山西省吕梁市2026届高三上学期阶段性测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山西省吕梁市2026届高三上学期阶段性测试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合是小于6的正整数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意：，所以.故选：D.2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】已知，则.故选：C.3.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】必要性：若，则可得，所以可得，必要性成立；若，则，而，故充分性不成立，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4.若且，则的最大值为（）A.1 B.2 C.4 D.16【答案】B【解析】由基本不等式可得：，所以，当且仅当时等号成立；所以的最大值为；故选：B.5.已知为单位向量，且满足，设的夹角为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，化简得，因为为单位向量，夹角为，所以，解得.因为向量夹角的范围为，所以.故选：C.6.已知函数，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为的定义域为，关于原点对称，又，所以为奇函数，易知在定义域上单调递增，由，得到，所以，解得，故选：A.7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题知，所以，即，所以.故选：B.8.已知实数，且满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】记，则，在上单调递增，所以，当时，，即，所以，因为，，所以，所以；记，则，所以在上单调递增，所以，当时，，即，所以，因为，，所以，所以.综上，.故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.的最小正周期是B.的图象关于点中心对称C.的图象关于直线对称D.将的图象向左平移个单位长度后得到的函数为偶函数【答案】AC【解析】选项A，对于函数，最小正周期，题中，所以，所以A正确；选项B，若函数图象关于点中心对称，则有，但，所以B错误；选项C，若的图象关于直线对称，则，又，，所以，所以C正确；选项D，将的图象向左平移个单位长度后得到的函数为，则，所以，即不是偶函数，所以D错误.故选：AC.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的极大值为B.若，则C.若方程有两个不等的实根，则D.若过点恰有三条与曲线相切的直线，则【答案】ABD【解析】定义域为，，由得，由得，所以在单调递增，在单调递减，当时，，当时，，在时，取得极大值；A正确，当时，，由单调性可知；B正确，由函数单调性和极值可知：若方程有两个不等的实根，则，C错误；设切点坐标为，则切线斜率为，由两点得切线斜率，化简可得：，若过点恰有三条与曲线相切的直线，则方程有3个不同的根，令，定义域为，，由得：或，由得：，所以在单调递减，在单调递增，极小值为，极大值，当时，，当时，，所以方程有3个不同的根，即和的图象有3个交点，则，D正确；故选：ABD.11.已知正项数列满足为数列的前项和，则（）A.数列为递增数列 B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A，由，得，所以，即，递增数列，A正确；对于B，由，得，即，又，则，所以，B错误；对于C，由于，当时，，当时，，当时，先证，即证，由于，所以，即，综上：，C正确，对于D，由，得，所以，D正确，故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若等差数列的前三项和为7，且则该等差数列的公差为_______.【答案】3【解析】设公差为d，由题意，所以，又，所以，所以，则该等差数列的公差为3.故答案为：3.13.如图，在正方形中，，，若，则___________．【答案】【解析】因为，又，所以.故答案为：.14.已知定义在上的函数与满足，其中为奇函数，的图象关于直线对称，且，则___________．【答案】4【解析】已知为奇函数，则，即，用代替，则，即．因为的图象关于直线对称，所以．已知，则，用代替，可得，由和，可得，即，因为，且，将两式相加可得，用代替，则．由和，可得，所以函数的周期为4．因为，用代替，则．由和，且，可得，即，所以函数的周期也为4．

由，令，得，即，所以，．所以．故答案为：4．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求的最大值；（2）求的单调区间．解：（1），，，，，，，，，，的最大值为.（2），，当时，即当时，为增函数，当时，即当时，为减函数，当时，即当时，为增函数.综上，的增区间为和，减区间为.16.已知函数．（1）若是偶函数，求实数的值；（2）解不等式．解：（1）由，解得，所以的定义域为，又是偶函数，则的定义域关于原点对称，所以，即实数的值为.（2）由（1）知的定义域为，由，得到，即，则，解得，所以不等式的解集为.17.已知数列的前项和为，且，．（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前项和；（3）若对恒成立，求实数的取值范围．（1）证明：因为，所以，即，所以，又，所以是以2为首项和公比的等比数列.（2）解：又（1）可得，，所以①，则②，由①-②得：，所以（3）解：由（1）可得，，所以，即，记，因为，所以时，，即，当时，，即，所以，所以，所以实数的取值范围为.18.如图，内一点满足．（1）若，求的值；（2）若，求的长．解：（1）因为，，，所以，所以为等腰三角形，则，，在中，，所以.（2）设，在中，，所以，由余弦定理可知，因为，所以，所以，所以为锐角，所以为锐角，又，则，所以，在中，由余弦定理得,所以，即，解得，因为，所以在以为直径的圆上，所以小于边上的高，故，所以（舍去），在中，，所以.19.已知函数．（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）设，为函数的极值点，且，若是一个三角形的三边长，求的取值范围．解：（1）因为，所以，，求导得，所以，所以函数在点，即处的切线方程为，整理得；（2）因为，所以，求导得，令，得，解得，当，即时，的解集为；的解集为；此时函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当，即时，的解集为；的解集为；此时函数的单调递减区间为，单调递增区间为，；当，即时，恒成立，此时函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当，即时，的解集为；的解集为；此时函数的单调递减区间为，单调递增区间为，；综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，；（3）对函数，求导得，因为，为函数的极值点，且，所以，为方程的