甘肃省白银市部分学校2024-2025学年高二上学期12月联考数学试卷（含答案）

甘肃省白银市部分学校2024-2025学年高二上学期12月联考数学试卷

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．若复数z满足，其中i为虚数单位，则()A. B.2 C. D.42．已知集合,若且,则a的取值范围为()A. B.C. D.3．记正项等比数列的前n项和为，若，则()A. B. C.1 D.24．已知抛物线的焦点为F,点M在C上,,则点M到直线的距离为()A.7 B.6 C.5 D.45．是从点P出发的三条射线,每两条射线的夹角均为,那么直线与平面所成角的正弦值是()A. B. C. D.6．以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为()A. B. C. D.7．已知展开式中各项系数之和为3,则展开式中x的系数为()A. B. C. D.8．若直线为双曲线的一条渐近线,则该双曲线的离心率为()A.2 B. C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项符合题意，全选对得满分，漏选得部分分，错选不选不得分）9．已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点在C的准线上，过B的直线与C交于不同的两点M，N，则()A. B. C. D.10．已知的展开式中,有且只有第项的二项式系数最大,则()A. B.二项展开式的各项系数和为1C.二项展开式的二项式系数和为512 D.二项展开式中的常数项是第7项11．某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图像是双曲线，设其焦点为M，N，若P为其图像上任意一点，则()A.是它的一条对称轴 B.它的离心率为C.点是它的一个焦点 D.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．的展开式中，各项系数中的最大值为______________.13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知与双曲线的渐近线不平行的直线与C有且仅有一个公共点，直线且与C交于A，B两点，与交于点P，则___.14．已知数列的前n项和为，满足，，函数的定义域为R，对任意都有，若，则的值为______________.四、解答题（本题共5小题，共77分）15．（13）已知圆,圆,O为坐标原点.（1）若过点O的直线l与圆C相切,求直线l的方程;（2）若圆E上存在点Q,过点Q作圆C的切线,切点为M,且满足,求实数a的取值范围.16．（15）某次联欢会要安排3个歌舞类节目,,,2个小品类节目和1个相声类节目C的演出顺序,根据要求解答下列问题（最终结果用数值表示）:（1）若两个小品类节目,不能排在第一位和最后一位,一共有多少种排法?（2）若歌舞类节目,必须排在一起,和,排在一起,并且在,中间,一共有多少种排法?（3）若同类节目不相邻,请问一共有多少种排法?17．（15）在平面直角坐标系中,O为坐标原点.已知曲线C上任意一点（其中）到定点的距离比它到y轴的距离大1.(1)求曲线C的轨迹方程；(2)若过点的直线l与曲线C相交于不同的A,B两点,求的值；18．（17）已知的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等，(1)求；(2)求展开式中的一次项的系数．19．（17）已知椭圆的离心率为,上、下顶点分别为A,B,右顶点为C,且的面积为6.（1）求E的方程;（2）若点P为E上异于顶点的一点,直线是AP与BC交于点M,直线CP交y轴于点N,试判断直线MN是否过定点?若是,则求出该定点坐标;若不是,请说明理由.

甘肃省白银市部分学校2024-2025学年高二上学期12月联考数学试卷参考答案1．答案：B解析：，则，故.故选：B2．答案：D解析：因为,又且,则,故选:D3．答案：C解析：设的公比为.由，得，所以则，即解得或（舍），所以.故选：C.4．答案：A解析：因为点M在C上,,所以点M到C的准线的距离为5,所以点M到直线的距离为7.故选:A.5．答案：A解析：解法一:如图,设直线在平面的射影为,作于点G,则平面,直线与平面所成角为.作于点H,连接,因平面,则,又平面,则平面,又平面,则.于是有,,即(*).因由对称性知,,代入（*）得,,故.故选:A.解法二:如图所示,把放在正方体中,的夹角均为.建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则,所以,设平面的法向量,则令,则,所以,所以.设直线与平面所成角为,所以,故选:A6．答案：A解析：由可知椭圆的焦点在x轴上,且,故,故由题所求双曲线的焦点在x轴上,可设其方程为,则得,解得,故双曲线方程为.故选：A.7．答案：B解析：展开式中各项系数之和为3,所以令,可得,解得,,的展开式的通项为,当在项中取时,项中需取,不符合条件；当在项中取时,项中需取,则,即,此时x的系数为；当在项中取时,项中需取x,则,即,此时x的系数为,综上,展开式中x的系数为.故选：B.8．答案：D解析：由题意知,所以,所以离心率.故选：D.9．答案：ABD解析：由题可知，，故，故抛物线.对于A：，故A正确；对于B：易知直线的斜率存在，且不为0，故可设直线，，，联立直线与抛物线C可得，，消x得，，解得或，，.，故B正确；对于C：过点M作准线的垂线，由抛物线的性质可知，，故.由B可知，，或，由对称性，不妨令，则，则，，，即，故C错误；对于D：由B可知，，.由抛物线的性质可知，，，故，故D正确.故选：ABD.10．答案：ABD解析：因为的展开式中有且只有第5项的二项式系数最大,所以,故A正确；展开式的二项式系数和为,故C错误；令,得二项展开式的各项系数和为,故B正确；二项展开式的通项为,令,解得,所以第7项为常数项,故D正确.故选：ABD.11．答案：ABD解析：反比例函数的图像为等轴双曲线，故离心率为，容易知道是实轴，是虚轴，坐标原点是对称中心，联立实轴方程与反比例函数表达式得实轴顶点，所以，，其中一个焦点坐标应为而不是，由双曲线定义可知.故选：ABD.12．答案：5解析：二项式的展开式的通项为.由解得.又，所以.所以所求系数的最大值为.13．答案：解析：直线的斜率为，由直线，设直线的方程为，由消去y并整理得，设，，则,，，取中点M，连接，直线的斜率，设直线的方程为，由消去y并整理得，则，整理得，而，则，解得，因此直线，四边形为平行四边形，于是，，，所以.故答案为：14．答案：解析：因为，所以当时，，得；当时，，则，所以，所以是首项为1，公比为3的等比数列，则，所以.，则，所以，即是以4为周期的函数.，则.，上述展开式中，从第二项开始，每一项都是8的倍数，也是4的倍数，所以.15．答案：（1）或（2）解析：（1）设直线l的方程为,则,化简得;所以直线l的方程为或（2）设,由,则,化简得点Q的轨迹方程为:,因为点Q在圆E上,所以点Q要存在,只要圆Q与圆E有交点即可,所以,解得,所以实数a的取值范围16．答案：（1）288（2）24（3）120解析：（1）因为总共有六个位置,两个小品类节目,不能排在第一位和最后一位,先将,排好,则有种排法,剩下四个节目四个位置,则有种排法,故共有种排法.（2）先将六个节目分成三组,且这三组个数分别为1,2,3,并排列,故有种排法,,必须排在一起共有种排法,在,中间共有种排法,故共有种排法.（3）分两步完成:第一步,先安排3个歌舞类节目,,,则有种排法;第二步,再用插空法安排2小品节目,和1个相声节目C:①若2小品节目,和1个相声节目C互不相邻,则有种排法;②若C与,中的其中一个相邻,则有种排法.故共有种排法.17．答案：(1)(2)解析：(1)依题意知,动点P到定点的距离等于P到直线的距离,曲线C是以原点为顶点,为焦点的抛物线,曲线C方程是(2)当l平行于y轴时,即斜率不存在时,其方程为,由解得,,则可设,此时当l不平行于y轴时,设其斜率为k(k不为0),则由得恒成立.设,,则有,,.综上,的值为.18．答案：(1)由第4项和第9项的二项式系数相等可得，解得.(2)由(1)知，展开式的第项为令得.此时，所以展开式中的一次项的系数为