】．如图所示的位移(x)—时间(t)图像和速度(v)—时间(t)图像中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是()A．甲车做直线运动，乙车做曲线运动B．0～t1时间内，甲车通过的路程大于乙车通过的路程C．0～t2时间内，丙、丁两车在t2时刻相距最远D．0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等【答案】C【解析】x­t图像表示的是做直线运动的物体的位移随时间的变化情况，而不是物体运动的轨迹。由x­t图像可知，甲、乙两车在0～t1时间内均做单向直线运动，且在这段时间内两车通过的位移和路程均相等，A、B错误；在v­t图像中，t2时刻丙、丁两车速度相同，故0～t2时间内，t2时刻两车相距最远，C正确；由图线可知，0～t2时间内丙车的位移小于丁车的位移，故丙车的平均速度小于丁车的平均速度，D错误。【主题三】追及和相遇问题1.追及和相遇问题的概述当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，这时就会涉及追及、相遇或避免相碰等问题。2．追及和相遇问题中的一个条件和两个关系(1)一个条件：两者速度相等，它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。(2)两个关系：时间关系和位移关系，这两个关系可通过画草图得到。3．追及、相遇问题两种典型情况假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0，有两种典型情况：(1)匀加速运动的物体追匀速运动的物体，一定能追上，追上前，vA＝vB时，两者相距最远。(2)匀减速运动的物体追匀速运动的物体，vA＝vB时：①若已超越则相遇两次。②若恰好追上，则相遇一次。③若没追上，则无法相遇。4．求解追及和相遇问题的思路和技巧(1)解题思路(2)解题技巧【例题】超载车辆是马路的隐形“杀手”，应严禁上路。一辆超载货车在平直公路上行驶，其位移由数学关系式x＝10t(式中位移x单位为m，时间t单位为s)决定。一辆值勤的警车停在公路边，当交警发现从他旁边行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s后警车启动，并以2.5m/s2的加速度做匀加速直线运动，但警车的行驶速度必须控制在90km/h以内。问：(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？(2)警车启动后需多长时间才能追上货车？【思路点拨】分析追和被追的两物体，在速度相等(同向运动)时能否追上，以及两者之间的距离出现极值的临界状态，是解题的关键。【答案】(1)75m(2)12s【解析】(1)由题意可得货车速度v货＝eq\f(x,t)＝10m/s，当两车速度相等时距离最大，则从警车启动后到两车速度相等所用时间t1＝eq\f(10,2.5)s＝4s从交警发现货车从他旁边驶过到警车速度与货车速度相等，货车通过的位移x货＝v货(t0＋t1)＝10×(5.5＋4)m＝95m警车通过的位移x警＝eq\f(1,2)ateq\o\al(2,1)＝eq\f(1,2)×2.5×42m＝20m所以两车间的最大距离Δx＝x货－x警＝75m。(2)警车最大速度v0＝90km/h＝25m/s，警车从启动到达到最大速度所用时间t2＝eq\f(25,2.5)s＝10s，此时货车通过的位移x货′＝(5.5＋10)×10m＝155m警车通过的位移x警′＝eq\f(1,2)ateq\o\al(2,2)＝eq\f(1,2)×2.5×102m＝125m。因为x货′＞x警′，故此时警车尚未赶上货车，且此时两车距离Δx′＝x货′－x警′＝30m警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过Δt时间追赶上货车，则Δt＝eq\f(Δx′,v0－v货)＝2s所以警车启动后要经过t＝t2＋Δt＝12s才能追上货车。【技巧总结】通过本题可培养综合分析能力、应用数学处理物理问题的能力和科学思维、科学态度与责任等核心素养。易错警示：1若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意被追上前该物体是否已停止运动。2仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，充分挖掘题目中的隐含条件。【变式训练】．(2021·榆林高一期中)据报道，一儿童玩耍时不慎从45m高的阳台上无初速度掉下，在他刚掉下时恰被楼下一社区管理人员发现，该人员迅速由静止冲向儿童下落处的正下方楼底，准备接住儿童．已知管理人员到儿童下落处的正下方楼底的距离为18m，为确保能稳妥安全接住儿童，必须保证接住儿童时没有水平方向的冲击(也就是无水平速度)．不计空气阻力，将儿童和管理人员都看做质点，设管理人员奔跑过程中只做匀速或匀变速运动，g取10m/s2.(1)管理人员至少用多大的平均速度跑到楼底？(2)若管理人员在奔跑过程中做匀加速或匀减速运动的加速度大小相等，且最大速度不超过9m/s，求管理人员奔跑时加速度的大小需满足什么条件？【答案】：(1)6m/s(2)a≥9m/s2【解析】：(1)儿童下落过程，由运动学公式得：h＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,0) ①管理人员奔跑的时间为：t≤t0 ②对管理人员奔跑过程，由运动学公式得：s＝eq\o(v,\s\up6(－))t ③由①②③式联立并代入数据得，eq\o(v,\s\up6(－))≥6m/s.(2)假设管理人员先匀加速接着匀减速奔跑到楼底，奔跑过程中的最大速度为v0，由运动学公式得：eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(v0＋0,2)，得：v0＝2eq\o(v,\s\up6(－))＝12m/s＞vmax＝9m/s，所以先加速，再匀速，最后匀减速奔跑到楼底．设匀加速、匀速、匀减速过程的时间分别为t1、t2、t3，位移分别为s1、s2、s3，由运动学公式得，s1＝eq\f(1,2)ateq\o\al(2,1) ④s3＝eq\f(1,2)ateq\o\al(2,3) ⑤s2＝vmaxt2 ⑥vmax＝at1＝at3 ⑦t1＋t2＋t3≤t0 ⑧s1＋s2＋s3＝s ⑨由④～⑨式联立并代入数据得，a≥9m/s2.【主题四】“纸带法”测速度和加速度常用“位移差”法判断物体的运动情况，即确定纸带上的任意相邻计数点间的位移是否满足关系式xn＋1－xn＝aT2.由纸带求物体运动加速度的方法1．利用“逐差法”求加速度：若为偶数段，假设为6段，则a1＝eq\f(x4－x1,3T2)，a2＝eq\f(x5－x2,3T2)，a3＝eq\f(x6－x3,3T2)，然后取平均值，即a＝eq\o(a,\s\up6(－))＝eq\f(a1＋a2＋a3,3)；或由a＝eq\f(（x4＋x5＋x6）－（x1＋x2＋x3）,9T2)直接求得．若为奇数段，则中间段往往不用，如5段，则不用第三段，即a1＝eq\f(x4－x1,3T2)a2＝eq\f(x5－x2,3T2)，然后取平均值，即eq\o(a,\s\up6(－))＝eq\f(a1＋a2,2)；或由a＝eq\f(（x4＋x5）－（x1＋x2）,6T2)直接求得，这样所给的数据利用率高，提高了精确度．2．图象法：先根据匀变速直线运动中某段时间中点的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，vn＝eq\f(xn＋xn＋1,2T)，求出打第n个点时纸带的瞬时速度，然后作出v－t图象，图线的斜率表示物体运动的加速度，即a＝eq\f(Δv,Δt).【例题】．在用电火花计时器“探究小车速度随时间变化的规律”实验中，图甲是一次记录小车运动情况的纸带，图中A、B、C、D、E为相邻的计数点，相邻计数点间还有四个点未画出．(电源频率为50Hz)．(1)根据运动学有关公式可求得vB＝1.38m/s，vC＝________m/s，vD＝3.90m/s.(结果保留三位有效数字)(2)利用求得的数值在图乙所示坐标纸上作出小车的v－t图象(从打A点时开始计时)．利用纸带上的数据求出小车运动的加速度大小a＝________m/s2.(结果保留三位有效数字)(3)将图线延长与纵轴相交，交点的纵坐标是0.12m/s，此交点的物理意义是________________________________________________________________________．【答案】：(1)2.64(2)见解析图12.6(3)从A点开始计时时，小车的速度大小为0.12m/s【解析】：(1)打C点时对应的速度为vC＝eq\f(xBD,2T)＝eq\f(60.30－7.50,0.2)cm/s＝264cm/s＝2.64m/s.(2)用描点法作出小车的v－t图象如图所示．由图知小车运动的加速度大小a＝eq\f(vD－vB,tD－tB)＝eq\f(3.90m/s－1.38m/s,（3－1）×10－1s)＝12.6m/s2.(3)此交点表示从A点开始计时时，小车的速度大小为0.12m/s.【变式训练】在“探究小车速度随时间变化的规律”实验中：(1)实验提供了以下器材：打点计时器、一端附有滑轮的长木板、小车、纸带、细绳、钩码、刻度尺、导线、交流电源、复写纸、弹簧测力计．其中在本实验中不需要的器材是____________．(2)如图甲所示是某同学由打点计时器得到的表示小车运动过程的一条清晰纸带，纸带上两相邻计数点间还有四个点