2025-2026学年上海七宝中学高一上学期数学周练（含答案）

七宝中学2025-2026学年第一学期高一年级数学周练一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．已知集合，则．

2．将化简为指数幂的形式：．

3．已知等式恒成立，则实数．

4．已知，则的取值范围是．

5．已知，则．6．集合有且仅有一个元素，则实数．

7．设，则方程的解集为．

8．设是关于的方程的两个实数根，则的最小值为．

9．《九章算术》中＂勾股容方＂问题＂今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？＂魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法．如图1，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青），将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长，由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列四个推理中正确的序号是．①由图1和图2面积相等得；②由可得

③由可得；④由可得．10．若关于的不等式解集非空，则实数的取值范围是．

11．已知集合，其中．若存在正数，使得对任数，都有，则的取值集合为．12．定义表示实数中的较大者，若是正实数，则的最小值是．二、选择题（共4小题，分）

13．＂＂是＂＂的（）.

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

14．17世纪初，约翰．纳皮尔为了简化计算而发明了对数，对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．我们知道，任何一个正实数可以表示成的形式，这便是科学记数法；若两边取常用对数，，现给出部分常用对数值（如表），则可以估计的最高位的数值为（）.

A．1 B．3 C．6 D．9

15．已知，则（）.

A．B．C．D．

16．已知集合满足：①；②每个集合都恰有5个元素，集合中最大元素与最小元素之和称为的特征数，记为，则的值不可能为（）.

A．37B．39C．48D．57三、解答题（共5小题，分）

17．已知全集，集合.

（1）求；

（2）若，求实数的取值范围.

18．（1）已知，比较与的大小；

（2）已知，若，利用反证法证明：和中至少有一个大于．

19．港珠澳大桥总长约55km，跨越伶仃洋，连接珠海、香港和澳门.一辆货车以（不超过）的速度从香港某地经过港珠澳大桥到珠海某地，共行驶了80km，每小时的运输成本包括油费和人工费用．经过测算，货车每小时用油，假设油费每升7元，人工费每小时28元，大桥通行费120元/次.

（1）当时，这次行车的总费用为多少元？

（2）当为何值时，这次行车的总费用（单位：元）最低，并求出最低费用（精确到0.01元）

20．已知一次函数，其中．

（1）若函数的图像如图所示，直接写出实数的值和不等式的解集；

（2）根据实数的不同取值，讨论关于的不等式的解集；

（3）若函数，对任意，使得，求实数的取值范围.

21．对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集.记符号表示集合中的元素个数.当时，设是集合中按从小到大排列的所有元素，记集合.

（1）已知集合，若，求集合，并求出的值．

（2）已知，记集合或.

（i）当时，证明的充要条件是；

（ii）若，求的所有可能取值．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.①②③④;10.；11.12.11．已知集合，其中．若存在正数，使得对任数，都有，则的取值集合为．【答案】【解析】因为，则只需考虑下列三种情况：

因为，，

又因为，则．

因为，则且可得

所以解得．故答案为：．12．定义表示实数中的较大者，若是正实数，则的最小值是．【答案】【解析】记，

当时，,

当且仅当时，等号成立．

当时，，显然等号无法取得，

综上所述，的最小值是．故答案为：．二、选择题13.A14.D15.A16.A15．已知，则（）.

A．B．C．D．【答案】A【解析】由，及，得，所以；再由，即，所以.由，得，当且仅当时等号成立.若，则，与矛盾，所以再由得，即；再由，得，即.故.故选A.

16．已知集合满足：①；②每个集合都恰有5个元素，集合中最大元素与最小元素之和称为的特征数，记为，则的值不可能为（）.

A．37B．39C．48D．57【答案】A【解析】因为集合，，

又因为集合中，每个集合恰有5个元素，且有15个元素，所以集合中没有重复元素，因为1是集合中数值最小的元素，15是集合中数值最大的元素，所以在的特征数构成中，必有1和15，不妨设，要使最大，则应该在集合中首先放置数值较小的元素，即，

所以5与14是剩下元素中数值最小或最大的元素，

同理，不妨设，接着在中再次放置数值较小的元素，即，则，此时有最大值为，即；

要使最小，则在集合中首先放置数值较大的元素，即，所以2与11是剩下元素中数值最小或最大的元素，同理，不妨设，接着在中再次放置数值较大的元素，

即，则，此时有最小值为，即，

综上，，显然，选项不满足，故选：．三、解答题17.（1）（2）18.（1）（2）证明略19.（1）288元（2），最低费用为278.37元20．已知一次函数，其中．

（1）若函数的图像如图所示，直接写出实数的值和不等式的解集；

（2）根据实数的不同取值，讨论关于的不等式的解集；

（3）若函数，对任意，使得，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）见解析（3）【解析】（1）因为，由图可知，，

由，可得，即不等式解集为（2）由，①当时，解为；②当时，解为或；③当时，解为或，

综上，当时，不等式的解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为．

（3）21．对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集.记符号表示集合中的元素个数.当时，设是集合中按从小到大排列的所有元素，记集合.

（1）已知集合，若，求集合，并求出的值．

（2）已知，记集合或.

（i）当时，证明的充要条件是；

（ii）若，求的所有可能取值．【答案】（1）（2）证明见解析（3）的取值只能为2．【解析】（1）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；

当时，；当时，；当时，；

当时，；综上，结合集合中元素的互异性，，．

且，且，得，所以，

又，所以．

（2）先证充分性．因为，所以，且．

从而可以设，其中，

此时中的元素为，故．

再证必要性．设，其中．

注意到和集中的最小元素为，最大元素为，

因为，所以中间三个元素可以是，也可以是，它们是对应相等的，

所以有，即．故，得证．

（3）①若，由（i）小问的分析知，设，，其中，

此时中的元素为，，这与条件矛盾．

②取，，其中，容易验证此时中的元素为，符合条件，所以可以取2．

注：构造方式不唯一，集合中的元素满足有一个，其余均为即可．

③若，设，，其中．

结合知，，其中，至少存在两个不同的正整数，使得。

不妨设是符合这一条件最小的正整数，是符合这一条件最大的正整数．

注意到，这是中的个不同