山东省济宁市曲阜市2025-2026学年高二上学期11月期中检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省济宁市曲阜市2025-2026学年高二上学期11月期中检测数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列说法正确的是（）A.若为两个事件，则B.若为两个事件，则C.若事件满足，则必然事件D.若为相互对立事件，则与一定互斥【答案】D【解析】对A：只有事件互斥时，才有，故A错误；对B：只有事件为独立事件时，才有，所以B错误；对C：若且事件互斥时，才有是必然事件，所以C错误；对D：对立事件一定互斥，所以D成立.故选：D.2.已知向量，则下列结论正确的是（）A.向量与向量的夹角为B.C.向量在向量上的投影向量为D.向量与向量共面【答案】C【解析】对A：，所以，故A错；对B：因为，所以不成立，故B错误；对C：因为，即向量在向量上的投影向量为，故C正确；对D：令，，即，显然无解，所以向量与向量不共面，故D错误.故选：C.3.某运动员每次投掷飞镖命中靶心概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：0293122585696834314573932875563587301107据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次命中靶心的概率为（）A.0.50 B.0.45 C.0.40 D.0.35【答案】B【解析】因为1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心，所以两次投掷飞镖恰有一次正中靶心表示：随机数组中有且只有一个数为1，2，3，4中的一个；它们分别是02，93，25，45，73，93，28，35，30共9个，即满足条件的基本事件数有9个，总的事件数有20个，所以该运动员两次掷镖恰有一次命中靶心的概率为．故选：B.4.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意有：平面的法向量为，平面的法向量为，设直线的方向向量为，所以，令，得，而ACD中的向量与该向量均不共线，故选：B.5.已知圆，过点的直线与圆交于两点.若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取中点，因为，所以为等边三角形，所以，，又点，点，则，在直角三角形中，，即，解得.故选：C.6.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（）A.点的轨迹是一条线段B.的最大值为2C.的最大值为4D.点到直线的距离的最大值为【答案】C【解析】由直线，令，得，可得过定点，动直线，令，可得，即恒过定点，由，所以两条直线始终互相垂直，是两条直线的交点，所以，所以点在以为直径的圆上，A错；,由于，又，所以，所以，故，当且仅当取等号，故B错，C对；设到直线的距离为，由于，故，当取等号，故最大值为，故D错，故选：C.7.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为，若向量，则与的夹角为锐角的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，，所以，因为为锐角，所以，且不共线，所以，即，其中，当时，有且，则可取1，3，4，5，6；当时，有且，则可取2，3，4，5，6；当时，有且，则可取4，5，6；当时，有且，则可取6；当或时，，此时无解.综上所述，满足条件的有14种可能，先后抛掷两次，得到的样本点共36种，所以为锐角的概率故选：C.8.设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设点关于直线的对称点为，则得，即.设关于轴的对称点为，由光学性质可知，四点共线，所以，，又因为，所以，解得或，故或，①当时，此时直线的斜率为，直线的方程为，由，解得，所以直线与直线的交点，此时，不符合题意，舍去；②当时，此时直线的斜率为，直线的方程为，由，解得，所以直线与直线的交点，此时.综上，的值为.故选：D.二､多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.有6个相同的球，分别编号，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，记事件甲：第一次取球编号数字大于4；乙：第二次取球编号数字为奇数；丙：第三次取球编号为3；丁：前两次取球编号数字和为6；戊：第一､三次取球编号数字至少有一个5.则下列事件与甲事件独立的是：（）A.乙 B.丙 C.丁 D.戊【答案】AB【解析】根据题意，，，，，，对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故错误；对于D，，故D错误.故选：AB.10.已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（）A.线段是异面直线与的公垂线段B.异面直线与的距离为C.点到直线的距离为D.点到平面的距离为【答案】ABD【解析】在正方体中，以点为原点建立空间直角坐标系，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，，由定义可知线段是异面直线与的公垂线段，A选项正确；设向量为和公垂线的方向向量，则，令，则，即，由∵，∴异面直线与的距离，B选项正确；∵，，∵，∴∴点到直线的距离，C选项错误；设平面的一个法向量为，则，令，则，即，∴点到平面的距离，D选项正确.故选：ABD.11.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若的三个顶点坐标分别为，其“欧拉线”为，圆，则（）A.过作圆的切线，切点为，则的最小值为B.若直线被圆截得的弦长为4，则C.若，则圆上有且只有两个点到的距离为1D.若圆上有三个点到的距离都为1，则【答案】AC【解析】A选项，，当时，，A正确；B选项，重心坐标，，则边上的高的方程，即，，则边上的高的方程，即，联立得，即垂心，，欧拉线即，由于圆的半径为2，若直线被圆截得的弦长为4，则过圆心，即，B错误；C选项，圆心到的距离，若，则，则圆上有且只有两个点到的距离为1，C正确；D选项，若圆上有三个点到的距离都为1，则，则，D错误.故选：AC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线，．若，则实数__________．【答案】-1【解析】若，则，且，解得．13.已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点__________.【答案】【解析】设，则以为直径的圆的方程为①又圆②①②可得直线，即，联立，解得．直线经过定点．故答案为：.14.已知在棱长为的正四面体中，动点满足，记所在平面为，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为__________.【答案】【解析】以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正四面体的棱长为，取为的中心，可得平面，且，则，设，因为，可得，整理得，即点的轨迹为以为球心，半径为的球面，则球心到平面的距离为，即球心到平面的距离为，又由截面圆的性质，可得截面圆的半径为，所以截面圆的周长为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝.南宋时，首都临安每逢元宵节时制谜、猜谜的人众多.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有10道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了8道，乙同学猜对了6道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.（1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值.解：（1）设“任选一道灯谜甲猜对”“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一道灯谜丙猜对”，则，可得，“甲，乙两位同学恰有一个人猜对”且与互斥，每位同学独立竞猜，故互相独立，则与与与均相互独立，所以，所以甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为.（2）设事件“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则，所以，解得，所以实数的值5.16.已知的三个顶点是.（1）求边上的高所在直线的方程；（2）若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程.解：（1），，边上的高所在直线的斜率为，又边上的高所在直线为，即为边上的高所在直线的方程.（2）∵点到直线的距离相等，∴直线与平行或过的中点.（i）当直线与平行，，，即.（ii）当直线过的中点，，，即.综上，直线的方程为或.17.如图，已知三棱锥中，，且分别是的中点.用空间向量法求解下列问题.（1）求证：；（2）求的长；（3）求异面直线和所成角的余弦值.（1）证明：设，则，，可得，又，，即.（2）解：，，，，即的长为.（3）解：由题意得，，则，即，又，设异面直线AF和所成角为，则，∴异面直线AF和所成角的余弦值为.18.已知线段的端点，端点在圆上运动，线段的中点的轨迹方程为.（1）求轨迹方程；（2）过点的直线与曲线交于两点，若，其中为坐标原点，求.解：（1）设的中点为，的中点为，且，，即，∵点在圆上，，即，化简得，所以的轨迹方程为：.（2）设，由直线过点且与圆有两个交点，所以直线的斜率存在且不为0.设直线的方程为：，联立直线与圆的方程，可得，，解得，，由得，即，化简得，将韦达定理代入可得，解得，符合题意.此时直线的方程为：，由圆的方程知，圆的圆心坐标为，半径为，又在直线的方程中，当时，，即直线过圆心，所以19.如图，在三棱锥中，平面，点是的中点，点是线段上的动点.用空间向量法求解