高考数学 第5节　指数与对数的运算

第5节指数与对数的运算1.通过对有理数指数幂、实数指数幂含义的认识，掌握指数幂的运算性质.2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.3.能够利用指数与对数运算解决一些简单的实际问题.定义为根指数，a称为根底数性质当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数指数定义数位于底数的右上角有理指数幂的分类零指数幂a⁰=1(a≠0)负整数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义有理指数幂运算性质指数幂的关系底数的限制a>0,且a≠1负数和零没有对数常用对数：1gN=log1₀N自然对数InN=logeN(e=2.71828…)对数恒等式：alogaN=N运算性质a>0,且a≠1,M>0,N>0且a≠1;c>0,且c+1;b>0)[教材知识深化]换底公式的变形：(a,b,c,am均大于0且不等于1,n∈R).logab<0⇔(a—1)(b-1)<0,其中a>0,ab>0.一、基础自测X3.(人教B版必修第二册4.2.2节练习B第3题)计算(lg5)²+1g2×1g50的值.解(lg5)²+1g2×1g50=(lg5)²+(1-1g5)×(1+1g5)=(lg5)²+1二、连线高考故选C.解析由log₃故选C.例1求值与化简：解原式考点一考点一解原式规律方法规律方法指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一.[对点训练1]化简求值：解原式解原式(4)已知求计算(lg5)²+1g2×1g5+1g2+(log₅2+log₂52)×log₈5的值等于一一规律方法对数式化简与计算的一般思路(1)合：逆用对数的运算性质，将同底数的对数的和、幂的运算.数转化为同底数的对数的和、差、倍数运算(3)对数的底数不相同时，可通过换底公式转化为底数相同的对数再进行化简计算。则的值为[对点训练2](1)(2024·则的值为一一=4.考向2指数式与对数式的综合运算解析因为2m=9=6,则m=log₂6,n=log₉6,所以又a>0且a≠1,两边取对数，得1n2·1na=ln2变式探究1因此变式探究2=(1+log₂9)(1+logg2)=2+log₂9+logg2>2+2所以即mn>4p².一一规律方法指数与对数综合运算的方法技巧(1)根据需要，利用指数式与对数式的关系α"=N(a>0)⇔logaN=b(a>0)对二者进行互化；化为对数式再进行化简求值；(3)在幂的指数中含有对数时，一是运用对数恒等式化简计算，二是通过等式两边取对数的方法转化为对数式进行化简求值.考向3指数与对数运算的实际应用为常数),若锶89的半衰期(质量衰减一半所用的时间)为50天，那么质量为M₀的锶89经过30天衰减后质量大约变为(D),则h=50,所以质量为M₀的锶89经过30天衰减后，质量大约为故选D.考点二自《增广贤文》,是勉励人们专心学习的.假设初始值为1,如果每天的“进步率”都是1%,那么一年后是(1+1%)³65=1.01365;如果每天的“退步率”都是1%,那么一年后是(1-1%)365=0.99365.一年后“进步者”是“退步者”的481倍.照此计算，“进步者”是“退步者”的2倍大约经过的一一规律方法规律方法指数与对数运算实际应用的解题策略(1)理解题意、弄清题目条件与所求之间的关系；(2)理解问题中各量的含义及其关系式中各字母的含(3)根据已知条件代入求解，如果所求变量在幂的指数位置上