山东省淄博市六校2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省淄博市六校2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点关于xOz平面的对称点坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】点关于xOz平面的对称点坐标为.故选：B.2.已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，则的值等于（）A.4 B.7 C.9 D.12【答案】B【解析】由题知，又椭圆的焦点在轴上，所以，解得，故选：B.3.在斜三棱柱中，M为的中点，N为靠近的三等分点，设则用表示为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】易知.故选：C.4.不透明口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为蓝色”互斥而不对立的个数为（）①2张卡片都不是蓝色；②2张卡片恰有1张是蓝色；③2张卡片至少有1张是蓝色；④2张卡片至多一张为蓝色.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】一次性任意取出2张卡片,则这两张卡片的颜色为（红色，绿色），（绿色，蓝色），（红色，蓝色），（红色，红色），（绿色，绿色），（蓝色，蓝色）这六种情况，设（红色，绿色），（绿色，蓝色），（红色，蓝色），（红色，红色），（绿色，绿色），（蓝色，蓝色）.设事件“2张卡片都为蓝色”为，①设2张卡片都不是蓝色为事件，则（红色，绿色），（红色，红色），（绿色，绿色），则，，和是互斥不对立事件，故①正确；②设2张卡片恰有1张是蓝色为事件，则（绿色，蓝色），（红色，蓝色），则，，和是互斥不对立事件，故②正确；③设2张卡片至少有1张是蓝色为事件，则（绿色，蓝色），（红色，蓝色），（蓝色，蓝色），则，，得到和是不互斥不对立事件，故③不正确；④设2张卡片至多一张为蓝色为事件，则（红色，绿色），（绿色，蓝色），（红色，蓝色），（红色，红色），（绿色，绿色），则，，得到和是对立事件，故④不正确.故选：B.5.若圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则r的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，即设与直线平行且距离为1的直线方程为，所以，解得或，所以两条平行线的方程为，，圆心到的距离为，圆心到的距离为，由题意得圆与，均相交，则，，即且，所以.故选：.6.已知随机事件A、B发生的概率分别为，则下列说法不正确的是（）A.若A与B互斥，则 B.若A与B相互独立，则C.若，则事件与B相互独立 D.若，则【答案】D【解析】对于A，若与互斥，则，故A正确；对于B，若与相互独立，则，所以，，故B正确；对于C，若，且，所以，事件与相互独立，故C正确；对于D，若，则，所以，故D错误.故选：D.7.自点发出的光线l经过x轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则满足条件的反射光线所在直线的斜率之和为（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】易知，圆心，半径，设关于x轴的对称点为，则反射光线所在直线过点，不妨设其方程为，则M到该直线距离为，化简得，，则该方程有两个不同解，.故选：A.8.已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】连接，设，，则，因为，所以，在中，，所以，化简得，则，，在中，，所以，即，所以离心率.故选：D.二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于B.“或0”是“直线与直线互相垂直”的充要条件C.当点到直线的距离最大时，m的值为D.已知直线l过定点且与以为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是【答案】BCD【解析】对于A，若，则其方向向量为，而是l的方向向量，所以直线l的斜率等于，故A错误；对于B，两直线垂直的充要条件为，即或0，故B正确；对于C，易知，则直线过定点，则当且仅当时，P到l的距离最大，即，故C正确；对于D，易知，如下图所示可知，要符合题意需，故D正确.故选：BCD.10.已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（）A. B. C.7 D.【答案】AD【解析】设为坐标原点，则，，当时，，，所以的面积为；当时，，所以的面积为.同理，当时，的面积为.故选：AD.11.如图，已知正方体棱长为2，E，F分别为AB，AD的中点，而G是线段B₁C₁(可与端点重合)上的动点，以下说法正确的是（）A.EF//平面BB₁D₁B.当G是B₁C₁的中点时，A₁C⊥平面EFGC.当G是B₁C₁的中点时，点C到平面EFG的距离为D.当点G与点B₁重合时，直线EG与平面ACD₁所成角最大【答案】ABD【解析】对于A,连接因为E，F分别为AB，AD的中点，可得,又平面平面则又平面故A正确；对于B,以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为，可得：,则设平面的法向量，则，令，则，所以，所以，可得，所以平面,故B正确；对于,由,平面的法向量为，可得点到平面的距离故C错误；对于D,设可得,又由,设平面的法向量，则，令，则，所以，，,所以,设线EG与平面ACD₁所成角为，则，法1：设，则，要求的最大值，不妨设，因为在上为减函数，且恒成立，在上为减函数，且，故在上为减函数，故即即点G与点B₁重合时，直线EG与平面ACD₁所成角最大，法2：设，则，所以函数在上单调递减，当时，取得最大值，即时，取得最大值，即点G与点B₁重合时，直线EG与平面ACD₁所成角最大，故D正确，故选：三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线l过点，且其横截距为纵截距的3倍，则l的方程为_________.【答案】或【解析】当截距为0时，设直线为，则，即，此时，当截距不为0时，设直线为，则，此时，综上，直线为或.故答案为：或13.直线（，）截圆的弦长为，则的最小值为_________.【答案】9【解析】由题意圆的标准方程是，圆的圆心为，半径为，弦长为，则弦为直径，已知直线过圆心，所以，即，，当且仅当即时等号成立．故答案为：9．14.在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，且，则直线到平面ABC的距离的最大值为__________.【答案】【解析】取BC的中点O，连接OA，以O为原点，以OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，垂直于平面ABC且过点O的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，设，由得，，则，，因为，所，所以①，又，，则②，联立①②，得，则，，则点到平面ABC的距离为，故直线到平面ABC的距离的最大值为.故答案为：.四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.15.2025年8月21日，DeepSeek在官方公众号发文称，正式发布DeepSeek－V3.1模型，此次升级也标志着国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步．为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对A，B两部门开展专项技能培训．（1）已知该公司A，B两部门分别有3位领导，此次培训需要从这6位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率；（2）此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率．解：（1）记部门的3名领导为，部门的3名领导为，从这6位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，不同结果有：，共30种，这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天，不同结果有：共18种，所以这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率为.（2）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），则，，依题意，，所以每位员工经过培训合格的概率为.16.如图，⊥平面，，.（1）求证:平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若二面角的余弦值为求线段的长.（1）证明：依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得.设，则.依题意，是平面ADE的法向量，又，可得，又因为直线平面，所以平面.（2）解：依题意，，设为平面BDE的法向量，则，即，不妨令，可得，因此有.所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）解：设为平面BDF的法向量，则，即.不妨令，可得.由题意，有，解得.经检验，符合题意，所以，线段的长为.17.已知点，动点P满足，点T为线段AP的中点．（1）求点T的轨迹C的方程；（2）过点作直线l与曲线C交于两点M，N，设直线BM，BN的斜率分别为，求．解：（1）设，由可得，又可得，即，化简可得.（2）当直线的斜率不存在时不满足题意，设直线的方程为，即，.联立可得，化简得，则，.由，解得.又.即.18.如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，点在上，且．（1）求证：平面；（2）判断直线是否在平面，说明理由；（3）是线段上的动点，是否存在点G使得AE与平面AFG所成夹角的正弦值为，请说明理由.（1）证明：平面，，，，，平面，平面，平面．（2）解：以为原点，在平面内过作的平行线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，.直线在平面内，理由如下：点在上，且，面的一个法向量为，则，取，得，平面的一个法向量为，，故直线在平面内．（3）解：点在上，设，，面的一个法向量为，则，取，得，要使得AE与平面AFG所成夹角的正弦值为，则，解得，满足条件.所以，存在点G，为线段BP的靠近点P的三分点.19.已知椭圆I的长轴长为4，左，右焦点分别为，，直线与椭圆Γ交于M、N两点，(点M在点N的上方)，与y轴交于点E.（1）求椭圆Γ的离心率；（2）若直线l过点时，设求证：为定值，并求出该值；（